专题抽象函数的导数问题齐建民

1、专题 抽象函数的导数问题 基础知识2【类型一 根据条件确定函数的单调性】3练习13【类型二 构造积函数】3【类型三 构造商函数】4【类型四 构造和差函数】5【类型五 与奇偶性结合构造函数】5命题方式与解题规律总结5构造型的抽象函数导数问题解题要领6练习26练习题解答10基础知识1、求导的四则运算法则1 . （可推广到多个函数）法则2 .法则3 .2、比较重要的导数：，3、单调性的逆用：单调递增，则；单调递减，则；4、奇偶性两个奇函数的乘积、商是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数；两个偶函数的乘积、商是偶函数；两个偶函数的和、差是偶函数1根据条件确定函数的单调性例 （2006江西卷）对于上可导的

2、任意函数，若满足，则必有（ ）A. B. C. D . 总结：根据导数确定原函数的单调性，关键是确定导数的符号变化规律，要注意题目条件是否提供了与此有关的信息。练习11、定义在上的函数，满足，且，若，且，则有（ ）A. B. C. D.以上都不对2、设定义在上的函数，函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A、函数有极大值和极小值B、函数有极大值和极小值C、函数有极大值和极小值D、函数有极大值和极小值2类型二 构造积函数【典型构造】若条件是形式的，可构造，则单调递增；在实际问题中，出题人往往会隐藏部分结构，如：因为所以，题目可能会只出现，可构造，则单调递增；类似的还有：（1） 若条件是，可

3、构造，则单调递增；原型：（2） 若条件是，可构造，则单调递增；原型：，（此类型要注意的符号） 例 设分别是定义在R上的可导函数，且，求不等式的解集解：构造函数，易知单调递增，而，则的解集为例 设是R上的可导函数，且，求的值分析：构造，则，所以单调递增或为常函数，而，所以，故，得【类型三 构造商函数】【典型构造】若条件是，则构造，则，说明单调递增若条件是，可构造，则单调递增；例1 （07陕西理）是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数，若，则必有（ ）A B CD例2 定义在上的函数，导数为，且，则下式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【类型四 构造和差函数】此类型相对简单，见练习2第2

4、题【类型五 与奇偶性结合构造函数】例 (2014.11呼市阶段考文12) 已知是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则满足的实数的取值范围是（ ）A B CD命题方法总结此类题型一般命题方式是，给出一个函数的导数或者导数的一部分（例如，在上导数小于0），然后考察：（1） 解一个不等式，需要我们构造出左右形式相同的代数式，一定是这样的不等式：，当然，要写成什么形式的，要参考构造的函数的形式，对于选填题，问题的结构可能会给我们这方面的暗示，然后根据单调性解出（若函数单调递增）；如1，10，12（2） 根据函数的单调性，判断一个命题“（是两个确定的实数）否成立，如2，5，6，7，11，15（3） 给

5、出一个函数值，然后解与此有关的不等式，如：函数在上单调递增，求的解集。如3,4，13，14。打个比方，假设“人的身高随年龄增大而增大”，即身高是年龄的增函数，那么上述三种题型就是这三个意思：（1） 甲比乙高，谁的年龄大？（2） 甲的年龄比乙大，是甲高还是乙高？（3） 甲高1.7米，16岁，乙比甲高，问乙的年龄的范围？构造型的抽象函数导数问题解题要领 （1）一方面要认真观察已知条件中含有的式子，关注表达式的结构特征，联想相关求导公式，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式，迅速确定构造函数的类型（是和差还是乘积还是商？）；（2）由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗

6、示，所以务必要结合问题的，猜想函数的结构，尝试验证；（3）将已知条件中含有的式子都移到左边化为的形式，左边的表达式一定是某个函数的导数或者导数的一部分练习21、已知函数满足，且在上，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 2、设在上可导，且，则当有（ ） 3、（2011高考辽宁）函数的定义域为,，对任意，则的解集为（ ）A. B. C. D. 4、已知函数满足，导函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 5、是定义在R上的可导函数，且满足对任意正数，若，则必有（ ）A B CD6. (2009天津) 设在上的导函数为，且，则下面的不等式在上恒成立的有（ ） AB CD 7、在R

7、上的导函数为，且，且，则下面的不等式成立的有（ ） AB C D 8、函数的导函数为，对任意的实数，都有成立，则（ ）A B C D9、（2013辽宁理） 函数满足，则当时，（）A有极大值,无极小值 B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值10、（2014唐山一模16） 定义在上的函数满足，当时，则不等式的解集为 .11、是定义在R上的可导函数，且满足，则下列不等式成立的是（ ）AB CD12、是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 13、是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 14、是定义在上的可导函

8、数，且，且为偶函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 15、是定义在上的可导函数，且，为锐角三角形内两个不等的内角，则( )A. B. C. D. 16、是定义在上的可导函数，且，则下列一定正确的是（ ）AB CD导数专题 抽象函数的导数问题练习题解答练习1答案1、B 解析：由题设中条件可得出函数关于对称，由可得出时，时，即函数在上是增函数，在上是减函数又，且，可知二者中至少有一个大于2等于，下进行讨论:若，显然有；若，则因为可得，故有，综上讨论知，在所给的题设条件下总有，故选 （本题画图定性判断亦可）2、D 根据图像判断，当时，得；当时，得；当，得；当，得，在上是增函数，在上是减

9、函数，在上是减函数，在上是增函数，函数有极大值和极小值练习2解答1、 构造，则，故为奇函数，且在上，故是增函数，而，故只需，得，选B2、解析：构造函数，则易知单调递增，于是，选C3、解答：构造函数，则，所以在R上单调递增，又因为，则，于是的，选B4.构造函数，则，所以函数单调递减，而，等价于，得，选D;5.，可知递增，故选B；6、构造函数，则，当时，由，得；当时，得，于是在上单调递增，故，则；当时，得，则在上单调递减，故，则；综上可知7、解析：构造，则单调递增，则，即，故选A8、选B 解析：构造，则单调递增，则，即，故选B9、选D 解析：由已知得，设，求导得，易得在且恒成立，因此在且恒成立，而，说明在时没有极大值也没有极小值10 解析：构造方式与第一题类似，好像原题是自主招生试题11、答案A选A 解析：