山西省晋城市2016届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

1、2015-2016学年山西省晋城市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1满足a，bMa，b，c，d，e的集合M的个数为（）A6B7C8D92已知实数x、y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A3B4C3D3函数f（x）=log3x8+2x的零点一定位于区间（）A（5，6）B（3，4）C（2，3）D（1，2）4设a=sin，b=cos（），c=tan（），则（）AabcBbcaCcbaDcab5已知圆C：（x2）2+（y+1）2=3，从点P（1，3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）ABCD6一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较

2、少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）AB +C +D +27某程序框如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为（）Ak6？Bk5？Ck4？Dk3？8点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A7B14CD9已知向量=（1，x2），=（2，6y）（x，yR+），且，则的最小值等于（）A4B6C8D1210在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a5=3，则sin（log3a1+log3a2+log3a7）的值为（）ABC1D11如图，设P、Q为ABC内的两点，且， =+，则ABP的面积与A

3、BQ的面积之比为（）ABCD12设f（x）是定义在R上的偶函数，对xR，都有f（x2）=f（x+2），且当x2，0时，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A（1，2）B（2，+）CD二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13设等差数列an的前n项和为Sn，若S9=36，则a2+a5+a8=14在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为，则a=15已知函数f（x）=4x+3sinx，x（1，1），如果f（1a）+f（1a2）0成立，则实

4、数a的取值范围为16如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB与DE所成角的正切值是；ABCE；VBACE的体积是a2；平面ABC平面ADC；直线EA与平面ADB所成角为30°其中正确的有（填写你认为正确的序号）三、解答题（本题共6小题，共70分）17某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40，50），50，60）90，100后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方

5、图；（）用分层抽样的方法在分数段为60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段70，80）的概率18已知函数的最小正周期为3（I）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值；（II）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且abc，求角C的大小；（）在（II）的条件下，若，求cosB的值19巳知数列an为等差数列，a3=5，a4=2a2+a1（1）求数列an的通项公式an；（2）设bn=，数列bn的前n项和为Tn（i）求Tn；（ii）若T1，Tm，Tn成等比数列，m1，求正整数m，n的值20在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCC

6、D，点E在棱AC上，且BEAC（1）试证明：BE面ACD；（2）若AB=BC=CD=2，过直线BE任作一个平面与直线AD相交于点P，得到三棱锥ABCD的一个截面BEP，求BEP面积的最小值；（3）若AB=BC=CD=2，求二面角BADC的正弦值21已知O：x2+y2=1和定点A（2，1），由O外一点P（a，b）向O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的P与O有公共点，试求半径最小值时P的方程22已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象

7、与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=4f（x）+;frac12x+m2x1，x0，log23，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由2015-2016学年山西省晋城市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1满足a，bMa，b，c，d，e的集合M的个数为（）A6B7C8D9【考点】子集与真子集菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据题意，列举满足a，bMa，b，c，d，e的集合M，即可得答案【解答】解：根据题意，满足a，bMa，b，c，d，e的集合M有a，b，c，a，b，

8、d，a，b，e，a，b，c，d，a，b，c，e，a，b，d，e，共6个；故选A【点评】本题考查集合的子集的判断，解题时要注意符号“”与“”的不同含义2已知实数x、y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A3B4C3D【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】通过作出约束条件的图象ABC，利用目标函数即为过点Q（5，2）且与ABC相交的直线的斜率，计算即得结论【解答】解：依题意，作出约束条件的图象，其中A（0，1），B（1，0），C（3，4），目标函数即为过点Q（5，2）且与ABC相交的直线的斜率，显然过B、Q两点的直线的斜率z最大，最大值为=，故选：D【点评】本题考查简

9、单线性规划，考查数形结合能力，弄清目标函数的意义是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题3函数f（x）=log3x8+2x的零点一定位于区间（）A（5，6）B（3，4）C（2，3）D（1，2）【考点】根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据函数零点存在定理，若f（x）=log3x8+2x若在区间（a，b）上存在零点，则f（a）f（b）0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案【解答】解：当x=3时，f（3）=log338+2×3=10当x=4时，f（4）=log348+2×4=log340即f（3）f（4）0又函数

