单元变量分离的方程

1、第6单元 变量分离的方程一. 教学目标1. 进一步掌握理解变量分离法，并且能够熟练的运用分离变量法解常微分方程。2 对某些本身不可分离变量的方程能够通过适当变换后，将原方程转换为可分离变量的方程。二. 知识点1. 分离变量法 三. 教学重点、难点对分离变量法的学习是本单元的重点,也是难点考虑微分方程    （）若函数均可分别表示为的函数与的函数的乘积，则称（）为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式： （）变量分离的方程的特点是：可以分别表示为的函数与的函数的乘积.问题是：对（）如何求解？一般来说，（）不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形：（）（

2、）显然是一个恰当方程，它的通积分为（）由对方程（）的求解过程，不难想到，当时，若用因子去除（2.2.2）式的两侧，得到（）这种变形过程叫做分离变量。分离变量后的方程（）已具有（2.2.3）的形式，故通积分为（）附注1：当时，用求解方程（）来代替求解方程（2.2.2）是合理的，因为此时方程（2.2.2）与方程（2.2.5）是同解的.附注2：若（或）是方程（或）的一个根，把它代入（）式验证，可知（或）是方程（2.2.2）的解.这个解一般会在由（2.2.2）化为（2.2.5）时丢失,故有时不包含在通积分（2.2.6）中，必须补上.例1 求解微分方程（）解 当时，方程（）可改写为等价的方程，积分得，即

3、 ，亦即（）其中.显然都是方程的解.若允许（）中的可取零值，则特解可含于（2.2.8）中.因此方程（2.2.7）的通积分为， 其中为任意常数；外加特解.例2 求微分方程的通解.解 当时，分离变量得，等式两端积分得， 方程的通解为。显然即是原方程的解，而此解可在通解中令得到. 例3 求下列微分方程的所有常数解：（1）；（2）： （3）。 解 （1）由，得；由，得。所以方程的所有常数解为。（2）由，得，所以方程的所有常数解为，。（3）由，得，所以方程的所有常数解为，。例4 求解微分方程 （）并作出积分曲线族的图形.解 当时，将（）改写为，两边积分，得， （），或 ， （） （）最后，还有特解，它不

4、包含在（）之中.利用方程（）并参照通积分（2.2.10），可以作出积分曲线族的图形。由图形不难看出，过轴上的每一点，都有无穷多条积分曲线通过.很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与轴重合的直线段，右半部分可以是轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线.左右两部分在接合点相切.总之，微分方程（）满足初值条件的解，当时是局部唯一的；而当时是局部不唯一的.我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法.变量分离法是解一阶方程的基础方法,对于一个微分方程能否用分离变量法求解,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径.1求解下列微分方程：（1） ；解 分离变量，得，积分后得通积分，故通解为.（2） ；解 分离变量，得，积分后得通积分.此外由可求得特解.（3） ；解 分离变量，得，积分后得通积分.此外还有特解.（4） .解 分离变量，得，积分后得通积分.2求解下列微分方程的初值问题：（1），；解 将方程改写为 ，积分后得通积分.由初值条件，得.所以初值问题的解为.（2） ，；解 分离变量，得 ，积