考研数学-一阶微分方程,可降阶方程

1、第一节第一节一阶微分方程一阶微分方程可降阶微分方可降阶微分方程程特解通解解微分方程的阶,一. 微分方程的概念.1)()(2221 二阶微分方程二阶微分方程为通解构造一个为通解构造一个以以 CyCx例例1)1(0)(2)(2,:21 yCyCx求导求导解解)2(0)(2)(22,22 yCyy再再求求导导)3(/ )(1)2(22 yyCy 得得由由)4(/)(1 )1(21 yyyCx 得得代入代入1)()(1 )()()(1 2222222 yyyyy2/32)1(yy 或或 . )()2 ,2(, ),(),(的通解为的通解为则微分方程则微分方程的通解为的通解为若微分方程若微分方程yxfy

2、Cxgyyxfy 例例2 练习三练习三/1（3）)2 ,2(yxfy 分分析析：)2 ,2()2()2(yxfxdyd ),2(2Cxgy 通解通解)( B解答：解答：.222的正交曲线族的方程的正交曲线族的方程求曲线族求曲线族axyx 例例3,222axyx 解：解：,222ayyx ,代代入入原原曲曲线线族族将将yyxa .222xyxyy 得得,222yxxyy 所求曲线族满足方程所求曲线族满足方程此为齐次型方程，此为齐次型方程，)(22yxCy 可可解解得得._)1(,)0(. )(1,)(2 yyxoxxyyxxxyy则则已知已知函数的增量为函数的增量为时时增量增量当自变量有当自变量

3、有处处在任意一点在任意一点若函数若函数例例4xxoxyxy)(12 分析：分析：21,0 xyyx 有有令令dxxdyy2111 Cxylnarctanln xCeyarctan Cy)0(xeyarctan 4)1( ey 4 e 解答：解答：二. 一阶微分方程的解一阶微分方程分类., 伯努利方程伯努利方程齐次型齐次型线性线性分离变量分离变量，调调把把自自变变量量与与未未知知函函数数对对 . 变量代换变量代换例例5.)(,)()1()(,)(00 的表达式的表达式求求且满足且满足的一个可微函数的一个可微函数是是设设xydttytxdttyxxxyxx 求求导导等等号号两两边边对对解解： xx

4、yxdttytxydttyxx)1()()(00 yxdttytdttyxx200)()( yxxyxyy 22)()31(2 xyyx即即dxxxydy231 Cxxylnln31ln xexCyx13,0 时时当当0)0(,)( y 式式由由 0,0,)(13xxexCxyx 0 yxdttytdttyxx200)()( .2122 的一条积分曲线的一条积分曲线有水平渐近线有水平渐近线求微分方程求微分方程 xxyy例例6)21(222dxexCeydxxdxx 解：解：xCex12 .0, Cyx应取应取趋于有限数趋于有限数时时为使为使xy1 所求积分曲线为所求积分曲线为.0)(3 的通解

5、的通解求方程求方程 dyyxydx例例7yyxdydx31 ：解法解法21yxydydx 121 dyeyCexdyydyy 341yyC 0)(23 dyyxdyydx ：解法解法0)41(4 yxydCyxy 441通解通解.1)1(22 的特解的特解条件条件满足初始满足初始求微分方程求微分方程 yyxyyx221xxyyy ：解法解法此为齐次型方程此为齐次型方程,xyu 令令,uxy 则则udxduxy uuudxdux 2 例例8dxxduuu2222 Cxuulnln22ln yxCxy22 1 C22122xxyyxxy 或或uuudxdux 2 1)1( y22112yxyxy

6、：解法解法2 伯努利方程伯努利方程,1yz 令令,1zy 则则,12zzy 211xzxz 1121dxexCezdxxdxxxCx2122121Cxxzy21C212xxy 通解为通解为三. 变量代换求解微分方程. 2 2的通解求方程yxxdxdy例例9, 2 2yxu令解：, )(21 2xuy则, 21xdxdudxdyudxdu2 , 代入原方程, Cxu解得Cxyx2 2通解2 2CCxy或. 22的通解求方程yxydxdyx例例1022)(1 xyxyyx解：. )( , )( xyfxy右端是等号左端是, xyu 令, 1 2udxdu则CxuarctanCxxyarctan 通

7、解)tan( Cxxy或. 1)0( , 0)0( )1 ( ) 2| ( , cos)( , tan 2222的特解满足初始条件求微分方程借助变换式yyydxydxtttuytx例例11,sincostutudxdy解：tuudxyd322cos)( , 0 , u有代入原方程21)(CtCtu0 , 0 tx有时当. 1| , 0| , 00ttuu代入初始条件, 0 , 1 21CC得. )( ttu故ttytxsectan特解得参数方程函数形式的. arctan1 2xxyt的特解或消去. )0 , 1 (),( , , , sin , cos 的解件并求原方程满足初始条为自变量的新方

