克莱姆法则课后习题（课堂PPT）

1、1引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija定理定理(Laplace展开定理展开定理) 行列式等于它的行列式等于它的任一行任一行(列列) 的各元素与其对应的代数余的各元素与其对应的代数余子式乘积之和子式乘积之和.D =ininiiiiAaAaAa2211ikiknkAa1D =njnjjjjjAaAaAa2211kjkjnkAa1) , , 2 , 1(ni) , , 2 , 1(nj2关于代数余子式, 还有下

2、列定理行列式的任一行行列式的任一行(列列)的所有元素与另的所有元素与另一行一行(列列)的对应元素的代数余子式乘的对应元素的代数余子式乘积之各等于零积之各等于零. 02211jninjijiAaAaAa或02211njnijijiAaAaAa定理定理2即( ij )3机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当.,0,1jijiij当当，当当其中其中44 4 克莱姆法则克莱姆法则二、重要定理二、重要定理三、小结三、小结 思考题思考题 一、克莱姆法则一、克莱姆

3、法则5机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不不全全为为零零若若常常数数项项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;,21全全为为零零若若常常数数项项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念6(克莱姆法则克莱姆法则) 设设 n 个变量个变量 n 个方程的线性方程组为个方程的线性方程组为11212111bxaxaxann22222121bxaxaxannnn

4、nnnnbxaxaxa2211(4.1)定理定理1如果系数行列式 212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD0则方程组(4.1)有唯一解,且解可表示为,11DDx ,22DDx,DDxnn7其中 Di ( i = 1, 2, , n)是用常数项 b1, b2, bn代替 D 中第 i列各元素而得到的 n 阶行列式, 即nninninnniiiaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111i=(1, 2, , n )8机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa2211222222

5、21211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n9机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDxjj .,332211DDxDDxDDxDDxnn ,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中;0的的系系数数均均为为而而其其余余jixi.jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当当 时时, ,方程组方

6、程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0 D 210结论结论1.1. 若线形方程组（若线形方程组（4.1)系数行列式系数行列式D 0， 则它一定有唯一解则它一定有唯一解.等价等价 若若线形方程组（线形方程组（4.1)无解或有两个不同无解或有两个不同解，则必有系数行列式解，则必有系数行列式D = 0.11212111bxaxaxann22222121bxaxaxannnnnnnnbxaxaxa2211(4.1)克莱姆法则可叙述为：克莱姆法则可叙述为：11在方程组(4.1)中, 若b1=b2=bn=0, 即01212111nnxaxaxa02222121nnxaxaxa02211nnnnnxaxaxa

7、为齐次线性方程组，而(4.1)称为非齐次的线性方程组. 显然 x1= x2 = = xn = 0 是 (4.2) 的解(零解).(4.2)12关于齐次方程组 (4.2) 还有下列结论：结论结论1.1. 若系数行列式若系数行列式D 0，则它只有零解，则它只有零解.结论结论2.2. 若齐次方程组有非零解，则必有系数若齐次方程组有非零解，则必有系数行列式行列式D = 0.13例例1.1.求解线性方程组124321xxxx124321xxxx2421xxx1431xxxD 1101101112112111 101D 1101102112112111 892D53D34D故5410811DDx10922

8、DDx2110533DDx10344DDx14机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 15机动 目录 上页 下页 返回 结束 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 6041

9、2520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx17例例3 问问 为何值时，齐次线性方程组为何值时，齐次线性方程组0)4(20)6(2022)5(zxyxzyx有非零解有非零解? ?分析分析如果齐次线性方程组有非零解，则如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式系数行列式D=0D=0。-4020-62225 -D )8)(2)(5(由由D=08,5,2,或或不难验证：将不难验证：将2，5，8代入齐代入齐次线性方程组确有非零解次线性方程组确有非零解180)2

10、(2dbacdbcabdcabdac证明dbacaccabdcacaac0000dbacaccabdca000000019aaa0100101000000naaaa按第一行展开0001000000) 1(1aan按第一列展开21000000) 1() 1(nnnnaaaaaann2计算1) 1 (518P20.xaaaxaaaxDn计算2解一：axxaaxxaaaxDrrnini 0012axaxaaanxnccc 0000)1(211)()1( naxanxu利用行列式的性质使得行列式中零尽量的多利用行列式的性质使得行列式中零尽量的多)2(518P21xaaaxaaaxDn 计算计算解二：x

