数值分析：7-5 数值微分-new

1、第七章第七章 微积分的数值计算方法微积分的数值计算方法 7.5 数值微分数值微分 h h 0 0f f( (x x + + h h) ) - - f f( (x x) )由由导导数数定定义义 f f ( (x x) ) = = l li immh h1 1、差差商商型型求求导导公公式式（ 1 1） 向向 前前 差差 商商 公公 式式 f f( (x x + + h h) ) - - f f( (x x) ) f f ( (x x) ) h h（ 2 2） 向向 后后 差差 商商 公公 式式 f f( (x x) ) - - f f( (x x - - h h) ) f f ( (x x) )

2、h h（ 3 3） 中中 心心 差差 商商 公公 式式（ 中中 点点 方方 法法） f f( (x x + + h h) ) - - f f( (x x - - h h) ) f f ( (x x) ) 2 2h h x-h x x+hBCAT f(x)差商型求导公式的余项差商型求导公式的余项 ( ( 3 3 ) ) 2 22 2 由由 T T a a y y l l o o r r 公公 式式f f ( () )f f ( ( x x + + h h ) )- - f f ( ( x x ) ) f f ( ( x x ) )- -= = - -h h = = O O ( ( h h ) )

3、h h2 2f f ( () )f f ( ( x x ) )- - f f ( ( x x - - h h ) ) f f ( ( x x ) )- -= =h h = = O O ( ( h h ) )h h2 2f f ( ( x x + + h h ) )- - f f ( ( x x - - h h ) )f f( () ) f f ( ( x x ) )- -= = - -h h= = O O ( ( h h ) )2 2 h h6 6从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确；从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确；从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。从舍入误差的角度来看

4、，步长不宜太小。2、插值型求导公式、插值型求导公式i ii in n 若若 已已 知知 函函 数 f f( (x x ) )在在 a a , , b b 内 n n +1 1 个 节 点点 ( (x x , , f f( (x x ) ) )( (i i = = 0 0 , ,1 1 , , , n n ) )， 可可 用用 其其 插 值 多多 项 式式 P P ( (x x ) )的的 导 数 近近似似 函函 数 f f( (x x ) )的的 导 数 。( (n n+ +1 1) )n nn nn n+ +1 1( (n n+ +1 1) )( (n n+ +1 1) )n n+ +1 1

5、n nn n+ +1 1f f( ( ) ) 由由 R R ( (x x) ) = = f f( (x x) ) - - P P ( (x x) ) = = ( (x x) )( (n n + + 1 1) )! ! ( (x x) )f f( ( ) )d d f f ( (x x) ) - - P P ( (x x) ) = = ( (x x) ) + +f f( ( ) )( (n n + + 1 1) )! !( (n n + + 1 1) )! ! d dx x( (n n+ +1 1) )( (n n+ +1 1) )n ni in ni in n+ +1 1i ii ij jj

6、j= =0 0j j i i 对对任任意意x x a a, ,b b ，因因 未未知知，故故上上式式很很难难估估计计误误差差，但但若若只只求求某某个个节节点点上上的的导导数数值值，误误差差可可估估计计。f f( ( ) )f f( ( ) )f f ( (x x ) )- -P P ( (x x ) ) = = ( (x x ) ) = =( (x x - - x x ) )( (n n+ +1 1) )! !( (n n+ +1 1) )! !因因此此，插插值值型型求求导导公公式式通通常常用用于于求求节节点点处处导导数数的的近近似似值值。两两 点点 公公 式式0 00 01 11 11 10

7、 00 01 11 10 01 10 01 11 10 01 10 01 1 设设 给给 出出 两两 节节 点点 ( (x x , , f f( (x x) ) ), ,( (x x , , f f( (x x ) ) ), ,记记 x x- - x x= = h hx x - - x xx x - - x x有有 P P ( (x x) ) = =f f( (x x) ) + +f f( (x x ) ). .x x- - x xx x- - x x1 1 P P ( (x x) ) = = - -f f( (x x) ) + + f f( (x x ) ) h h1 10 01 10 01

8、 11 11 10 0 1 10 01 10 01 1 1 11 11 10 02 21 1 P P( (x x) ) = = f f( (x x) ) - - f f( (x x) ) , , h h1 1 P P( (x x) ) = = f f( (x x) ) - - f f( (x x) ) ；h h带带 余余 项项 的的 两两 点点 公公 式式 是是 ：1 1h hf f ( (x x) ) = = f f( (x x) ) - - f f( (x x) ) - -f f ( ( ) ), ,h h2 21 1h hf f ( (x x) ) = = f f( (x x) ) -

9、- f f( (x x) ) + +f f ( ( ) ). .h h2 2三三 点点 公公 式式0 01 10 02 20 01 12 22 20 00 01 10 02 20 02 20 01 11 12 21 10 01 12 22 20 02 21 10 02 20 00 01 12 2 设设已已给给出出三三个个节节点点x x , ,x x = = x x + +h h, ,x x = = x x + + 2 2h h上上的的函函数数值值( (x x - - x x ) )( (x x - - x x ) )P P ( (x x) ) = =f f( (x x ) )( (x x -

