频率响应法(3)

1、自动控制原理自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院College of Electromechanical Information Engineering第五章第五章 频率响应法频率响应法Chapter 5 Frequency Response Methods大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理5.3 5.3 极极 坐坐 标标 图图 正弦传递函数正弦传递函数 的的极坐标图极坐标图，是当，是当 由由零变化到无穷大时，表示在极坐标上零变化到无穷大时，表示在极坐标上 的的幅值幅值与与 的的相角相角的关系图。因此，极坐标图是当

2、的关系图。因此，极坐标图是当 由零变化到无穷大时，向量由零变化到无穷大时，向量 的轨迹。的轨迹。)(jG(j )G(j )G)()(jGjG 极坐标图通常称为乃奎斯特图或乃奎斯特曲线极坐标图通常称为乃奎斯特图或乃奎斯特曲线(nyquist diagram)。 极坐标图的优点表示出系统在整个频率范围极坐标图的优点表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性；缺点是不能清楚地表明开环内的频率响应特性；缺点是不能清楚地表明开环传递函数中每个单独因子对系统的具体影响。传递函数中每个单独因子对系统的具体影响。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理1. 1. 比例因子

3、比例因子 比例因子的频率特性为比例因子的频率特性为(j )GK 由于由于K是一个与是一个与 无关无关的常数，它的相角为的常数，它的相角为0，因而它的乃氏图为因而它的乃氏图为 平面实轴上的一个点。平面实轴上的一个点。(j )G大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理2. 2. 积分和微分因子积分和微分因子 因为因为j211(j )ejG 所以所以 的极坐标图是负虚轴。的极坐标图是负虚轴。 的极坐标图是正虚轴。的极坐标图是正虚轴。(j )1/ jG(j )jG相位滞后90低频放大，高频衰减大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自

4、动控制原理3. 3. 一阶因子一阶因子一阶惯性环节一阶惯性环节的频率特性为的频率特性为j ()2211(j )e1j1GTT Tarctan)(Tarctan)(一阶微分因子一阶微分因子的频率特性为的频率特性为22j ()(j )1j1eGTT 一阶惯性环节：一阶惯性环节： | G(j )| G(j ) 低通低通 高频衰减高频衰减 相位滞后相位滞后一阶微分环节：高频一阶微分环节：高频放大放大相位超前相位超前090大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理22221(j )j( )j ( )11TGPQTT 下面证明其极坐标图为一个半圆，如图所示。下面证明其

5、极坐标图为一个半圆，如图所示。因为因为22221( )( )11TPQTT，)(11)()(2222PTQP222)21()()21)(QP大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理4. 4. 二阶因子二阶因子二阶因子振荡环节二阶因子振荡环节的频率特性为的频率特性为j ()222222211(j )e1j2(j)(1)4nnnnG 2212arctan)(nn 当当 值已知，则由上式可求得对应与不同值已知，则由上式可求得对应与不同 值时值时的的 和和 值。值。(j )G)(大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 图

6、为在不同图为在不同 值时乃氏图。当值时乃氏图。当 ， ，其相角为其相角为90。当。当 时，在乃氏图上距离原时，在乃氏图上距离原点最远的点对应的频率就是振荡环节谐振频率点最远的点对应的频率就是振荡环节谐振频率 ，其谐振峰值其谐振峰值 用用 与与 之比来表示。之比来表示。n(j )1/ j2Gr(j)rG(j0)GrM707. 0大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理振荡环节振荡环节G(j)曲线曲线（Nyquist曲线曲线）0j1 21)(An2r121)(A 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 当当 时，振荡

7、环节不时，振荡环节不产生谐振，产生谐振， 向量的长度向量的长度将随着将随着 的增加而单调地减的增加而单调地减小。当小。当 时时 有两个相有两个相异的实数极点。如果异的实数极点。如果 值足值足够大，则其中一个极点靠近够大，则其中一个极点靠近s平面的坐标原点，另一个极平面的坐标原点，另一个极点远离虚轴。显然，远离虚点远离虚轴。显然，远离虚轴的这个极点对瞬态响应的轴的这个极点对瞬态响应的影响很小，此时的特性与一影响很小，此时的特性与一阶惯性环节相类似，它的乃阶惯性环节相类似，它的乃氏图近似于一个半圆。氏图近似于一个半圆。707. 0(j )G1)(sG大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息

