函数的单调性与导数（课堂PPT）

1、3.3.13.3.113.3.13.3.120 cos x sin x axln a ex 回顾复习回顾复习1 导数的几何意义导数的几何意义3.3.13.3.13设函数设函数 y = f (x) 的定义域为的定义域为I,D是是I 的子集，当的子集，当 对任意的两个对任意的两个变量变量x 1、x 2 D 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在D 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在D 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在D上是增函

2、数或减函数，上是增函数或减函数，D 称为称为单调区间单调区间二、复习引入二、复习引入:3.3.13.3.14判断函数单调性有哪些方法？判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数比如：判断函数 的单调性。的单调性。yx 2 (,0) (0,)xyo2yx 函数在函数在 上为上为_函数，函数，在在 上为上为_函数。函数。图象法图象法定义法定义法减减增增如图：如图：3.3.13.3.152.怎样用定义判断函数的单调性？怎样用定义判断函数的单调性？ （1）取值（）取值（2）作差（）作差（3）变形（）变形（4）定号（）定号（5）结论）结论3.3.13.3.16思考：那么如何求出下列函数的单调性呢思考：那么

3、如何求出下列函数的单调性呢? ?(1)f(x)=2x(1)f(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7 +7 (2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-x+1 -x+1 (3)f(x)=sinx-x(3)f(x)=sinx-x发现问题：发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：时。例如：2x2x3 3-6x-6x2 2+7+7，是否有更为简捷的方法，是否有更为简捷的方法呢？呢？3.3.13.3.172yx0. . . . . . . .再观察函数再观察函数y=xy=x2 24x

4、4x3 3的图象：的图象：总结总结: 该函数在区该函数在区间（间（，2）上）上单单减减,切线斜率切线斜率小于小于0,即其即其导数为负导数为负;而当而当x=2时其切线时其切线斜率为斜率为0,即即导数为导数为0.函数在该点单调性函数在该点单调性发生改变发生改变.在区间（在区间（2，+）上上单增单增,切线斜率切线斜率大大于于0,即其即其导数为正导数为正.3.3.13.3.18单调性单调性导数的正负导数的正负函数及图象函数及图象 (,0)在在上上递递减减 (0,)在在上上递递增增xyoyf x ( )abxyoyf x ( )ab切线斜率切线斜率 的正负的正负kxyo2( )f xx 3.3.13.3

5、.19a b( , )在在某某个个区区间间内内, ,fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递增增fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递减减3.3.13.3.110增增 减减 3.3.13.3.111例例1 1、已知导函数、已知导函数 的下列信息：的下列信息：( )f x当当1x41x0;0;当当x4,x4,或或x1x1时，时， 0;0)(xf从而函数f(x)=x3+3x在xR上单调递增，见右图。3.3.13.3.119(2) f(x)=x2-2x-3 ;解： =2x-2=2(x-1)(xf图象见右图。当 0，即x1时，函数单调递增；)(xf当 0，

6、即x1时，函数单调递减；)(xf3.3.13.3.120(3) f(x)=sinx-x ; x(0,p)解： =cosx-10，即 时，函数单调递增；)(xf21712171xx或3.3.13.3.122图象见右图。当 0得得x1.令令y0得得x0(或f(x)0,即在（0， 1上恒成立31g xxg xg max而 ( )在（0， 1上单调递增，( )(1)=-11a-3.3.13.3.145322f xx 当a1时， ( )1f xa-f x对x （0， 1）也有 ( ) 0时，（ ）在(0, 1)上是增函数所以a的范围是-1，+ ）在某个区间上，在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递

7、增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f x( )0(或0(或0 (B)0 (B)11a1 (C)1 (D) 01 (D) 0a1 1 )33,33(A A3.3.13.3.1503.3.13.3.151 答案C3.3.13.3.1523.3.13.3.1533.3.13.3.154提示提示:运用导数判断单调

8、性运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小根据函数的单调性比较函数值大小3.3.13.3.155证明：令证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即即f(x)0f(x)=e2x12x在在(0，+)上是增函数上是增函数.f(0)=e010=0.当当x0时，时，f(x)f(0)=0，即，即e2x12x0.1+2xe2x2.当当x0时，证明不等式：时，证明不等式：1+2xe2x.分析：假设令分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能够证明如果能够证明f(x)在在(0，+)上是增函数，那么上是增函

9、数，那么f(x)0，则不等式就可以证明，则不等式就可以证明.点评：点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为为0.3.3.13.3.1563.3.设设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间，试确定恰有三个单调区间，试确定a 的取值范的取值范围，并求其单调区间。围，并求其单调区间。 )231,fxax解: )0,)afx 若则在(-恒正, )f x只有一个单调区间,与题意不符. )211133,333fxa xa xxaaa若a0,则 )0 ,)af x 11时有三个单

10、调区间,(- ,-3a-3a,11为它的减区间,为它的增区间.-3a-3a3.3.13.3.1573.3.13.3.1583.3.13.3.159a b( , )在在某某个个区区间间内内, ,fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递增增fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递减减3.3.13.3.160(2)函数函数y=f (x)的图象如下图所示的图象如下图所示,则则 的图象可能的是的图象可能的是( )( )yfx )13.3.13.3.161 考点整合 1函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0在区间(a，