传热学基础(第二版)第五章教学课件导热问题的数值解法

1、第五章第五章 导热问题的数值解法导热问题的数值解法 5-1 稳态导热有限差分方程 5-2 非稳态导热有限差分方程 5-3 边界条件1/25 分析解法的优点：求解过程中的数学分析分析解法的优点：求解过程中的数学分析较严谨；求解结果以函数形式表示，能清较严谨；求解结果以函数形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响。楚地显示各种因素对温度分布的影响。原原则上，导热问题的求解就是对导热微分方则上，导热问题的求解就是对导热微分方程式在规定的边界和初始条件下积分求解。程式在规定的边界和初始条件下积分求解。这种解法称为分析解。这种解法称为分析解。导热问题数值解概述导热问题数值解概述 2/25 近百年来

2、，文献中积累了一批不同条件近百年来，文献中积累了一批不同条件下导热问题的分析解。然而，对于许多实下导热问题的分析解。然而，对于许多实用场合，几何条件或边界条件的复杂性排用场合，几何条件或边界条件的复杂性排除了分析解的可能性。另外，有一些问题除了分析解的可能性。另外，有一些问题虽然可以求得分析解，但是由于分析解中虽然可以求得分析解，但是由于分析解中包括一些复杂级数而不易获得数字结果。包括一些复杂级数而不易获得数字结果。3/25数值计算方法数值计算方法 有效解决复杂问题的方法；是有效解决复杂问题的方法；是具有一定精度的近似方法。数值求解通常是对具有一定精度的近似方法。数值求解通常是对微分方程直接进

3、行数值积分或者把微分方程转微分方程直接进行数值积分或者把微分方程转化为一组代数方程组再求解。这里要介绍的是化为一组代数方程组再求解。这里要介绍的是后一种方法。如何实现从微分方程到代数方程后一种方法。如何实现从微分方程到代数方程的转化。的转化。数值解法：有限差分法（数值解法：有限差分法（finite-difference）、）、有有限 元 法 （限 元 法 （ f i n i t e - e l e m e n t ） 、） 、 边 界 元 法边 界 元 法（boundary-element）4/25在数值解法之中，应用最为广泛的是建在数值解法之中，应用最为广泛的是建立在有限差分法基础上的数值解

4、法。立在有限差分法基础上的数值解法。有有限差分法的基本思想是把原来在时间和限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量（如温度、空间坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限个离散压力、速度和热流等），用有限个离散点上的数值集合来近似表示。点上的数值集合来近似表示。 近年来，电子计算机的普及和提高，近年来，电子计算机的普及和提高，有效地推动了数值解法的发展。由于高有效地推动了数值解法的发展。由于高速计算机的普及，许多过去认为不能求速计算机的普及，许多过去认为不能求解的导热问题获得了数值解，开辟了求解的导热问题获得了数值解，开辟了求解各种复杂导热问题的广阔道路解

5、各种复杂导热问题的广阔道路。5/25 51 稳态导热有限差分方程稳态导热有限差分方程 分析解可以确定物体中任意点的分析解可以确定物体中任意点的温度，而数值计算只能确定一些离温度，而数值计算只能确定一些离散的点上的温度。为了进行数值计散的点上的温度。为了进行数值计算，首先必须选取这些离散点。以算，首先必须选取这些离散点。以一个二维稳态导热问题为例。一个二维稳态导热问题为例。 6/2502222ytxt 参看图参看图a a， 离散化是通过将一个二维物离散化是通过将一个二维物体分割成矩形网格实现的。在体分割成矩形网格实现的。在x x及及y y方向上方向上分割距离分别为分割距离分别为 及及 。网格交点

6、就是所。网格交点就是所选取的离散点，称为节点。符号选取的离散点，称为节点。符号m m、n n分别分别用来表示节点的坐标。例如用来表示节点的坐标。例如( (m,n)m,n)节点的坐节点的坐标是标是 、 。节点上的温度。节点上的温度表示为表示为T Tm,nm,n。其余节点仿此类推。其余节点仿此类推。 xyynyxmx7/25 节点的温度实质上代表了图中灰影部节点的温度实质上代表了图中灰影部分物体的平均温度。它反映了有限差分法分物体的平均温度。它反映了有限差分法表达上的近似。网格的分割要受到物体几表达上的近似。网格的分割要受到物体几何形状以及计算要求达到的精确度的约束。何形状以及计算要求达到的精确度

