高考理科第一轮复习课件(63基本不等式)

1、第三节 基本不等式1.1.基本不等式：基本不等式：（1 1）基本不等式成立的条件：）基本不等式成立的条件：_._.(2)(2)等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当_时取等号时取等号. .(3)(3) 称为称为a,ba,b的的_， 称为称为a,ba,b的的_._.(4)(4)语言叙述：两个非负数的语言叙述：两个非负数的_不小于它们的不小于它们的_. . abab2ab2ab算术平均数算术平均数几何平几何平均数均数a0,b0a0,b0a=ba=b算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数2.2.基本不等式的变形基本不等式的变形（1 1）a+b a+b （a,b0a,b0）. .（2 2）

2、ab ab （a,bRa,bR）. .（3 3）a a2 2+b+b2 2_（a,bRa,bR）. .3 3利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值（1 1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若x x，y y为正实数，且为正实数，且a ab bs s，s s为定值，则为定值，则 等号当且仅当等号当且仅当_时成立时成立. .简记：和定积最大简记：和定积最大. .2 ab2ab2（）2ab2ab2sab4，x xy y（2 2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若x x，y y为正实数，且为

3、正实数，且xyxyp p，p p为定值，则为定值，则x xy y ，等号当且仅当，等号当且仅当_时成立时成立. .简记：积定和最小简记：积定和最小. .2 px xy y判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）. .（1 1） 成立的条件是成立的条件是ab0.( )ab0.( )（2 2）函数）函数 的最小值等于的最小值等于4.( )4.( )（3 3）x0 x0且且y0y0是是 的充要条件的充要条件.( ).( )（4 4）若）若a0a0，则，则 的最小值为的最小值为 ( )( )（5 5）若）若a,bRa,bR，则，则 ( )( )2abab2 （

4、）4fxcos xx0,cos x2（ ），（）xy2yx321aa2 a.222abab.22 （）【解析】【解析】（1 1）错误）错误. .当当ab0ab0 x0且且y0y0时一定有时一定有 但当但当 时，不时，不一定有一定有x0 x0且且y0y0，所以，所以x0 x0且且y0y0是是 的充分不必要条件的充分不必要条件. .2ab()02 ，2abab()2，42 cos x4cos x，4fxcos xcos x（ ）4cos xcos x，xy2yx ，xy2yxxy2yx（4 4）错误）错误. .虽有虽有 但不能说但不能说 就是就是 的最小值，因为的最小值，因为 的值与的值与a a有

5、关，不是一个定值有关，不是一个定值. .（5 5）正确）正确. . 由于由于所以不等式成立所以不等式成立. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） （5 5）332211a2 a2 aaa，2 a321aa2222222ab2 abab2abab2442（）（） ，2 a1.1.下列不等式中正确的是下列不等式中正确的是( )( )（A A）若）若aRaR，则，则a a2 2+96a+96a（B B）若）若a,bRa,bR，则，则（C C）若）若a,b0a,b0，则，则（D D）若）若xRxR，则，则ab2abab2lglg alg b2221x1x1【解析】【解析】选选C

6、.C.对于对于A A，a a2 2+9-6a=+9-6a=（a-3a-3）2 20,a0,a2 2+96a,+96a,故故A A不正确不正确. .由基本不等式成立的条件知由基本不等式成立的条件知B B错误错误. .对于对于C C，当，当a,b0a,b0时，有时，有 所以所以故故C C选项正确选项正确. .对于对于D D，xR,xxR,x2 2+11, +11, 故故D D错误错误. .abab2，ab2lg2lg ablg ablg alg b2，222211xx11x1x1 2212x111,x1 （）2.2.若若x0,y0 x0,y0，且，且 则则xyxy的最大值为的最大值为( )( )（

7、A A） （B B） （C C） （D D） 【解析】【解析】选选D.D.由基本不等式可得由基本不等式可得 当且仅当当且仅当 时，时，xyxy取最大值取最大值 故选故选D.D.1xy3，2 332 319136221xy13xy2236（） （），1xy61.363.3.函数函数f f（x x）=3=3x x+3+3-x-x的最小值是的最小值是( )( )（A A）2 2 （B B）1 1 （C C）3 3 （D D）【解析】【解析】选选A.A.由于由于3 3x x0,30,3-x-x00，所以，所以f f（x x）=3=3x x+3+3-x-x= = 当且仅当当且仅当3 3x x=3=3-x

