定积分在几何上的应用1求平面图形的面积

1、定积分在几何上的应用1求平面图形的面积定积分的定义和计算方法前面已经讲过了定积分的定义包括：分割、近似、求和、取极限的一系列步骤在用定积分解决具体问题时，可根据上面的步骤将所求的量表达成定积分的形式，剩下的就是计算了在处理定积分问题时，有人常用“微元法”这种表达方式，特别是在物理问题中微元法和定积分实际上是一回事下面简单说明一下用“微元法”解题的基本程式： (1)选取合适的坐标系，即积分变量的坐标轴，例如x轴，定出其范围：区间a，b注意：计算的繁简与坐标的选取有直接关系 (2)在上述区间内任取一小段x，xx，x是任意点，增量xdx，dx是自变量的微分 (3)将所求的量Q在小区间x，xx上的值Q

2、表示成如下的形式：Qf(x)x0(x) 0(x)表示一个比x高阶的无穷小量，当x0视为无穷小量，即 说明 f(x)x是Q的增量的线性主要部分，即dQ因此，QdQ0(dx)记QdQf(x)dx表示两边的量只相差一个比d高阶的无穷小量 (4)求和：QQdQ0(dx)f(x)dx0(1)其中，0(1)表示 (5)令x0，取极限得： 这里面第(3)步是最关键的，即要求出可求量的微分(或称微元)，有了式后可以直接写出式，而第(4)、(5)两步均可略去，因此用微元法推导定积分表达式时可以省去书写定义中的和式 (6)用计算定积分的方法算出式的值Q在下面介绍定积分的应用时，我们将采用微元法这种表达方式将所求的

3、量写成定积分，再进行求解我们已知知道，在直角坐标系(x，y)中，由曲线yf(x)(f(x)0，xa，b)，直线xa，xb(ab)和x轴围成的曲边梯形的面积S正是f(x)在a，b上的定积分特别要注意条件“f(x)0，axb”，只有此时，才有 一般平面图形是由若干条曲线段(包括直线段)围成的，可以将它的面积写成相应的曲边梯形面积的和或差在解题时要先画出草图，了解图形的大致情况，确定函数f(x)0和0的部分，并计算出边界曲线段的交点，将其作为相应积分的上限、下限 例如，由曲线yf(x)，yg(x)(f(x)g(x)与直线xa，xb(ab)所围图形的面积是 若曲线由极坐标方程rr()给出，则该曲线与射

4、线，()所围成的平面图形面积为式的推导如下：如图1，取为积分变量，曲线上取一小段，A(r()，)，B(r()r，) 扇形OAB的面积与扇形OAC的面积(OCOA)相差不超过r·r，但rdr0(d)r'd0(d)，因此误差是rr'(d)20(d)2)0(d)由“微元法”可得 例1 求抛物线yx2与直线yx，y2x所围成图形的面积 解 如图2，它们两两的交点有三个：O，A，B 得 x0，x1， 即交点O(0，0)，A(1，1) 即交点O(0，0)，B(2，4) 由图可知积分应在0，1和1，2两段上进行，用式： 例2 求抛物线y22x与直线xy4所围成图形的面积 解法1 先

5、求出抛物线与直线的交点：(2，2)，(8，4) 以直线x2将图形分为两部分，如图3左半部分面积为S1，右半部分为S2由对称性，得由公式得故所求图形的面积 解法2 取y为积分变量，则可直接用式得到所求面积 (由此例可见坐标的选取能简化计算) 例3 求抛物线y2x与半圆x2y22(x0)围成图形的面积 解法1 由图形关于x轴对称，考虑y0部分 解法2 对取y积分，1y1，由式得面积为 解法3 仍对x取积分注意所求面积等于半圆面积减去所剩下面积S1根据图形是关于x轴的对称性和式得 解 由参数方程xacos，ybsin，及椭圆关于x轴、y轴皆对称，易得请读者试用直角坐标下的积分表达式，进行变量代换计算例5 求三叶线rasin3围成图形的面积 解 由r0，可知的定义域是： 因此该曲线的形状如图5，有三片叶子由对称性知三片叶子是全等的，故可用极坐标下的面积公式来计算习题： 1求曲线yx3和直线y2x所围图形的面积 3抛物线y22x把圆x2y28分为两部分，求两部分的面积之比 7求摆线xa(tsint)，ya(1cost)(0t2，a0)和x轴围成的面积 8求双纽线r2a2cos2所围图形的面积 9求阿基米德螺线ra，(02，