2012年全国统一高考数学试卷(理科)

1、2021年全国统一高考数学试卷理科新课标一、选择题：本大题共12小题,每题5分,在每题给同的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 5分集合A=1,2,3,4,5,B=x,y|xCA,yCA,x-yCA,那么B中所含元素的个数为A.3B.6C.8D.102. 5分将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有A.12种B.10种C.9种D.8种3. 5分下面是关于复数z=.的四个命题:其中的真命题为,P1：|z|=2,P2：z2=2i,p3：z的共腕复数为1+i,P4：Z的虚部为-1.A.P2,P3B.P1

2、,P2C.P2,P4D.P3,P44. 5分设Fi、F2是椭圆E:看=1a>b>0的左、右焦点,P为直线x喏上一点,F2PF1是底角为30°的等腰三角形,那么E的离心率为A-2B3.甫D-f5. 5分an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,那么a+a10=A.7B.5C.-5D.-76. 5分如果执行右边的程序框图,输入正整数NN>2和实数a1,82,an,输出A,B,那么A.A+B为ai,a2,an的和B.号为ai,02,an的算术平均数C. A和B分别是ai,a2,an中最大的数和最小的数D. A和B分别是ai,az,an中最小的数和最大的数7. 5分如

3、图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,那么此几何体的体积为A.6B.9C.12D.188. 5分等轴双曲线C的中央在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B,|AB|=4底,那么C的实轴长为A.:B.一C4D.89. 5分>0,函数fx=sin+在区间二匚,可上单调递减,42那么实数的取值范围是亭A.B.C.S,-1D.(0,211. 5分三棱锥S-ABC的所有顶点都在球.的外表上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球.的直径,且SC=2那么此三棱锥的体积为aTbvc-第D卷12. 5分设点P在曲线尸空上,点Q在曲线y=ln2x上,那么|PQ

4、最小值为A.1-ln2B.近UTn2)C.1+ln2D.二.填空题：本大题共4小题,每题5分.13. 5分向量扇石夹角为45.,且臼=L|21-blWlO,那么耳1=一14. 5分设x,y满足约束条件：*1;那么z=x-2y的取值范围为.15. 5分某个部件由三个元件按下列图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,那么部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命单位：小时均服从正态分布N1000,502,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为16. (5分)数列an满足an+i+(-1)nan=2n-1,Man的前60项和为三、解做题：解容许写出文字

5、说明,证实过程或演算步骤.17. (12分)a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,cV3asinC一ccosA(1)求A;(2)假设a=2,ABC的面积为有,求b,c.18. (12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进假设干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)假设花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝,nCN)的函数解析式.(2)花店记录了100大玫瑰花的日需求量(单位：枝),整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各

6、需求量发生的概率.(i)假设花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位：元),求X的分布列,数学期望及方差；(ii)假设花店方案一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. (12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1XBD(1)证实：DCLBC;(2)求二面角A1-BD-G的大小.ClBl20. (12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,ACC,以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点；(1)假设/BFD=90,AABD的面积为4V8求p的值及圆F的方程；(2)假设A,

7、B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21. (12分)函数f(x)满足f(x)=f'(1)ex1-f(0)x+i-x2;(1)求f(x)的解析式及单调区问；(2)假设f(累)宜芯+卜,求(a+1)b的最大值.四、请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22. (10分)如图,D,E分别为4ABC边AB,AC的中点,直线DE交4ABC的外接圆于F,G两点,假设CF/AB,证实：(1) CD=BC(2) BCMGBD.23.选修4-4;坐标系与参数方程曲线G的参数方程是(小为

8、参数),以坐标原点为极点,x轴的|.y=3sin<&正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是P=2正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,；).(1)求点A,B,C,D的直角坐标；(2)设P为G上任意一点,求|PA2+|PB2+|PC2+lPD|2的取值范围.24.函数f(x)=|x+a|+|x-2|(1)当a=-3时,求不等式f(x)>3的解集；(2)假设f(x)<|x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围.2021年全国统一高考数学试卷理科新课标参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每题5分,在每题给同