8、-x，即，即x=0 x=0时函数取得最小值时函数取得最小值2.2.2 2xx133xx12 323，4.4.某公司租地建仓库，每月土地占用费某公司租地建仓库，每月土地占用费y y1 1与仓库到车站的距离与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费成反比，而每月库存货物的运费y y2 2与仓库到车站的距离成正比，与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站如果在距离车站1010千米处建仓库，这两项费用千米处建仓库，这两项费用y y1 1和和y y2 2分别为分别为2 2万万元和元和8 8万元万元. .那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站站_千米

9、处千米处. .【解析】【解析】设仓库到车站的距离为设仓库到车站的距离为x x千米，由题意设千米，由题意设 y y2 2=k=k2 2x x，而当，而当x=10 x=10时，时，y y1 1=2=2，y y2 2=8=8，于是，于是k k1 1=20, =20, 因此因此 yy1 1+y+y2 2= = 当且仅当当且仅当x=5x=5时取时取等号，所以仓库应建在离车站等号，所以仓库应建在离车站5 5千米处千米处. .答案：答案：5 511ky,x24k5，12204y,yx,x5204x2 168,x55 5已知已知a a，b b为正实数且为正实数且a+b=1a+b=1，则，则 的最小值为的最小值

10、为_._.【解析】【解析】a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,等号成立的条件为等号成立的条件为答案：答案：9 9 11(1)(1)ab1abb1a112,12,aaabb11baba(1)(1)(2)(2)52()549,ababab 同理1ab.2考向考向 1 1 利用基本不等式判断命题真假利用基本不等式判断命题真假【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013抚州模拟）已知抚州模拟）已知0 0a ab b，且，且a+b=1,a+b=1,下列不等式中，一定成立的是下列不等式中，一定成立的是( )( )loglog2 2a a-1-1；loglog2 2a+loga+log2

11、 2b b-2;-2;loglog2 2(b-a)(b-a)0;0;(A)(A) (B) (B) (C) (C) (D) (D)2balog1.ab()（2 2）（）（20122012福建高考）下列不等式一定成立的是福建高考）下列不等式一定成立的是( )( )（A A）（B B）（C C）x x2 2+12|x|+12|x|（D D）21lgxlg xx04（）（）1sin x2 xk ,kZsin x （）211 xRx1（）【思路点拨】【思路点拨】运用基本不等式和不等式的性质，结合函数知识运用基本不等式和不等式的性质，结合函数知识对每一项进行分析判断，注意基本不等式应用的条件和等号成对每一

12、项进行分析判断，注意基本不等式应用的条件和等号成立的条件是否满足立的条件是否满足. .【规范解答】【规范解答】（1 1）选）选C.C.00a ab,a+b=1, b,a+b=1, 错误错误; ;00b-ab-a1 1，loglog2 2(b-a)(b-a)0 0，正确；，正确； 正确正确. .故故正确正确. .1a,2 2222221log alog1.1ab2 ab,211ab,log alog blog ablog244 错误；（），2baba2,log1abab()，（2 2）选）选C.C.由于由于 所以所以 当且仅当当且仅当 时取等号，故时取等号，故A A错误错误. . 当当sin x

13、0sin x1a1时，时，lg a+loglg a+loga a102.102.abab2221x2x ；【变式训练】【变式训练】 给出下列结论：给出下列结论：若若x0 x0，则，则若若a0,b0a0,b0，则，则当当 时，时， 的最小值为的最小值为6 6；若若a,b0a,b0，且，且ab=2ab=2，则，则 其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_._.44x2 x4xx；lg alg blg a lg b2；x0,2 （）9sin xsin x22111.ab【解析】【解析】对于对于，只有当，只有当x0 x0时，才有时，才有 成立，成立，故故错误；对于错误；对于，虽然有，虽然有a0,b0

14、a0,b0，但，但lg alg a和和lg blg b不一定都不一定都是正数，因此不一定有是正数，因此不一定有 故故错误；对于错误；对于，虽然当，虽然当 时，时，sin x0sin x0，所以，所以 但其中的等号成立的条件是但其中的等号成立的条件是即即sin x=3sin x=3，这显然是不可能的，因此不能说，这显然是不可能的，因此不能说的最小值为的最小值为6 6，故，故错误；对于错误；对于，由于，由于 当且仅当当且仅当a=b= a=b= 时取等号，所以时取等号，所以正确正确. .答案：答案：44x2 x4xxlg alg blg a lg b,2x0,2 （）9sin xsin x92 si

