2015恒星结构与演化2021

1、第2部分恒星物理状态方程辐射传能第2部分恒星物理对流传能核过程与辐射、热传导传能相比，对流传能很不一样，存在有物质的整体运动。3湍动对流的统计理论对流传能的混合长理论对流超射区和半对流流体元的振动不稳定性对流发生的熵判据对流和对流传能æöd ln T1< çç1-d ln PG÷÷不出现对流，辐射平衡èø2æöd ln T1> çç1-d ln PG÷ø出现对流è24久期不稳定性热调节时标非绝热振动不稳定性辐射平衡区的绝热振荡流体元的

2、振动不稳定性？在动力学稳定的流体区域中，运动的流体元将受浮力或重力(形成回复力)推回平衡位置，于是在平衡位置附近上下来回振动。 （Gravity Waves）求振动频率假定：流体元从平衡位置向外移动了Dr，在新位置 上其密度比周围介质高出Dr 可写 为Dr= Dre - Drs有近似éæadP öùæ d dT öæadP öæ d dT öæ jdmö= rêç P- ç T- ç P+ ç T- ç m dr&#

3、250; ×Drdr ÷dr ÷dr ÷dr ÷÷ëèøeèøeèøsèøsèøs ûdr ö-1éùæjd ln möæd ln T öæd ln T öæ= rê- çdd ln P ÷+ çdd ln P ÷- ç 1 d ln P ÷

4、0; ×Dr ×ç -P dP ÷èøeèøsèøs ûèøë= rdjÑe - Ñ + dÑmDrHP6Hº -dr= -P drpd ln PdPd ln r = a × d ln P -d × d ln T +j × d ln m辐射平衡区的绝热振荡(Oscillation of a Displaced element)体积的上的浮力(向上为正)度。显然此密度差将导致浮力，如每Kr

5、 = -g Dr ，它使流体元获得gdj¶2 (Dr) =éùKrr = - HêëÑe- Ñ + d Ñm úû Dr¶t 2P假定:流体元在动力学稳定的区域内做绝热运动。 绝热即Ñe = Ñad 。 动力学稳定，有Dr / Dr 0，此 流元的度方向始终指向平衡位置，等效为回复力。7Dr = rd Ñ- Ñ + j Ñ Dr HedmP否则能量损失（吸收）会有振荡形式的解，iwtDr = Dr0e,其中绝热振荡频率，w = wad，

6、称为布伦特-韦伊塞拉频率(Brunt-Väisälä frequency) ，为= gd æjdöwçÑad- Ñ +Ñ2÷madHèøP相应的振荡周期为Tad = 2p / wad ，在对恒星非径向振荡的研究中 起着很重要的作用。g-mode: Gravity (g) modes, driven by buoyancy8如果wad 为纯虚数，则给出Ledoux判据，即存在有 发散项,振幅不断地放大,不稳定。¶2 (Dr) = - gd éÑ -

7、 Ñ + j Ñ ùD¶t 2Hêëedm úûrP重力波，英文名：gravity waves，属于流体力学领域，是在液体介质内或两种介质界面间（例如大气与海洋间）的一种波，其恢复力来自于重力或浮力。当一小团液体离开液面（界面类型）或者在液体 中到了一个液体密度不同之区域（液体内类型）， 透过重力作用，这团液体会以波动形式在平衡态 之间摆荡。在液体介质内的类型又称为内波，在 两界面间的类型又称为表面重力波或表面波。引力波，英文：gravitational wave，属于天体物理学领域，是广义相对论的一个现象Oxfo

8、rd University PressGravitational Waves Volume 1 Theory and ExperimentsGravitational Waves, Volume 2 Astrophysics andCosmology重力波引力波ÑeNon-adiabaticæ1 öd ln T< çç1-d ln PG÷÷不出现对流，辐射平衡è2 øæ1 öd ln T> ç1-d ln PG÷出现对流è2 ø10久

9、期不稳定性热调节时标非绝热振动不稳定性辐射平衡区的绝热振荡w2 = gdæ Ñ- Ñ + föadHçadÑm ÷P èdø流体元的振动不稳定性能量损失（吸收）会ÑeÑad 在动力学稳定区域内，流体元的振荡运动并非完全绝热。 振荡的流体元的温度与周围介质不相同（DT0）。如DT0，则由辐射或热传导将热量散失到周围介质中；如 DT 0，将从周围介质获得热量。 令此过程相对于绝热过程的偏离非常小，当流体元的热调节时标远大于振荡周期时(星体内温度梯度不太大时，此假设成立) 。流体元和周围介质