9、的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 5分2021渤课标集合A=1,2,3,4,5,B=x,y|xA,yCA,x-yA,那么B中所含元素的个数为A.3B.6C.8D.10【分析】由题意,根据集合B中的元素属性对x,y进行赋值得出B中所有元素,即可得出B中所含有的元素个数,得出正确选项【解答】解：由题意,x=5时,y=1,2,3,4,x=4时,y=1,2,3,x=3时,y=1,2,x=2时,y=1综上知,B中的元素个数为10个应选D2. 5分2021?新课标将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有A

10、.12种B.10种C.9种D.8种【分析】将任务分三步完成,在每步中利用排列和组合的方法计数,最后利用分步计数原理,将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步,为甲地选一名老师,有C；=2种选法；第二步,为甲地选两个学生,有=6种选法；第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法故不同的安排方案共有2X6X1=12种应选A3. 5分2021?新课标下面是关于复数z.的四个命题:其中的真命题-1+1为,Pi：|z|=2,P2：z2=2i,P3：z的共腕复数为1+i,P4：z的虚部为-1.A.P2,P3B.pi,P2C.P2,P4D.P3,P4【分析】由z=2=/_=1i,知|工|二WbDo.广

11、二2i,-1+i(-1+1)(-1-1)P111工以P3：z的共腕复数为-1+i,P4：z的虚部为-1,由此能求出结果.【解答】解：z二2(-1-i)-L+i(-1+1)(-1-i=-1-i,Pz：一二2i,P3：z的共腕复数为-1+i,P4：z的虚部为-1,应选C.224. 5分2021?新课标设R、F2是椭圆E:三+彳=1a>b>0的左、右a焦点,P为直线x夸上一点,F2PF1是底角为30°的等腰三角形,那么E的离心率为B.C.D.【分析】利用F2PR是底角为30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据P为上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率.

12、【解答】解：:EPF是底角为30°的等腰三角形,.|PE|=|F2F1IP为直线x=3aT21七-c二2cc3u=-=a45. 5分2021?新课标an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,那么ai+ai0=A.7B.5C.-5D.-7【分析】由a4+a7=2,及a5a6=a4a7=-8可求a4,a7,进而可求公比q,代入等比数列的通项可求ai,aio,即可【解答】解：:a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=-8 a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4当a4=4,a7=2时,q,二g,J a1=8,a10=1,a1+a10=7当a4=2,a7=4时,q3

13、=-2,那么a10=8,a1=1 二a1+a10=7综上可得,aI+a10=-7应选D6.5分2021痢课标如果执行右边的程序框图,输入正整数NN>2和实数ai,an,输出A,B,那么I结束A.A+B为ai,a2,an的和B.号为ai,a2,an的算术平均数CA和B分别是ai,a2,an中最大的数和最小的数D.A和B分别是ai,a2,an中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是求出ai,a2,an中最大的数和最小的数.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知,该程序的作用是：求出ai,a2,a

14、n中最大的数和最小的数其中A为ai,a2,an中最大的数,B为ai,a2,an中最小的数应选：C.7. 5分2021?新课标如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,那么此几何体的体积为【分析】通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即可.【解答】解：该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为3;底面三角形斜边长为6,高为3的等腰直角三角形,此几何体的体积为V=LxiX6X3X3=9.32应选B.8. 5分2021?新课标等轴双曲线C的中央在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B,|AB|=4乃,那么C的实轴长为A.'

15、：B.1C.4D.8【分析】设等轴双曲线C：x2-y2=a2a>0,y2=16x的准线l：x=-4,由C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,1皿1二46,能求出C的实轴长.【解答】解：设等轴双曲线C:x2-y2=a2a>0,y2=16x的准线l:x=-4,.C与抛物线y2=16x的准线l：x=-4交于A,B两点,IABI“如.A-4,2行,B4,-砺,将A点坐标代入双曲线方程得相二一而2=4,a=2,2a=4.应选C.9. 5分2021?新课标>0,函数fx=sin+三在区间4可上单调递减,那么实数的取值范围是A.B.C. S,1,D.(0,2【分析】法一：通过特殊值=