15、n x6sin x，9sin xsin x，9sin xsin x2222222211abababa b42ab14 ，2考向考向 2 2 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【典例【典例2 2】（1 1）若）若x0 x0，则函数，则函数 的最小值为的最小值为_._.（2 2）（）（20132013宿州模拟）已知宿州模拟）已知x x0 0，y y0 0，xy=x+2yxy=x+2y，若，若xym-2xym-2恒成立，则实数恒成立，则实数m m的最大值是的最大值是_._.（3 3）（）（20132013余姚模拟）已知正数余姚模拟）已知正数a,ba,b满足满足 则则a+ba+b的的取值范围是取

16、值范围是_._.16fx1xx （ ）113ab ，【思路点拨】【思路点拨】（1 1）因为）因为x0 x0，所以可对，所以可对 利用基本利用基本不等式求最小值不等式求最小值. .（2 2）利用基本不等式构造关于）利用基本不等式构造关于xyxy的不等式，求的不等式，求xyxy的最小值的最小值. .（3 3）一种思路是根据）一种思路是根据 将将a+ba+b中的中的b b用用a a表示，然后用基表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对本不等式求范围；另一种思路是对 变形，获得变形，获得a+ba+b与与abab的关系，然后利用解不等式消去的关系，然后利用解不等式消去abab建立建立a+ba+b的不

17、等式求解的不等式求解. .113ab ，113ab16x()x 【规范解答】【规范解答】（1 1）由于）由于x0 x0,b0a0,b0，可得，可得 于是于是 当且仅当当且仅当 时取等号，所以时取等号，所以a+ba+b的取值范的取值范围是围是113abab3a1，1a.31a13abaa3a13a1311211211243aa2a,1133a13333339(a)9 a33（）（）（）112aa1339(a)3，即4,).3方法二：由方法二：由 得得a+b=3ab.a+b=3ab.即即4 4（a+ba+b）33（a+ba+b）2 2，所以，所以 即即a+ba+b的取值范围是的取值范围是答案：答案

18、：113ab22abababab322由于（） ，所以（） ，4ab3，4,).34,)3【互动探究】【互动探究】本例题（本例题（3 3）中，条件不变，则）中，条件不变，则abab的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】 即即9 9（abab）2 24ab4ab，所，所以以 即即abab的取值范围是的取值范围是答案：答案：ab2 ab3ab2 ab由于，所以，4ab9，4,).94,)9【拓展提升】【拓展提升】两个正数的和与积的转化两个正数的和与积的转化基本不等式具有将基本不等式具有将“和式和式”转化为转化为“积式积式”和将和将“积式积式”转化转化为为“和式和式”的放缩功能，因此可以用

19、在一些不等式的证明中，的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围还可以用于求代数式的最值或取值范围. . 如果条件等式中，同如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解. .【变式备选】【变式备选】（1 1）若正实数）若正实数x,yx,y满足满足2x+y+6=xy,2x+y+6=xy,则则xyxy的最小值的最小值是是_【解析】【解析】 令令xy=txy=t2 2（t t0 0

20、）, ,可得可得 注意到注意到t t0 0，解得，解得 故故xyxy的最小值为的最小值为18.18.答案：答案：1818xy2xy62 2xy6,2t2 2t60 ，t3 2,（2 2）（）（20132013海口模拟）函数海口模拟）函数f f（x x）= = （0 x0 x）的最小值是的最小值是_._.【解析】【解析】因为因为0 x0 x，所以，所以0sin x1.00y0得得x4x4（x-4x-4舍去），舍去），所以函数在（所以函数在（4,+)4,+)上单调递增，于是当上单调递增，于是当x=5x=5时，时，y y取得最小值取得最小值13 18013 180元元. .12y3(2x 15040

21、0) 5 800 x16900 x5 800 x5 .x （ ）（）216y900 1x 由于（），【拓展提升】【拓展提升】注意变量的取值范围注意变量的取值范围在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中所在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内

22、，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值值. .【变式备选】【变式备选】某种汽车，购车费用为某种汽车，购车费用为1010万元，每年的保险费、万元，每年的保险费、汽油费约为汽油费约为0.90.9万元，年维修费第一年是万元，年维修费第一年是0.20.2万元，以后逐年递万元，以后逐年递增增0.20.2万元万元. .这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】【解析】由于由于“年维修费第一年是年维修费第一年是0.20.2万元，以后逐年递增万元，以后逐年递增0.20.2万元万元”，可知汽车每年维

