华侨大学自动化专业数字信号处理5

1、第5章 FIR数字滤波器的设计一、线性相位FIR数字滤波器的特性二、窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器FIR数字滤波器数字滤波器离散离散LTI系统系统iiNijjMjzazbzH101)( 若若ai等于零等于零，则系统为，则系统为FIR数字滤波器。数字滤波器。 若若ai至少有一个非零至少有一个非零，则系统为，则系统为IIR 数字滤波器。数字滤波器。 FIR滤波器的设计滤波器的设计kMkkkMkzkhzbzH)(00M阶阶(长度为长度为M+1) FIR数字滤波器的系统函数为数字滤波器的系统函数为其他0, 1 , 0Mkbkhk FIR数字滤波器设计：数字滤波器设计： 由给定的系统频率特性由给定

2、的系统频率特性, 确定确定M及系数及系数bk或或hk 容易设计成线性相位。容易设计成线性相位。系统总是稳定的。系统总是稳定的。总能用因果系统实现。总能用因果系统实现。 FIR与与IIR数字滤波器比较数字滤波器比较 IIR DF特点特点： FIR DF特点特点： 能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。 相位响应是非线性的，若需线性相位，需要相位相位响应是非线性的，若需线性相位，需要相位补偿。补偿。 系统不一定稳定。系统不一定稳定。 一、线性相位FIR数字滤波器的特性n线性相位系统的定义线性相位系统的定义n线性相位条件线性相位条件n线性相位系统的线性相位系统的频域

3、特性频域特性n线性相位系统线性相位系统H(z)的零点分布特性的零点分布特性)(jjje)e()e(HH若若 ( )= a, a, 则称则称系统系统H(z)是严格线性相位的。是严格线性相位的。 严格线性相位系统定义严格线性相位系统定义 广义广义线性相位系统定义线性相位系统定义)( jje )()e (a AHA ( )是是 的可正可负的实函数，称为的可正可负的实函数，称为幅度函数。幅度函数。1.线性相位系统的定义如果M阶FIR滤波器的单位脉冲响应hk是实数，则可以证明系统是线性相位的充要条件为hk = hM k2.线性相位条件hk=hM-k时，称hk为偶对称hk=-hM-k时，称hk为奇对称01

4、234012340123401234 I I型线性相位系统型线性相位系统hk偶对称，偶对称，M为偶数为偶数M=4 IIII型线性相位系统型线性相位系统hk偶对称，偶对称，M为奇数为奇数M=3 IIIIII型线性相位系统型线性相位系统hk奇对称，奇对称，M为偶数为偶数M=4 IVIV型线性相位系统型线性相位系统hk奇对称，奇对称，M为奇数为奇数M=3 I型型 (hk偶对称偶对称, M为偶数为偶数)(e)e (2MjjAH2/122)cos(2)(MkMMkkhhA3.线性相位系统的频域特性)2(A)(A)(A)(A)2(A)(A周期为2p关于 =0偶对称关于 =p偶对称可设计低通、高通、带通、带

5、阻滤波器可设计低通、高通、带通、带阻滤波器)(e)e (2MjjAH2/ )1(12121)(cos2)(MkMkkhA II型型 (hk偶对称偶对称, M为奇数为奇数)4(A)(A)(A)(A)2(A)(A周期为4p关于 =0偶对称关于 =p奇对称A (p )=0不能用于高通、带阻滤波器的设计不能用于高通、带阻滤波器的设计)(e)e ()j(-j22MAH2/12)sin(2)(MkMkkhA III型型 (hk奇对称奇对称, M为偶数为偶数)2(A)(A)(A)(A)2(A)(A周期为2p关于 =0奇对称关于 =p奇对称A (0 )= A (p ) =0不能用于低通、高通和带阻滤波器的设计