8、程为未知函数化成以将微分方程利用换元yxyxyxyyx例例12sincoscossin ddxddydxdy解：dd 经化简后有Ce)0 , 1 (),(yx)0 , 1 (),(, 1 C由此可确定exyeyxarctan22 所求为sincossincos yyxyxy得又由四. 可降阶高阶微分方程),(yxfy 1、 型的微分方程型的微分方程 2、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn ),(yyfy 3、 型的微分方程型的微分方程 . 21)0( , 1)0( 0)(2 2的特解满足求方程 yyyxy例例13, )( xpy 解：令, dxdpy 则022 xpdxdp121Cx

9、p121Cxpy2 , 21)0( 1Cy得代入212xydxxy 212222ln221Cxx1 , 1)0( 2Cy得代入122ln221 xxy所求为. 2)4( , 0)4( 的特解满足初始条件求微分方程 yyyyy例例14, , )( :dydppyypy 则令解ypdydpp,22, 0ydydpp122Cyp. 4 , 1C有代入初始条件422yydxydy42222arctanCxy42arctan xy所求特解为. 4 , 2C有代入初始条件)4tan(2 xy或. 1)()( 22的通解求方程 yy例例15, )( xpy 解：令, dxdpy 则1)(22 pdxdp21

10、pdxdp,112dxdpp,arcsin1Cxp,112dxdpp1arccosCxp ),sin(1Cxp)cos(1Cxp )sin(1Cxpy 21)cos(CCxy321)sin( CxCCxy通解备例备例1.)(,), 0(,)0 ,(21 所满足的定解问题所满足的定解问题求猎狗运动的轨迹曲线求猎狗运动的轨迹曲线追逐兔子追逐兔子速度速度猎狗以猎狗以轴正向作匀速直线运动轴正向作匀速直线运动沿沿速度速度兔子以兔子以点点猎狗位于猎狗位于点点兔子位于兔子位于xyyvxvba ),(yx)0 ,(1tvaoxy), 0(b)(xyy )0 ,(a, t解：在某一时刻解：在某一时刻, )0,(

11、1 tva 兔子兔子, ),( yx猎狗猎狗)(01tvaxyy )(11yyaxvt xtvdxy022)(1 )( )(11202yyaxvvdxyx)()(1 )(1,22122yyyyvvy 求导求导 abybyyyyvvy)0(,)0()()(21221定解问题定解问题).(, 1)0(, 1)()(,)(1)(,)()(xffxGxFxfxGxfxF求求且且一个原函数一个原函数的的是是的一个原函数的一个原函数是是若若 备例备例2,1)()( 求导求导等号两边对等号两边对解：解：xxGxF 0)()()()( xGxFxGxF,)(1)( xFxG 由由)(1)(1)(xFxfxG

12、0)()()()( xFxFxFxF 得得)()(xFxF 即即xxCexFCexF )()( 或或求得求得xxCexfCexf )()( 或或于是于是1)0( f代入代入xxexfexf )()( 或或有有xexf )(. 0) 1 ( | 的特解满足初始条件求微分方程yxyy备例备例3 练习四/十xhCeyyy 0的通解解：方程0 , 10 , 1 |21xxeCxxeCyxyyxx的解. 0 , 0) 1 ( 2Cy得代入2 1)0()00()00( 1Cyyy得再由0 , 10 , 12 xxxxeyx所求特解为.0)0()(1,010,2)( 的连续解的连续解满足满足求方程求方程设设

13、 yxQydxdyxxxQ备例备例4,2,101 xeCyx方程通解方程通解时时解：当解：当,2,0)0(1 Cy得得由由).1(2xey ,12 xeCyx 方程通解方程通解时时当当, )1()(lim)(lim11 yxyxyxx 令令121)1(2 eCe 有有)1(22 eCxeey )1(2 1,)1(210, )1(2)(xeexexyxx 所求为所求为 时时10 x,12 xeCyx 时时).1(2xey . )(,1)()()()(12 xfxfdxxxfxfxfx求求满足满足已知可微函数已知可微函数 备例备例5, )()()(2 xfxxfxf 解：解：fxffxfdfdx

14、2fxfdfdx 1)(Cffx 得得xCxfxf )()( 即即1)1(, f 得得由原等式由原等式0C ,)(2 xxf .)( xxf .)(,1)1( xxff 故故因因fxfdfdx 1.0)12()22( 的通解的通解求微分方程求微分方程 dyexedxexyyy备例备例6 练习四/九02)(222 dyedyexdedxedxxdxyyyy解：解：0)2(22 yyyeexexxdCeexexxyyy 222通解通解. 1)( , 0 :, 1)0( , 0 )(11)()( )( , 1 0 xfexfdxxfxxfxfxfxxx成立时当证明满足可微函数时设当备例备例7, 1)0()(,