10、- x x ) )( (x x - - x x ) )( (x x - - x x ) )( (x x - - x x ) )( (x x - - x x ) )( (x x - - x x ) )+ +f f( (x x ) )+ +f f( (x x ) ), ,( (x x - - x x ) )( (x x - - x x ) )( (x x - - x x ) )( (x x - - x x ) )令令x x = = x x + + t th h, ,则则1 1P P ( (x x + + t th h) ) = =( (t t - -1 1) )( (t t - - 2 2) )f

11、 f( (x x ) )- - t t( (t t - - 2 2) )f f( (x x ) )2 21 1+ +t t( (t t - -1 1) )f f( (x x2 2) ), ,2 20 00 01 12 22 20 00 01 12 22 21 10 02 22 22 20 01 12 21 1上上 式式 对对 t t求求 导导 ： P P( ( x x+ + t th h ) ) = = ( ( 2 2 t t - - 3 3 ) ) f f( ( x x) )2 2 h h- - ( ( 4 4 t t - - 4 4 ) ) f f( ( x x) ) + + ( ( 2

12、2 t t - - 1 1 ) ) f f( ( x x) ) . .1 1 P P( ( x x) ) = = - - 3 3 f f( ( x x) ) + + 4 4 f f( ( x x) ) - - f f( ( x x) ) ; ;2 2 h h1 1P P( ( x x) ) = = - - f f( ( x x) ) + + f f( ( x x) ) ; ; （ 中中 点点 公公 式式 ）2 2 h h1 1P P( ( x x) ) = = f f( ( x x) ) - - 4 4 f f( ( x x) ) 3 3 f f( ( x x) ) . .2 2 h h2 2

13、0 00 01 12 22 21 10 02 22 22 20 01 12 2带带 余余 项项 的的 三三 点点 求求 导导 公公 式式 ：1 1h hf f ( (x x ) ) = = - -3 3f f( (x x ) )+ + 4 4f f( (x x ) )- - f f( (x x ) ) + +f f ( ( ) ); ;2 2h h3 31 1h hf f ( (x x ) ) = = - -f f( (x x ) )+ + f f( (x x ) ) - -f f ( ( ) ); ; （ 中中 点点 公公 式式 ）2 2h h6 61 1h hf f ( (x x ) )

14、= = f f( (x x ) )- - 4 4f f( (x x ) ) 3 3f f( (x x ) ) + +f f ( ( ) ). .2 2h h3 3m( (k k) )( (k k) ) 可可 利利 用用 插插 值值 多多 项项 式式 ， 建建 立立 高高 阶阶 数数 值值 微微 分分 公公 式式 ：f f P P( (x x) ), ,k k = = 1 1, ,2 2, ,2 20 00 01 12 2 2 20 00 01 12 22 2 2 21 11 11 11 12 22 2 ( (4 4) )1 11 11 11 12 21 1例例：对对 P P ( (x x +

15、+ t th h) ) = = ( (2 2t t - - 3 3) )f f( (x x ) )2 2h h- -( (4 4t t - - 4 4) )f f( (x x ) )+ + ( (2 2t t - -1 1) )f f( (x x ) ) . . 再再对对t t求求导导，1 1有有 P P ( (x x + + t th h) ) = =( (f f( (x x ) )- - 2 2f f( (x x ) )+ + f f( (x x ) ) , ,h h1 1 P P ( (x x ) ) = =( (f f( (x x - -h h) )- - 2 2f f( (x x )

16、 )+ + f f( (x x + + h h) ) , ,h h带带余余项项的的二二阶阶三三点点公公式式：1 1h hf f ( (x x ) ) = =( (f f( (x x - -h h) )- - 2 2f f( (x x ) )+ + f f( (x x + + h h) ) - -f f( ( ) ). .h h1 12 2同样，针对同样，针对m也可扩展，如五点插值求积公式。也可扩展，如五点插值求积公式。3、 样样 条条 求求 导导( (k k) )( (k k) )( (k k) )( (k k) )4 4- -k k 三三次次样样条条函函数数S S( (x x) )及及其其一

17、一、二二阶阶导导数数均均一一致致收收敛敛于于被被插插值值函函数数f f( (x x) )及及其其一一、二二阶阶导导数数，故故用用样样条条函函数数的的导导数数近近似似函函数数导导数数f f( (x x) ) S S ( (x x) )( (k k = = 1 1, ,2 2, ,) )不不仅仅可可靠靠性性好好，且且可可计计算算非非节节点点处处导导数数的的近近似似值值。其其截截断断误误差差为为： f f( (x x) )- - S S ( (x x) )= = O O( (h h) ). .0 01 1n nk k+ +1 1k k3 3k kk kk k- -1 1k kk k+ +1 1k k+ +1 1k k- -1 1k k k k 对对 等等 距距 划划 分分 a a = = x x x x x x= = b b, ,且且 x x