常微分方程：一阶常微分方程模型

1、一阶常微分方程模型人口模型 指数增长模型（Malthus模型）1798年Malthus提出了著名的人口指数增长模型，这个模型的基本假设是：人口的增长率为 常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。0( ),( )(0), ()( )( ),tx tx txxrx ttx trx tt记时刻 的人口为当考察一个国家的人口时，很大，可当作连续变量考虑，设人口增长率为常数 则( )x t于是满足微分方程0(0)dxrxdtxx0 ( )0rtx tx er解得，当时，该解表明人口将按指数规律无限增长。模型的缺陷：人口爆炸Malthus的解决办法：战争和瘟疫模型适用于：人口增长率长期稳定不变的

2、国家和地区 Logistic模型（阻滞增长模型） ( )(1) ()0,mmmxxr xrxrxxr x假设人口增长率是人口的减函数，最简单的假设是为的线性函数，其中 称为固有增长率，表示自然资源所容纳的最大人口数量，此式说明因此有0(1)1 (0)mdxxrxdtxxx（ ）Logistic这个模型称为阻滞增长模型（或模型）这是一个Bernoulli方程，令，1zx,mdzrrzdtx 则方程化为运用一阶线性非齐次方程的解题方法可得1( )rtmz tCex1 ( )1rtmx tCex即，再由初值条件可得0( )1 (1)mrtmxx txex 20世纪初美国曾用这一模型预测人口，取660

3、3.9 10 (1790),0.31,197 10mxrx年人口19301960,mx直到年计算结果都能与实际数据较好地吻合，后来的误差就越来越大，原因是到年美国实际人口已大于这是因为随着科学技术的进步，一个国家能容纳的最大人口数也是可以改变的。01mLogisticxtxrt 模型也适合描述商品销售状况，在自然推销的销售方式，即无广告宣传费（口碑相传）的方式下，设表示时刻已售出的商品量，表示商品的最大需求量，表示时销售量的增长率，则商品销售量也满足（ ）。传染病模型一、(SI模型)不考虑病人治愈的传染模型 模型假设：为简单起见，总人数N不变 1( )( )ts ti t人群分为易感染者和已感

4、染者，时刻 这两类人数分别为和。(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ，成为日接触率，健康者只要被病人有效接触就立即变成病人。 模型建立(2)( )/( ) ( )/,ts tNi t s tNdiisNdt由假设，第 天每个病人可使个健康者变为病人，共有个健康者被感染，即有00( )( ), (0),(1) (0)s ti tNiidiiidtNii又因为记则有10( )(1),2()2 ln(1) (*)mmiNg iiiNNdidiidtdtNti模型分析：因为的最大值点为所以当时达最大值，这个时刻为10 ( )1(1)tLogisticNi tNei这就是上节出现的模型，解得 模

5、型检验(1)(*) *mmtt是中的 就是病人增加最快的时刻，即传染病的高峰期， （ ）式说明 与 成反比，因为日接触率代表该地区的卫生水平， 越小卫生水平越高，这说明改善卫生环境可以推迟传染病高峰期的到来。(2), tiN 时，即最后全是病人，这是该模型的 缺点，原因是没有考虑病人可以治愈。二、(SIS模型) 病人可以治愈但无免疫力的传染病模型 模型假设(1),(2)(3) SI条件同模型。病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ，称为日治愈率， 病人治愈后成为仍可被感染的健康者。 模型建立0(3),/ (0)SIdisi Nidtii由假设模型应改为()1010() , ( )() , tNN

6、eii tNNti 解得/,1(1),1, ( )0, 1Ni 定义则可知 模型检验1由 的定义和是传染病的平均传染期，由 的定义和是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。01 1( )11( )lim ( )(1)ti ti tii tN是一个阈值， 当时病人单调下降趋于零，当时的增减性与 有关，但是 的增函数。三、(SIR模型) 病人可以治愈且有免疫力的传染病模型 模型假设(1).( ), ( ), ( ).(2) ,(0)0.ts t i t r tr 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者。时刻的数量分别记为同前两个模型，取 模型建立00(1), ( )( )( )/,

7、(0), (0)s ti tr tNdisi Nidtdridtii ss由假设由假设(2),( ), ( )i t s t这是一个关于未知函数的非线性方程组，无法求出它们的解析解。雪堆融化00.3720018Skr一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 成正比，比例常数假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 的雪堆在开始融化的 小时内，融化了其体积的 ，问雪堆全部融化需要多少小时？（考研）0000,trktCrrCrrktr 积分得由初值条件可得，于是。32222,2,3,22,.tVrSrdVdrdrkSrkrkdtdtdt 解法一：设雪堆在时刻 的体积为侧面积为由题设知，即即3330000121 21,(3 ),838 36ttVVrkrkr又由即得0(