6、不能用于低通、高通和带阻滤波器的设计 IV型型 (hk奇对称奇对称, M为奇数为奇数)2/ )1(12121)(sin2)(MkMkkhA)4(A)(A)(A)(A)2(A)(A周期为4p关于 =0奇对称关于 =p偶对称A (0 )=0)(e)e ()j(-j22MAH不能用于低通和带阻滤波器的设计不能用于低通和带阻滤波器的设计)(e)e ()j(j2AHM类型类型IIIIIIIV阶数阶数M偶偶奇奇偶偶奇奇hk的对称性的对称性偶对称偶对称偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对称A( )关于关于 00的对称性的对称性偶对称偶对称偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对称A( )关于关于 pp的对称性的对称

7、性偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对称偶对称偶对称A( )的周期的周期2p p4p p2p p4p p 000.5p p0.5p pA(0)(0)任意任意任意任意00A(p)(p)任意任意00任意任意可适用的可适用的滤波器类型滤波器类型LP,HP,BP,BSLP, BPHP,BP四种线性相位四种线性相位FIR滤波器的滤波器的特性特性BPkMhkh)()(1zHzzHM如果如果zk是系统的零点，则其倒数是系统的零点，则其倒数zk 1也是系统也是系统的零点。的零点。由于由于hk是实序列，是实序列，H(z)是实系数多项式，是实系数多项式，系统零点会以复共轭对的形式出现系统零点会以复共轭对的形式出现,

8、ejkkkrz,ej*kkkrz,ej11kkkrzkkkrzj11e)*(4.线性相位系统的零点分布特性432111)( zazbzazzHRe(z)Im(z)是不在单位圆上的复零点是不在单位圆上的复零点kkkrzje(1)系统零点中存在互为倒数的两组共轭对 和kkrjekkrj)e/1 (这四个零点对H(z)贡献的因子是一个四阶偶对称多项式是单位圆上的复零点是单位圆上的复零点kkzje(2)系统零点中存在一对共轭零点 kje这两个零点对H(z)贡献的因子是一个二阶偶对称多项式Re(z)Im(z)2121)( zazzH是不在单位圆上的实零点是不在单位圆上的实零点kkrz (3)系统零点中存

9、在一对互为倒数的实数零点 kkrr/1和这两个零点对H(z)贡献的因子是一个二阶偶对称多项式2131)(zazzHRe(z)Im(z)是单位圆上的实零点是单位圆上的实零点1kz(4)处系统零点可以单独出现1kz对H(z)贡献的因子是一个一阶多项式Re(z)Im(z)141)(zzH141)(zzH奇对称多项式偶对称多项式n任意线性相位系统是上述四种子系统的组合任意线性相位系统是上述四种子系统的组合 hk奇对称时，奇对称时，H(z)在在z=1处一定有零点。处一定有零点。 对对II型线性相位系统，阶数型线性相位系统，阶数M是奇数时，是奇数时，H(z)在在z=-1处一定有零点。处一定有零点。 四种不

10、同类型的线性相位系统在四种不同类型的线性相位系统在zk= 1的零点的零点(1) I 型型FIR滤波器滤波器(hk偶对称，偶对称，M为偶为偶) zk=1和和zk= 1无零点或者有偶数个零点无零点或者有偶数个零点。(2) II 型型FIR滤波器滤波器(hk偶对称，偶对称，M为奇为奇) zk= 1有奇数个零点有奇数个零点。(3) III 型型FIR滤波器滤波器(hk奇对称，奇对称，M为偶为偶) zk=1和和zk= 1有奇数个零点。有奇数个零点。(4) IV 型型FIR滤波器滤波器(hk奇对称，奇对称，M为奇为奇) zk=1有奇数个零点有奇数个零点。解：解：例：例：已知已知8阶阶III型线性相位型线性

11、相位FIR滤波器的部分零点为：滤波器的部分零点为：z1= ，z2 (1)试确定该滤波器的其他零点。试确定该滤波器的其他零点。 (2)设设h0=1, 求出该滤波器的系统函数求出该滤波器的系统函数H(z)。(1) z3=1/ z1= 5; z4=1/ z2= ，z5=z2*= ，z6=z4； z7= 1; z8= 1;(2) )1 ()(181kkzzzH=1 z 8(z 1 z 7)+ 2.2025 (z 2 z 6) 6.253 (z 3 z 5)二、窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器n基本思想基本思想nGibbsGibbs（吉伯斯）现象（吉伯斯）现象n常用窗函数常用窗函数nKaiser(