23、修费构成以，可知汽车每年维修费构成以0.20.2万元为首项，万元为首项，0.20.2万元万元为公差的等差数列，因此，汽车使用为公差的等差数列，因此，汽车使用x x年时总的维修费用为年时总的维修费用为 万元万元. .设汽车的年平均费用为设汽车的年平均费用为y y万元，则有万元，则有当且仅当当且仅当 即即x=10 x=10时，时，y y取得最小值取得最小值. .答：汽车使用答：汽车使用1010年时，它的年平均费用最少年时，它的年平均费用最少. .0.20.2xx220.20.2x100.9xx10 x0.1x2yxx10 x10 x1123,x10 x 10 10 xx10，【易错误区】【易错误区

24、】忽视基本不等式成立的条件致误忽视基本不等式成立的条件致误【典例】【典例】（20122012浙江高考）若正数浙江高考）若正数x x，y y满足满足x+3y=5xyx+3y=5xy，则，则3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是( )( )（A A） （B B） （C C）5 5 （D D）6 6【误区警示】【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是：对本题在求解中容易出现的错误是：对x+3yx+3y运用基运用基本不等式得到本不等式得到 的范围，再对的范围，再对3x+4y3x+4y运用基本不等式，然后运用基本不等式，然后通过不等式的传递性得到通过不等式的传递性得到3x+4y3x+4y的最值，忽视了

25、基本不等式中的最值，忽视了基本不等式中等号成立的条件，没有注意到两次运用基本不等式时等号成立等号成立的条件，没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致，从而导致错误的条件不一致，从而导致错误. .245285xy【规范解答】【规范解答】选选C.C.由由x+3y=5xyx+3y=5xy可得可得当且仅当当且仅当x=1, x=1, 时取等号，故时取等号，故3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是5.5.1315y5x ，133x4y3x4y5y5x943x12y133x 12y131225555y5x55y 5x55所以（）（），1y2【思考点评】【思考点评】1.1.连续运用基本不等式应注意

26、等号成立的条件连续运用基本不等式应注意等号成立的条件连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致因此尽量不要连续两次以上使何一次的字母取值存在且一致因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等相等. .2.2.妙用妙用“1”1”的代换求代数式的最值的代换求代数式的最值在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值是变量替换或常值“1”1

27、”的替换，即由已知条件得到某个式子的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值. . 1.1.（20132013安庆模拟）安庆模拟）“a a1”1”是是“对任意的正数对任意的正数x x，不等式，不等式 成立成立”的的( )( )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件a2x1x【解析】【解析】选选A.A

28、.若若a a1 1，则，则 故故 成立成立. .若若 则必有则必有 aa1 1不成立不成立. .故选故选A.A.a2x2 2a2 2x，a2x1xa2x1x ，12 2a1.a8 ，2.2.（20132013太原模拟）函数太原模拟）函数 的最小值为的最小值为( )( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9(A)6 (B)7 (C)8 (D)9【解析】【解析】选选B. B. 当且仅当且仅当当 x=1x=1时取等号时取等号. .2x5x15yx0 x2（）2x2x299yx217,x2x2 9x2x2，3.3.（20132013九江模拟）某厂的某种产品的产量去年相对于前年九江模拟）某厂的某种产品

29、的产量去年相对于前年的增长率为的增长率为p p1 1，今年相对于去年的增长率为，今年相对于去年的增长率为p p2 2，且，且p p1 10 0，p p2 20 0，p p1 1+p+p2 2=p=p，如果这种产品在这两年中的年平均增长率为，如果这种产品在这两年中的年平均增长率为x x，则，则( )( )(A)x (B)x=(A)x (B)x=(C)x(C)x (D)x (D)xp2p2p2p2【解析】【解析】选选A.A.由题意，设前年的产量为由题意，设前年的产量为a a，则，则a(1+x)a(1+x)2 2=a(1+p=a(1+p1 1)(1+p)(1+p2 2),),(1+x)(1+x)2 2=(1+p=(1+p1 1)(1+p)(1+p2 2) 当且仅当当且仅当p p1 1=p=p2 2时取等号时取等号. .22121p1pp()(1) ,22 px,24.4.（20132013上饶模拟）若不等式上饶模拟）若不等式 对一切非零实数对一切非零实数x x恒成立，则实数恒成立，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】当当x x0 0时，时， 当当x x0 0时，时， |2a-1|2,|2a-1|2,-22a-12, -22a-12, 答案：答案：12a1 | x|x1x2,x11xx2xx （），1| x| 2x ，13a.221 32