16、2=1验证三角函数的角的范围,排除选项,得到结果.法二：可以通过角的范围,直接推导的范围即可.【解答】解：法一：令：S=卢日等1不合题意排除D3二5cTW空罟合题意排除BC自：JU7T7T冗34-C.42应选A.10.5分2021渐课标函数f,那么y=fx的图象大【分析】考虑函数fx的分母的函数值恒小于零,即可排除A,C,由fx(x)=1门0+1)-的定义域能排除D,这一性质可利用导数加以证实【解答】解：设式分;1门1+工-KMg,(x)=_Igx在-1,0上为增函数,在0,+OO上为减函数.g(x)<g(0)=0f(x)=/.<0式式)得：x>0或-1<x<0均

17、有f(x)<0排除A,C,又f(x)ln(s41)-工中,尸g,InG+1)-#.能排除D.应选B11. 5分2021?新课标三棱锥S-ABC的所有顶点都在球.的外表上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球.的直径,且SC=2那么此三棱锥的体积OO1,进而求出底面【分析】根据题意作出图形,利用截面圆的性质即可求出ABC上的高SD,即可计算出三棱锥的体积.【解答】解：根据题意作出图形:设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为.1,那么OQL平面ABC,延长CQ交球于点D,那么SD1平面ABC.=f,"g哈高SD=2OO=,3.ABC是边长为1的正三角形,SABC='3,4二

18、V三棱锥s-abc=Lx近2.3436应选：C.B12. (5分)(2021?新课标)设点P在曲线厂义一上,点Q在曲线y=ln(2x)上,那么|PQ|最小值为()A.1-ln2B.衣U-ln2)C.1+ln2D,V2(l+ln2)【分析】由于函数尸/与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称,要求|PQ|的最小值,只要求出函数尸上的点PG,到直线y=x的距离为2的最小值,设g(x)ex-K,利用导数可求函数g(x)的单调性,进而可求g(x)的最小值,即可求.【解答】解：二.函数尸之苦与函数y=g(2x)互为反函数,图象关于y=x对称,d-函数户"上的点P(心会力到直线y=x

19、的距离为设g(x)-K(x>0),那么/G)二;/-1,由/(G二-1学0可得x>ln2,由目(口二亮“T<°可得°<x<ln2,函数g(x)在(0,ln2)单调递减,在ln2,+8)单调递增,二当x二ln2时,函数g(x)min=1-ln2,面5&,由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2dli小二近0-n2应选B.填空题：本大题共4小题,每题5分.13. 5分2021渐课标向量；,Z夹角为45°,且值日,|2a-b|=V10,那么|b1=32.【分析】由可得,fa*b|a|b|cos45*=亭|芯|,代入|2a-b|=J

20、2；-E2*%2-盘E+/力4-防i|E|十丁|沂1可求【解答】解：:<；,E>=45.,值1=1；I:I'1='.|l|；-一,=-=I"解得11'|-：.：故答案为：314. 5分2021?新课标设x,y满足约束条件：x-y>-1；贝Jz=x-2yx+y<3的取值范围为.【分析】先作出不等式组表示的平面区域,由z=x-2y可得,y等k-1小那么-二表示直线x-2y-z=0在y轴上的截距,截距越大,z越小,结合函数的图形可求z的最大与最小值,从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x-2y可得,y=1西工,那么-：

21、工表示直线x-2y-z=0在y轴上的截距,截距越大,z越小结合函数的图形可知,当直线x-2y-z=0平移至UB时,截距最大,z最小；当直线x-2y-z=0平移到A时,截距最小,z最大由卜*-1可得B(1,2),由卜*3可得A(3,0)j+y=3Iy=0,Zmax=3,Zmin=3WJz=x-2yC-3,3故答案为：-3,315. 5分2021?新课标某个部件由三个元件按下列图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,那么部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命单位：小时均服从正态分布N1000,502,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为三.8_

22、1元件II元件鼻|忻件1【分析】先根据正态分布的意义,知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为_L,而所求事件该部件的使用寿命超过1000小时当且仅当超过1000小时时,元件1、元件2至少有一个正常和超过1000小时时,元件3正常同时发生,由于其为独立事件,故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N1000,502得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为正/设A=超过1000小时时,元件1、元件2至少有一个正常,B=超过1000小时时,元件3正常C=该部件的使用寿命超过1000小时那么P(A)=1-(1-p)?工P(B)42P(C)=P(AB)