8、工程学院自动控制原理自动控制原理二阶微分因子二阶微分因子的频率特性为的频率特性为2222j ()2(j )1j2(j)(1)(2) ennnnG 2212arctan)(nn大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理滞后因子滞后因子的频率特性为的频率特性为 由于滞后因子的幅频值由于滞后因子的幅频值恒为恒为1，其中相位与，其中相位与 成比例变化，因而它的成比例变化，因而它的乃氏图是一个单位圆，乃氏图是一个单位圆，如图所示。如图所示。j(j )eG5. 5. 滞后因子滞后因子大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理j1e

9、1j在低频区，滞后因子在低频区，滞后因子 和惯性环节和惯性环节 的的频率特性很接近，如图所示。因为频率特性很接近，如图所示。因为je1(1j)Tjj211e1e1j(j)2!当当 时，上式可近似时，上式可近似为为1大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理假设开环传递函数的形式为：假设开环传递函数的形式为：12(1j)(1j)(j )(j ) (1j)(1j)abKTTGTT101101(j )(j )(j )(j )mmnnbbaa式中式中 ，即分母多项式的阶次大于分子多项，即分母多项式的阶次大于分子多项式的阶次，这类传递函数的极坐标图的一般形状式的阶次

10、，这类传递函数的极坐标图的一般形状有以下几种。有以下几种。mn (1) ，即，即0型系统：极坐标图的起点型系统：极坐标图的起点(对应对应于于 )是一个位于正实轴上的有限值。在是一个位于正实轴上的有限值。在 处处与极坐标图曲线相切的切线，是一条垂直于实轴的与极坐标图曲线相切的切线，是一条垂直于实轴的垂线。对于垂线。对于 的极坐标图曲线的终点位于坐标的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且在这点上曲线与一个坐标轴相切。原点，并且在这点上曲线与一个坐标轴相切。000大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 (2) ，即，即型系统：当型系统：当 时，在时，在 的总

11、相角中，的总相角中，90的相角是分母中的的相角是分母中的 产生的。产生的。当当 时，时， 的幅值为无穷大，相角变为的幅值为无穷大，相角变为90。在低频时，极坐标图是一条渐近于平行于。在低频时，极坐标图是一条渐近于平行于负虚轴的直线的线段。当负虚轴的直线的线段。当 时，幅值为零，时，幅值为零，且曲线收敛于原点并与一个坐标轴相切。且曲线收敛于原点并与一个坐标轴相切。10j(j )G0(j )G (3) ，相角中，相角中180相角是分母中的相角是分母中的 产生的。当产生的。当 时，时， 幅值无穷大，相角幅值无穷大，相角180。在低频时，极坐标图趋近于一条平行于。在低频时，极坐标图趋近于一条平行于负实

12、轴的直线。当负实轴的直线。当 时，幅值为零，且与时，幅值为零，且与一坐标轴相切。一坐标轴相切。2(j )G02( j)大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理可以看出，如果可以看出，如果 的分母多项式阶次高于分子多项的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么式阶次，那么 的轨迹将沿着顺时针方向收敛于原的轨迹将沿着顺时针方向收敛于原点。当点。当 时，时， 轨迹将与实轴或虚轴相切。轨迹将与实轴或虚轴相切。(j )G(j )G(j )G大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理例例5-3 已知已知0型二阶系统和型二阶系统和型

13、二阶系统的开环传递型二阶系统的开环传递函数分别为函数分别为)1 (10)( )1)(1 . 01 (10)(10sssGsssG试绘制它们对应的乃氏图。试绘制它们对应的乃氏图。 解：解：1) 0型系统的频率特性为型系统的频率特性为j ()221010( )e(10.1j )(1j )1(0.1 )1G s 式中式中arctan1 . 0arctan)(计算不同计算不同 值时的值时的 和和(j )G)(大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理2)型系统的频率特征为型系统的频率特征为j ()21010(j )ej (1j )1G ( )90arctan 把上