12、(凯泽凯泽) )窗窗基本思想：设计一物理可实现的滤波器，使其时域单基本思想：设计一物理可实现的滤波器，使其时域单位脉冲响应逼近理想滤波器的单位脉冲响应位脉冲响应逼近理想滤波器的单位脉冲响应hdk。 de )e (21jjddkHkh理想滤波器的理想滤波器的hd k 是非因果无限长序列，是非因果无限长序列，需对其进行需对其进行截短截短和和因果化因果化处理。处理。1.基本思想（1）确定理想滤波器的频率响应）确定理想滤波器的频率响应Hd (ej )（2）用）用IDTFT计算对应的单位脉冲响应计算对应的单位脉冲响应hdkjjddde )e (21kHkh（4）截短）截短hdkhk= hdkwk， 0

13、0 k M 窗函数法设计窗函数法设计FIR的步骤的步骤（3）根据过渡带宽及阻带最小衰减要求，选）根据过渡带宽及阻带最小衰减要求，选择合适的窗函数择合适的窗函数wk设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。 (1) 确定理想带通滤波器的频率响应确定理想带通滤波器的频率响应Hd (ej )其他 0 1)(2c1cdA若采用若采用I I型线性相位型线性相位FIR滤波器，相位为滤波器，相位为 d( )= M 设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。 dee

14、)(21j)(jdddkAkh(2) 计算计算IDTFT得得hdk)5 . 0(Sa)5 . 0(Sac11cc22cMkMk(3) 截断截断hdkdkwkhkhN长度为长度为N=M+1的矩形窗的矩形窗0kM 结论结论： 当当 c1=0时时，滤波器为理想低通，滤波器为理想低通 )5 . 0(Sac22cLPMkkh 当当 c2=p p时时，滤波器为理想高通，滤波器为理想高通 )5 . 0(Sa5 . 0c11cHPMkMkkh理想带通滤波器的单位脉冲响应理想带通滤波器的单位脉冲响应 )5 . 0(Sa)5 . 0(Sac11cc22cBPMkMkkh 由于由于ABS(ej )=1 ABP(ej

15、 )，理想带阻滤波器可通，理想带阻滤波器可通过带通滤波器得到过带通滤波器得到 5 . 0BPBSkhMkkh设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。 khk00A()0.3p0.7pp单位脉冲响应单位脉冲响应 幅度函数幅度函数 取取 c1p p， c2p p，MM3030 00.511.522.53-0.200.20.40.60.811.2A()00.511.522.53-0.200.20.40.60.811.2A()矩形窗设计的矩形窗设计的FIR低通滤波器的幅度函数低通滤波器的幅度函数( c=p p/2) 滤波器的幅度

16、函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，此现滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，此现象称为象称为Gibbs 现象。现象。 2. Gibbs（吉伯斯）现象M=14M=60d)e()e(21)e()( jjdjNWHH 产生吉伯斯现象原因产生吉伯斯现象原因由于所设计滤波器的单位脉冲响应由于所设计滤波器的单位脉冲响应dkwkhkhNN=M+1利用利用DFTF的性质可得所设计的性质可得所设计FIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应 H(ej )逼近逼近Hd(ej )的好坏，取决于窗函数的频谱的好坏，取决于窗函数的频谱W(ej ) 窗函数的频谱窗函数的频谱由加窗截断引起由加窗截断引起 窗函数的频谱窗函

17、数的频谱)2/sin()2/sin(e)e (2/ )1(jjNWN2pNN04pNp3pN)(W矩形窗的幅度函数矩形窗的幅度函数W( )1. W( )的主瓣宽度的主瓣宽度 4p p/N2. 旁瓣相对衰减为常数旁瓣相对衰减为常数)0()3(lg20WNWA=13dB长度为N的矩形窗函数的频谱为 加窗对所设计滤波器的频率特性的影响加窗对所设计滤波器的频率特性的影响d)()(21)(dWAAFIR滤波器的幅度函数为 结论结论1. 在理想频率特性不连续点在理想频率特性不连续点c附近形成一个过渡带，附近形成一个过渡带，窗函窗函数的主瓣宽度决定了过渡带的宽度。数的主瓣宽度决定了过渡带的宽度。 如何提高阻