7、的约束。一般来说，网格取得越小，数值计算的结一般来说，网格取得越小，数值计算的结果越准。果越准。 但是这样做是要付出代价的。网格的减但是这样做是要付出代价的。网格的减小要求增加计算机的信息储存和增加运算小要求增加计算机的信息储存和增加运算次数，延长计算时间导致计算费用的增加。次数，延长计算时间导致计算费用的增加。其次，由于计算机运算是对有限位数数字其次，由于计算机运算是对有限位数数字进行的，运算次数的增加会产生积累起舍进行的，运算次数的增加会产生积累起舍入误差的副作用。入误差的副作用。8/25 下面来导出二维稳态导热微分方程式的有限下面来导出二维稳态导热微分方程式的有限差分近似表达式。差分近似

8、表达式。 考察一个物体内部的任意节点考察一个物体内部的任意节点(m,n)。以以x方向方向为例，节点附近的温度分布示于图为例，节点附近的温度分布示于图51b。用节点温度表示的近似的温度变化率有：用节点温度表示的近似的温度变化率有： xTTxTxTTxTnmnmnmnmnmnm,1,2/1,1,2/19/2510/25 二维稳态导热微分方程式中的二次导数二维稳态导热微分方程式中的二次导数 可利用以上关系近似的表达为可利用以上关系近似的表达为22/ xT 2, 1, 1, 2/ 1, 2/ 1,22)(2xTTTxxTxTxTnmnmnmnmnmnm2,1,1,22)(2yTTTyTnmnmnmnm

9、 同理，在同理，在y方向上方向上11/25 将以上二次导数近似式代入二维稳态将以上二次导数近似式代入二维稳态导热微分方程，就得到导热微分方程的有导热微分方程，就得到导热微分方程的有限差分近似表达式，亦称有限差分方程限差分近似表达式，亦称有限差分方程0)(2)(22,1,1,2, 1, 1yTTTxTTTnmnmnmnmnmnm如果取如果取 的正方形网格，则上式简的正方形网格，则上式简化成为化成为yx 04,1,1, 1, 1nmnmnmnmnmTTTTT12/25 这就是任意内部节点的有限差分方程。这就是任意内部节点的有限差分方程。它是一个代数方程。以上的关系表明，在它是一个代数方程。以上的关

10、系表明，在导热系数为常量时热量的转移可以用温度导热系数为常量时热量的转移可以用温度差来表达。差来表达。 上式还表明：在稳态下，流向任何节上式还表明：在稳态下，流向任何节点热量的总和必须等于零。点热量的总和必须等于零。 采用数值法求解时，必须对物体中每采用数值法求解时，必须对物体中每个节点写出类似上面推导的代数方程个节点写出类似上面推导的代数方程，然然后联立求解所有节点的温度值。后联立求解所有节点的温度值。 13/255-2 非稳态导热有限差分方程 作为入门的引导，本节以一维非稳作为入门的引导，本节以一维非稳态问题为例，导出非稳态导热有限差分态问题为例，导出非稳态导热有限差分方程。一维非稳态无内

11、热源的导热微分方程。一维非稳态无内热源的导热微分方程式方程式)25(22xTTc非稳态导热的特点是温度不仅依空间坐标非稳态导热的特点是温度不仅依空间坐标变化，并且还依时间而变。变化，并且还依时间而变。14/25 对微分方程作有限对微分方程作有限差分离散化处理必须差分离散化处理必须同时把所研究的空间同时把所研究的空间和时间范围各自分割和时间范围各自分割成许多细小的间隔组成许多细小的间隔组成网格，如时空坐成网格，如时空坐标示意图标示意图52所示。所示。 图中任意节点图中任意节点(m,i)的温度表示为的温度表示为Tm(i)。下角码表示空间间隔下角码表示空间间隔序号，上角码则表示序号，上角码则表示时间

12、间隔的序号。时间间隔的序号。15/25 对式（对式（52）中的时间导数）中的时间导数 采用向采用向前差分格式，可表示为前差分格式，可表示为/T)()1(imimTTT由于分子中的温度差是用时间上向前一个间隔的由于分子中的温度差是用时间上向前一个间隔的值与考察点的当地值之差确定的，所以称为向前值与考察点的当地值之差确定的，所以称为向前差分格式。在上一节里，温度的二次导数是用观差分格式。在上一节里，温度的二次导数是用观察点当地向前半个间隔与向后半个间隔的一次导察点当地向前半个间隔与向后半个间隔的一次导数差得出的，所以称为中心差分格式。现在仍对数差得出的，所以称为中心差分格式。现在仍对式（式（52）