10、f（x）=log3x8+2x为连续函数故函数f（x）=log3x8+2x的零点一定位于区间（3，4）故选B【点评】本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：解方程；利用零点存在定理；利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理4设a=sin，b=cos（），c=tan（），则（）AabcBbcaCcbaDcab【考点】三角函数线菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值【分析】运用诱导公式化简，a=sin，b=sin，c=tan，再比较大小【解答】解：运用诱导公式对a，b，c化简如下：a=sin=sin=sin，b

11、=cos（）=cos=sin，c=tan（）=tan，且tansin，tansinsinsin，即cba，故选：C【点评】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，以及三角函数值的大小比较，而且用到不等关系：当x（0，）时，tanxsinx，属于中档题5已知圆C：（x2）2+（y+1）2=3，从点P（1，3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）ABCD【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】根据反射定理可得圆心C（2，1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（1，3）也在入射光线上，利用斜率公式求得入射光线的斜率【解答】

12、解：根据反射定律，圆心C（2，1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（1，3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为=，故选：C【点评】本题主要考查反射定理的应用，直线的斜率公式，属于中档题6一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）AB +C +D +2【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l=2，圆锥的高h=2，圆锥底面半径为r=2， 截去的底面弧的圆心

13、角为120°，底面剩余部分为S=r2+sin120°=+，故几何体的体积为：V=Sh=×（+）×2=+，故选：B【点评】本题考查几何体体积计算本题关键是弄清几何体的结构特征，是易错之处7某程序框如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为（）Ak6？Bk5？Ck4？Dk3？【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=5，S=57时，由题意应该满足条件，退出循环，输出S的值为57，结合选项即可得解【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，k=1k=2，S=4不满足条件，k=3，S=11

14、不满足条件，k=4，S=26不满足条件，k=5，S=57此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为57故对比各个选项，判断框内应为：k4故选：C【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的k，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查8点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A7B14CD【考点】球内接多面体菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】三棱锥ABCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可【解答】解：三棱锥ABC

15、D的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d=，它的外接球半径是，外接球的表面积是4（）2=14故选：B【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题9已知向量=（1，x2），=（2，6y）（x，yR+），且，则的最小值等于（）A4B6C8D12【考点】基本不等式；平行向量与共线向量菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】利用向量共线定理可得x+3y=2再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：，2（x2）（6y）=0，化为x+3y=2又x，yR+，=6，当且仅当x=3y=1时取等号的最小值等于6故选：B

16、【点评】本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a5=3，则sin（log3a1+log3a2+log3a7）的值为（）ABC1D【考点】等比数列的性质；对数的运算性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用对数的基本运算化简log3a1+log3a2+log3a7，通过a3a4a5=3，求出对数的值，然后求解即可【解答】解：因为由正数组成的等比数列an中，a3a4a5=3，所以a43=3，a4=，log3a1+log3a2+log3a7=sin（log3a1+log3a2+log3a7）=sin=s

17、in（2）=sin=故选B【点评】本题是基础题，考查等比数列等比中项的应用，对数的基本运算，正弦的三角函数值的求法，考查计算能力11如图，设P、Q为ABC内的两点，且， =+，则ABP的面积与ABQ的面积之比为（）ABCD【考点】向量在几何中的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，同理求出，两个式子比求出ABP的面积与ABQ的面积之比【解答】解：设 则 由平行四边形法则知NPAB 所以 同理 故 答案为：故选B【点评】本题考查向量的运算法则：平行四边形法则以及三角形的面积公式属于基础题12设f（x）是定义