18、带衰减如何提高阻带衰减?选用旁瓣幅度较小的窗函数选用旁瓣幅度较小的窗函数2. 在过渡带的两边在过渡带的两边 ，A()出现最大的肩出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，取决于旁瓣的多少。的相对幅度，而振荡的多少，取决于旁瓣的多少。Nc/23. 窗函数长度窗函数长度N增大，过渡带减小，起伏振荡变密，但不会增大，过渡带减小，起伏振荡变密，但不会改变肩峰的相对值，例如在矩形窗情况下，通带和阻带最大改变肩峰的相对值，例如在矩形窗情况下，通带和阻带最大波纹幅度大约为滤波器幅度的波纹幅度大约为滤波器幅度的9%

19、9%，则阻带最大衰减为，则阻带最大衰减为20lg(9%) 21dB 其他 001MkkwAp = 20lg(1 p) 0.82dB, As = 20lg( s ) 21dBp=s3.常用窗函数其他 00)/2cos(5 . 05 . 0MkMkkwAp 0.056dB, As 44dB p= s其他 00)/2cos(46. 054. 0MkMkkwAp 0.019dB, As 53dB p= s =0.002 2其他 00)/4cos(08. 0)/2cos(5 . 042. 0MkMkMkkwAp ，As 74dB p= s常用窗函数性质常用窗函数性质设计一满足下列指标的设计一满足下列指标

20、的I型线性相位型线性相位 FIR高通滤波高通滤波器。器。 pp,p, sp p，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Blackman窗窗1) 由过渡带宽度确定滤波器长度由过渡带宽度确定滤波器长度N507spN2) 由给定指标确定待逼近理想高通的截频由给定指标确定待逼近理想高通的截频 cp2/ )(spc采用采用Hamming窗截断，设计过程如下窗截断，设计过程如下I型型滤波器，取滤波器，取N=51由于理想高通滤波器的截频由于理想高通滤波器的截频 c是过渡带的是过渡带的中点，因此通常取为中点，因此通常取为3) 设计截频设计截频

21、cp p的的I I型型线性相位线性相位FIR高通滤波器高通滤波器其他 021)e(ccjdAd()= M)5 . 0(Sa5 . 0ccMkMkkhd截断，得截断，得I型型线性相位线性相位FIR高通滤波器的单位脉冲响应高通滤波器的单位脉冲响应hk=hdkw51k设计一满足下列指标的设计一满足下列指标的I型线性相位型线性相位 FIR高通滤波高通滤波器。器。 pp,p, sp p，Ap=0.3dB, As=50dB。用用Hamming窗设计的窗设计的 cp p ,N=51 的的FIR HP滤波器的幅度滤波器的幅度响应响应00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-120-100-8

22、0-60-40-20020Normalized frequencyGain (dB)MkIMkIkw0 ,)()/21 1(020 是一可调参数，调节窗函数的形状。是一可调参数，调节窗函数的形状。I0 0( (x ): ): 零阶第一类修正贝塞尔函数，可用幂级数表零阶第一类修正贝塞尔函数，可用幂级数表示为示为210!)2/(1)( nxxInn一般求一般求20项就能达到所需精度。项就能达到所需精度。4. Kaiser(凯泽)窗0246810121416182000.51 =00246810121416182000.51 =10246810121416182000.51 =3A= 20lg (min p， s )21 ,285. 295. 7spAAM21 , 05021 ),21(07886. 0)21(5842. 050 ),7 . 8(1102. 04 . 0AAAAAA 与与MM的确定的确定用用Kaiser窗设计满足下列指标的窗设计满足下列指标的I型线性相位型线性相位FIR低低通滤波器。通滤波器。 pp,p, sp p，Ap=0.1dB, As=40dB。(1) 由给定指标确定待逼近理想低通的截频由给定指标确定待逼近理想低通的截频 c c =( p + sp p(2) 设计截频设计截频 c