23、=P(A)故答案为二16. (5分)(2021渐课标)数歹an满足an+1+(1)nan=2n-1,贝Uan的前60项和为1830.【分析】由题意可得a2a1=1,a3+a2=3,a4a3=5,a5+a4=7,a6a5=9,a7+a6=11,电0-a49=97,变形可得a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a5=2,a16+aI4=56,利用数歹1的结构特征,求出an的前60项和【解答】解：an+1+(T)nan=2n-1,有a2-a1=1,a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,as-a5=9,a7+a6=11

24、,与0-a49=97.从而可得a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+an=2,a12+a10=40,a13+an=2,a16+a14=56,从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列.an的前60项和为15X2+(15X8+5；"兴=1830,故答案为：1830.三、解做题：解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.17. (12分)(2021?新课标)a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c=/fasinC-ccosA(1)求A;(2)假设a=2,ABC的面积

25、为依,求b,c.【分析】(1)由正弦定理有：JsinAsinC-sinCcosA-sinC=0,可以求出A;(2)有三角形面积以及余弦定理,可以求出b、c.【解答】解：(1)c=/asinC-ccosA由正弦定理有：VsinAsinCsinCcosA-sinC=Q即sinC?(T5sinAcosA1)=0,又,sinCw0,所以VjsinA-cosA-1=0,即2sin(A-)=1,6所以A=；3(2)&ABC=LbcsinA=/3,所以bc=4,a=2,由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA,即4=b2+c2bc,即有ap,Lb£+c2-bc=4解得b=c=2.18.

26、12分2021?新课标某花店每天以每枝5元的价格从农场购进假设干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.1假设花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y单位：元关于当天需求量n单位：枝,nCN的函数解析式.2花店记录了100大玫瑰花的日需求量单位：枝,整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.i假设花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润单位：元,求X的分布列,数学期望及方差；ii假设花店方案一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

27、【分析】1根据卖出一枝可得利润5元,卖不出一枝可得赔本5元,即可建立分段函数；(2)(i)X可取60,70,80,计算相应的概率,即可得到X的分布列,数学期望及方差；(ii)求出进17枝时当天的利润,与购进16枝玫瑰花时当天的利润比拟,即可得到结论.【解答】解：(1)当n?16时,y=16X(10-5)=80;当n015时,y=5n-5(16-n)=10n-80,得：POn-(口6可)如Cn>16)(2)(i)X可取60,70,80,当日需求量n=14时,X=60,n=15时,X=70,其他情况X=80,P(X=60)=频数,1Q1Ci+20+16+16+15+13410100=0.1,

28、P(X=70)=-1000.2,P(X=80)=1-0.10.2=0.7,X的分布列为X6070P0.10.2800.7EX=60X0.1+70X0.2+80X0.7=76DX=16X0.1+62X0.2+42X0.7=44(ii)购进17枝时,当天的利润的期望为y=(14X5-3X5)X0.1+(15X5-2X5)X0.2+(16X5-1X5)X0.16+17X5X0.54=76.4V76.4>76,应购进17枝19.(12分)(2021?新课标)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA,D是棱AA1的中点,DGLBD(1)证实：DCLBC;(2)求二面角Ai-BD-O的

29、大小.ClBl【分析】(1)证实DCBC,只需证实DG,面BCD,即证实DCiDC,DCiXBD;(2)证实BC,面ACCAi,可得BC,AC取AiBi的中点O,过点.作OH,BD于点H,连接CiO,CiH,可得点H与点D重合且/CiDO是二面角Ai-BD-Ci的平面角,由此可求二面角Ai-BD-Ci的大小.【解答】(i)证实：在RtADAC中,AD=AG/ADC=45同理：/AiDG=45°,aZCD(C=90° DQXDC,DGXBDvDCABD=D DC面BCDvBC?面BCD DQXBC(2)解：vDCBC,COXBC,DCiACC=Ci,aBC±面ACC