18、在R上的偶函数，对xR，都有f（x2）=f（x+2），且当x2，0时，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A（1，2）B（2，+）CD【考点】根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】作图题；函数的性质及应用【分析】由题意可知f（x）是定义在R上的周期为4的函数；从而作函数f（x）与y=loga（x+2）的图象，从而结合图象解得【解答】解：对xR，都有f（x2）=f（x+2），f（x）是定义在R上的周期为4的函数；作函数f（x）与y=loga（x+2）的图象如下，结合图象可知，解得，a2；故

19、选D【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程的根与函数的图象的交点的关系应用二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13设等差数列an的前n项和为Sn，若S9=36，则a2+a5+a8=12【考点】等差数列的性质菁优网版权所有【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知求出等差数列的第5项，然后由等差数列的性质得答案【解答】解：在等差数列an中，由S9=36，得9a5=36，a5=4，再由等差数列的性质得：a2+a5+a8=3a5=3×4=12故答案为：12【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题14在三角形ABC中，角

20、A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为，则a=【考点】余弦定理的应用菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；分析法；解三角形【分析】根据三角形的面积公式，求出c，然后利用余弦定理即可得到a的值【解答】解：A=60°，b=1，ABC的面积为，S=bcsinA=csin60°=，即c=，解得c=4，由余弦定理得a2=b2+c22bccos60°=1+162×1×4×=13，解得a=，故答案为：【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题15已知函数f（x）

21、=4x+3sinx，x（1，1），如果f（1a）+f（1a2）0成立，则实数a的取值范围为（1，）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】利用导数判断函数的单调性，然后判断函数的奇偶性，化简不等式，得到不等式组求解即可【解答】解：函数f（x）=4x+3sinx，x（1，1），满足f（x）=（4x+3sinx）=f（x），函数是奇函数f（x）=4+3cosx，x（1，1），f（x）0函数是增函数，f（1a）+f（1a2）0成立，可得f（1a）f（a21）成立，可得，解得：a（1，）故答案为：（1，）【点评】本题考查函数

22、的导数与函数的单调性的关系，函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想以及计算能力16如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB与DE所成角的正切值是；ABCE；VBACE的体积是a2；平面ABC平面ADC；直线EA与平面ADB所成角为30°其中正确的有（填写你认为正确的序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】由于BCDE，则ABC（或其补角）为AB与DE所成角；AB和CE是异面直线；根据

23、三棱锥的体积公式即可求VBACE的体积；根据面面垂直的判定定理即可证明；根据直线和平面所成角的定义进行求解即可【解答】解：由题意，AB=BC，AE=a，AD平面BCDE，AD=a，AC=a由于BCDE，ABC（或其补角）为AB与DE所成角AB=a，BC=a，AC=a，BCAC，tanABC=，故正确；由图象可知AB与CE是异面直线，故错误VBACE的体积是SBCE×AD=×a3=，故正确；（4）AD平面BCDE，BC平面BCDE，ADBC，BCCD，ADCD=D，BC平面ADC，BC平面ABC，平面ABC平面ADC，故正确；连接CE交BD于F，则EFBD，平面ABD平面BD

24、E，EF平面ABD，连接F，则EAF为直线AE与平面ABD所成角，在AFE中，EF=，AE=a，sinEAF=，则EAF=30°，故正确，故正确的是故答案为：【点评】本题考查图形的翻折，考查空间线面位置关系，搞清翻折前后的变与不变是关键综合性较强，难度较大三、解答题（本题共6小题，共70分）17某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40，50），50，60）90，100后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）用分层抽样的方法在分数段为60，80）的学生中抽

25、取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段70，80）的概率【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（）根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在70，80）上的频率（）分别求出60，70）分数段的人数，70，80）分数段的人数再利用古典概型求解【解答】解：（）分数在70，80）内的频率1（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，故成绩落在70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图（）由题意，60，70）分数段的人数为0.15&

26、#215;60=9人，70，80）分数段的人数为0.3×60=18人；分层抽样在分数段为60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；，70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；设从中任取2人，求至多有1人在分数段70，80）为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（c，d）共15种，则基本事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d0共9种，P（A）=【点评】本题主要考查频率分布直方图、