11、aanxaxanxaaanxDncccn)1()1()1(21 1)()1( naxanxxaaxaaanx111)1( axaxaaanxrrnii 00001)1(12u行（列）和相等行（列）和相等22)3(518P2100012000012100012100012按第一列展开121000120000121000121000122n12100120001210001n按第一行展开12100120001210001n22100012000012100012100012n计算323121000120000121000121000122n22100012000012100012100012nDD

12、Dnnn2123, 221DD, 42123DDD52234DDD1 nDn递推关系式245（4）nnnnndcdcbabaD11112计算nnnnnnnddcdcbabaaD0000111111112按第一行展开00000) 1(1111111112dbabnnnnnnncdcbac2222nnnnnnDcbDda按最后一列展开25222)( nnnnnnDcbdaD即即421111)( nnnnnnnnnDcbdacbda 22)(Dcbdaniiiii 11112)(dcbacbdaniiiii niiiiicbda1)(u按某行（列）展开后，行列式的结构不发生变化（递推）按某行（列）展

13、开后，行列式的结构不发生变化（递推）265 计算计算n(n 2)阶行列式阶行列式naaa 11111111121解：设行列式为解：设行列式为D，则，则naaaaaD001111211nniiaaaaa00001112211)1 (21112niinaaaaa )5(518P27解解: : 将其直接按第一列展开, 得 000000 abbaba 0000000 ababaa 00000 ) 1(1bbabbn1111nnnbbaannnba11计算 n 阶行列式)6(518P28解解: : 222232222222221 n 2000010022220001 2nrri(i2) 20001022

14、2 1n22121n! 22n计算 n 阶行列式)7(518P2930机动 目录 上页 下页 返回 结束 31机动 目录 上页 下页 返回 结束 把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 nnP!nPn 一、全排列一、全排列32机动 目录 上页 下页 返回 结束 逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这

15、两个数组成一个逆序逆序 nstiiiii21stii 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数二、逆序数二、逆序数33机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换叫做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调

16、成标准排列的对换次数为偶数三、对换三、对换34机动 目录 上页 下页 返回 结束 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 四、四、n阶行列式的定义阶行列式的定义., 2 , 1;, 2 , 12121列列取取和和的的所所有有排排表表示示对对个个排排列列的的逆逆序序数数为为这这的的一一个个排排列列为为自自然然数数其其中中ntnppppppnn 35机动 目录 上页 下页 返回 结束 行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法 nppptnaaaD21211 nnppptaaaD21211 nnqpqpqptaaaD22111 .2于于零零还

17、还多多，则则此此行行列列式式必必等等素素比比阶阶行行列列式式中中等等于于零零的的元元如如果果一一个个nnn 注注36机动 目录 上页 下页 返回 结束 .,)()4.,)()3.),()2.1乘此行列式乘此行列式等于用数等于用数一数一数中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零则此行列式则此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有两行如果行列式有两行行列式变号行列式变号列列互换行列式的两行互换行列式的两行即即式相等式相等行列式与它的转置行列行列式与它的转置行列 ,)kkDDT 五、五、n阶行列式的性质阶行列式的性质37机动 目录 上页 下页 返回 结束

18、.,)(,)()8.,)()7.,)()6.)()5行列式的值不变行列式的值不变对应的元素上去对应的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于两个行列此行列式等于两个行列则则的元素都是两数之和的元素都是两数之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式为零式为零则此行列则此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有两行行列式中如果有两行提到行列式符号的外面提到行列式符号的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行 38机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 余子式与

19、代数余子式余子式与代数余子式.,)1(1的的代代数数余余子子式式叫叫做做元元素素；记记的的余余子子式式，记记作作阶阶行行列列式式叫叫做做元元素素列列划划去去后后，留留下下来来的的行行和和第第所所在在的的第第阶阶行行列列式式中中，把把元元素素在在ijijijjiijijijijaAMAManjian 六、行列式按行（列）展开六、行列式按行（列）展开39机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAajijiDDAaijijnkjkikijnkkjki当当当当其中其中当当当当或或当当当当 40机动 目录 上页 下页 返回 结束 七、克莱姆法则七、克莱姆法则., 2 , 1., 2 , 1, 0.,2122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式换成常数项换成常数项列列中