13、中的二次导数）中的二次导数 采用中心差分采用中心差分表达，则式（表达，则式（52）的差分方程为）的差分方程为22/ xT )35(2)(1)()(12)()1(imimimimimTTTxTTc16/25 图图53在物理在物理意义上示出了在有意义上示出了在有限厚度限厚度x 一层物一层物体内的能量守恒关体内的能量守恒关系。进入系。进入x面的热面的热流密度为流密度为qx，传出传出x+x 面的热流密面的热流密度为度为qX+XX+X。层内单层内单位时间、单位体积位时间、单位体积的内能增量则的内能增量则为为 。)()1(imimTTcx17/25x 由此可知，除了保留由此可知，除了保留x、 的有的有限大

14、小这一特征之外，有限差分方程与微限大小这一特征之外，有限差分方程与微分方程都是从能量守恒原理推导出来的。分方程都是从能量守恒原理推导出来的。导出式（导出式（53）所选出的差分格式有一定）所选出的差分格式有一定随意性。对时间导数也可选出中心差分，随意性。对时间导数也可选出中心差分，或者选用或者选用+而不是而不是这个时间来计算这个时间来计算空间导数。导出差分方程中差分格式的不空间导数。导出差分方程中差分格式的不同选择不仅影响到求解方程的方法，并且同选择不仅影响到求解方程的方法，并且因为有可能会出现解的不稳定性甚至可能因为有可能会出现解的不稳定性甚至可能得不到解答。得不到解答。 令令 ，则式（，则式

15、（53）可改写成为）可改写成为2xar)(1)()(1) 1()21 (imimimimrTTrrTT18/25 从上式可以看出，任意时刻的温度分布可从上式可以看出，任意时刻的温度分布可以方便地从一个时间间隔前的温度分布中算出，以方便地从一个时间间隔前的温度分布中算出，而不必求解联立方程组。这种格式称为显式。而不必求解联立方程组。这种格式称为显式。 已经查明显示格式差分方程的解并不是无条件已经查明显示格式差分方程的解并不是无条件收敛的。只有在收敛的。只有在的条件下方程式的解才会收敛。在物理意义上，的条件下方程式的解才会收敛。在物理意义上，它表明任意节点的温度值不能成为导致该点相它表明任意节点的

16、温度值不能成为导致该点相继时刻（继时刻（ 之后）温度降低的原因，所以之后）温度降低的原因，所以方程中方程中Tm(i)项的系数必须保持正值。项的系数必须保持正值。)55(2/10 r19/2520/25 将式（将式（54）的导出方式加以改变（如对）的导出方式加以改变（如对用用 向后差分格式），使得差分方程中向后差分格式），使得差分方程中Tm(i+1)的项数不止一项，就得到隐式格式的差的项数不止一项，就得到隐式格式的差分格式。分格式。 在隐式格式里，相继时刻的温度不能直截了当在隐式格式里，相继时刻的温度不能直截了当地从在它之前那个时刻的温度确定下来，而必地从在它之前那个时刻的温度确定下来，而必须经

17、历一个求解线性代数方程组过程才能确定，须经历一个求解线性代数方程组过程才能确定，所以计算过程比较复杂。不过，隐式格式的解所以计算过程比较复杂。不过，隐式格式的解是无条件稳定的。只是也要注意，如果采用的是无条件稳定的。只是也要注意，如果采用的时间步长过长，稳定的解并不一定是个正确的时间步长过长，稳定的解并不一定是个正确的解。解。 /T2) 1(1) 1() 1(1)() 1(imimimimimtttrtt5-3 边界条件边界条件 前面的条件仅涉及前面的条件仅涉及常壁温的边界条件常壁温的边界条件,在在处理上是最简单的处理上是最简单的.本本节将讨论给定壁面热节将讨论给定壁面热流密度的边界条件和流密

18、度的边界条件和第三类边界条件的差第三类边界条件的差分方程分方程. 参看图参看图5-6,先考察先考察一个在一个在x=0边界上具有边界上具有给定热流密度给定热流密度 的一的一维稳态导热问题。维稳态导热问题。q 21/25 我们的目的是要将给定的壁面热流密我们的目的是要将给定的壁面热流密度纳入节点温度的表达式度纳入节点温度的表达式. 取一维稳态导取一维稳态导热微分方程式在热微分方程式在x/2x/2至至0范围内的定积范围内的定积分分,可得可得)125(0)2()0(xdxdTdxdT22/25 式中，第一项是已知的，式中，第一项是已知的， ；第二；第二项取围绕项取围绕 点的中心差分表达，式（点的中心差分表达，式（512）成为）成为 或或 式（式（512）的物理含义是容易理解的）的物理含义是容易理解的,它它表示半个节点间隔薄层内的能量守恒表示半个节点间隔薄层内的能量守恒,进入左进入左侧面的热量必须等于离开右侧面的热量。侧面的热量必须等于离开右侧面的热量。 式（式（513）则表明进入左侧面的热量可以从）则表明进入左侧面的热量