27、用样本估计总体、等可能事件的概率，属于基础题18已知函数的最小正周期为3（I）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值；（II）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且abc，求角C的大小；（）在（II）的条件下，若，求cosB的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值菁优网版权所有【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求，由时，可得：，根据正弦函数的图象和性质即可得解（II）由已知，由正弦定理结合sinA0，可得，结合abc，即可求C的值（）由得，由（II）可求sinA，从而利用两角和与

28、差的余弦函数公式即可求值【解答】解：（I），由函数f（x）的最小正周期为3，即，解得，时，可得：，所以x=时，f（x）的最小值是3，时，f（x）的最大值是1（II）由已知，由正弦定理，有=，又sinA0，又因为 abc，（）由得，由知，【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查19巳知数列an为等差数列，a3=5，a4=2a2+a1（1）求数列an的通项公式an；（2）设bn=，数列bn的前n项和为Tn（i）求Tn；（ii）若T1，Tm，Tn成等比数列，m1，求正整数m，n的值【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式菁优网版权所

29、有【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由a3=5，a4=2a2+a1，可得，解得即可得出（2）（i）bn=，利用“裂项求和”即可得出（ii）由于T1，Tm，Tn成等比数列，m1，可得=T1Tn，化为： =0，化为2m24m10，解出即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a3=5，a4=2a2+a1，解得，an=1+2（n1）=2n1（2）（i）bn=，数列bn的前n项和为Tn=+=（ii）T1，Tm，Tn成等比数列，m1，=T1Tn，=，化为： =0，化为2m24m10，解得：，正整数m=2，n=12【点评】本题考查了等差数列与等

30、比数列的通项公式、“裂项求和”方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCCD，点E在棱AC上，且BEAC（1）试证明：BE面ACD；（2）若AB=BC=CD=2，过直线BE任作一个平面与直线AD相交于点P，得到三棱锥ABCD的一个截面BEP，求BEP面积的最小值；（3）若AB=BC=CD=2，求二面角BADC的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由线面垂直得ABCD，从而CD平面ABC，进而CDBE，由此能证明BE面ACD（2）当EPAD时，BEP

31、面积最小，以B为原点，过B在平面BCD内作BD有垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BEP面积的最小值（3）分别求出平面ADC的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角BADC的正弦值【解答】（1）证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，又BCCD，ABBC=B，CD平面ABC，BE平面ABC，CDBE，BEAC，CDAC=C，BE面ACD（2）解：当EPAD时，BEP面积最小，此时设=，01，P（a，b，c），以B为原点，过B在平面BCD内作BD有垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，AB=BC=CD=2，A（0，0，2

32、），C（2，2，0），E（1，1），D（0，2，0），=（a，b，c2），=（0，2，2），P（0，2，22），=（1，2，12），EPAD， =2（）2（12）=0，解得，P（0，1）， =（1，0，0），=0，|=，|=1，SBEP=，BEP面积的最小值为（3）=（0，2，2），=（2，2，2），设平面ADC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，），又平面ABD的法向量=（1，0，0），设二面角BADC的平面角为，则cos=|cos|=|=0，sin=1，二面角BADC的正弦值为1【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三角形面积的最小值的求法，考查二面角的正弦值的求法，解题时

33、要认真审题，注意向量法的合理运用21已知O：x2+y2=1和定点A（2，1），由O外一点P（a，b）向O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的P与O有公共点，试求半径最小值时P的方程【考点】圆的标准方程；圆的切线方程菁优网版权所有【专题】压轴题；直线与圆【分析】（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2OQ2=PA2，即 （a2+b2）1=（a2）2+（b1）2，化简可得a，b间满足的等量关系（2）由于 PQ=，利用二次函数的性质求出它的最小值（3）设P 的半径为R，可得|R1|POR+1利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=2a+3=，R取得最小值为1，从而得到圆的标准方程【解答】解：（1）连接OQ，切点为Q，PQOQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2OQ2由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即