30、Ai,.AC?面ACCAi,aBC±AC取AiBi的中点O,过点.作OH,BD于点H,连接CiO,OH,.AiCi=BiG,CiOXAiBi,丁面AiBiCi,面AiBD,面AiBiCiA面AiBD=ABi,.GO"AiBD而BD?面AiBD.BD±CiO,.OHIXBD,CiOAOH=O,BD±面CiOH；CiH,BD,点H与点D重合且/CiDO是二面角Ai-BD-Ci的平面角设AC=a那么C0魄3,C11V西社=2Ci0sin/CiDO=-/CiDO=30即二面角Ai-BD-Ci的大小为30020.12分2021?新课标设抛物线C:x2=2pyp&g

31、t;0的焦点为F,准线为I,ACC,以F为圆心,FA为半径的圆F交I于B,D两点；1假设/BFD=90,zABD的面积为求p的值及圆F的方程；2假设A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.【分析】1由对称性知：BFD是等腰直角,斜边|BD|=2p点A到准线I的距离d=|FA|=|FE|=V2,由ABD的面积Sabd=人用,知gXBDXd=K2pX而?二啦,由此能求出圆F的方程.22由对称性设用岚口>0,那么NO.8点A,B关于点F对称得：.2Pu222EL町,p-点二谓O毋3P2,得：年,由此能求出坐标原点到m,n距离的比值.【

32、解答】解：1由对称性知：BFD是等腰直角,斜边|BD|二2p点A到准线I的距离|*|贿|二|咫|=%历乩.ABD的面积&abd=W2,?XBDX号XQ而p二4&,解得p=2,所以F坐标为0,1,圆F的方程为x2+y-12=8.22由题设芸红?0,那么F0,着,u2口u2:A,B,F三点在同一直线m上,又AB为圆F的直径,故A,B关于点F对称.22由点A,B关于点F对称得：双-殉,二-Ro谥'J3P_p_得：,直线m：y-冥沁户产口-二工二冬=工芈pn切点p学,卷2pp3338直线m：y-彗与-如、-坐坐标原点到m,n距离的比值为退女；亘二32621.12分2021渐课标

33、函数fx满足fx=fz1ex1-f0x+-x2;1求fx的解析式及单调区问；2假设f冗J+ax+b,求a+1b的最大值.【分析】1对函数fx求导,再令自变量为1,求出f'1得到函数的解析式及导数,再由导数求函数的单调区问；2由题意式KgJ+akb台hG二小-缶十1卜-b?c|,借助导数求出新函数的最小值,令其大于0即可得到参数a,b所满足的关系式,再研究a+1b的最大值【解答】解：1令x=1得：f(0)=1式惠)二f,(1)/7令x=0,彳3f(0)=f(1)e-1=1解得f(D=e故函数的解析式为f二/-吗/令g(x)=f(x)=ex-1+x.g'(x)=ex+1>0,

34、由此知y=g(x)在xCR上单调递增当x>0时,f(x)>f(0)=0;当x<0时,有f(x)<f(0)=0得：函数十)二-吗J的单调递增区间为(.,+2,单调递减区间为(-巴.)(2)£8),/+.乂十卜0hG)二一-b>C得h'(x)=ex-(a+1)当a+100时,h'(x)>0?y=h(x)在xCR上单调递增,x-00时,h(x)-00与h(x)>0矛盾当a+1>0时,h'(x)>0?x>ln(a+1),h'(x)<0?x<ln(a+1)得：当x=ln(a+1)时,h(x)

35、min=(a+1)(a+1)In(a+1)-b>0,即(a+1)-(a+1)In(a+1)>b(a+1)b<(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),(a+1>0)令F(x)=x2-x2lnx(x>0),贝UF'(x)=x(12lnx)1 J.、工二当户戈时,F(y也存即当b二容时,(a+1)b的最大值为四、请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22. (10分)(2021?新课标)如图,D,E分别为4ABC边AB,AC的中点,直线DE交ABC的外接圆于F,G两点,假设CF/AB,证实：(1) CD=BC(2) BCMAGBD.【分析】1根据D,E分别为4ABC边AB,AC的