10、的温度差为DT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = -T(Ñ-Ñ)Drêç dr ÷ç dr ÷ úeëèøeèøs ûHP注意:动力学稳定要求, Dr / Dr 0，即须满足。条件必11 分析温度差对动力学稳定性的影响Ñ < Ñ + j ÑedmHº -dr= -P drpd ln PdP非绝热振动不稳定性(Vibrational Sta

11、bility)Ñm= 0 ，则动力学稳定条件变为ØÑe - Ñ > 0 。 对Dr 0 ，有DT 0。即流体元从平衡位置向外运动 时，它比周围介质冷一些，于是通过辐射或热传导从介质吸收能量，从而降低Ñe - Ñ 值，使得Dr值降低 。因而使得回复力或重力差相对于绝热情况减小，使得拉着流体元返回平衡位置的度要比绝热振荡时小一些。 流体元振荡的振幅缓慢地衰减。 显然上述辐射阻尼效应表明其解w中应包含了一个很小的正虚部使振荡衰减，而振荡部分即w的实部仍然非常接近于绝热的Brunt-Väisälä 频率。1

12、2iwtDr = Dr0e如果化学成分均匀，DT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = - T(Ñ -Ñ)Drêç dr ÷ç dr ÷ úHeëèøeèøs ûPD r = rd Ñ -Ñ + j Ñ Dr > 0HedmP 分析温度差对动力学稳定性的影响， Ñm ¹ 0，则有两种情况。Ø 如1） Ñe - &

13、#209; > 0 ， 稳定条件也成立，即史瓦西判据和Ledoux判据同时满足。可见，对于Dr 0 情况，有 DT 0 ，情形与绝热过程类似，流体元的振荡会因辐射阻尼而衰减。2） Ñe - Ñ 0 ，但对足够大的Ñm ，（ Ñ < Ñe + d Ñm ）式成立，即满足Ledoux判据，在动力学上是稳定的。这个流体元(气泡)会在重力作用下在恢复原来位置的过程中作上下振荡运动。 但对Dr 0 有DT >0 ，即上升的流体元比路 途中周围介质要热，它将通过辐射或热传导失去过多的热 量，以使它的温度趋向接近介质温度，即使得&

14、#209;e - Ñ 负得少一些，即Ñe - Ñ的代数值增加， 相应的 Dr 也增加，使回复力或重力差增强。这时流体元的振幅将缓慢地增长，将导致振荡的不稳定，称为振动不稳定性 。j13Ñ < Ñ + j Ñedm果化学成分不均匀Ñ < Ñ + j ÑedmDT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = - T (Ñ -Ñ)Drêç dr ÷ç dr ÷ 

15、50;Heëèøeèøs ûPDr = rd Ñ -Ñ + j Ñ Dr > 0HedmP 如何区分动力学稳定性和振荡稳定性？前者适应用于运动质元的纯粹的绝热行为，而后者则是考虑热交换后的结果。一个流体层，如果它的温度梯度使得Ledoux判据满足，但史瓦西判据则不满足，即jÑad< Ñ < Ñad + d Ñm ,前面分析结论则它在动力学上是稳定的，但振动不稳定的。w= - gdÑ H2令Ñ= 0， Ñ <<

16、; Ñ ，于是有而adPmedÑ = d ln r d ln Td ln T d ln P = d ln r d ln P 1 G1于是动力学时标为14t (- w2 )-1 2 (Hg )1 2dadPw 2= gd æÑ- Ñ + j ÑöadHçaddm ÷P èø动力学不稳定性增长的时标为t (H/ g)1/ 2略！dPÑ < ÑadÑ < Ñ+ j Ñaddmæ1 öd ln T< 

17、31;ç1-d ln PG÷÷不出现对流，辐射平衡è2 øæ1 öd ln T> ç1-d ln PG÷出现对流è2 ø15久期不稳定性热调节时标非绝热振动不稳定性辐射平衡区的绝热振荡流体元的振动不稳定性讨论DT 0 的流体元向介质辐射能量的过程。考查：A spherical bubble of volume V and diameter d with an average excess T with respect to the surrounding16热调节时标(The T

18、hermal Adjustment Time)完成Stellar Structure and Evolution p55 就局部而言，该流体元将它过剩的能量辐射到周围的介质中，可令局部辐射流量为 f （不一定沿星体径向，但将它们迭加在一起，可以给出恒星从内向外转移的径向辐射总流量F）。因流体元同周围介质存在有温度差，从流体元辐射出来的辐射流量为4acT 33kr¶Tf =,¶n其中¶T/¶n 为沿流体元表面的法向 导数。 流体元取近似：直径为d的球形气泡。则沿其法向方向的温度梯度： ¶T/¶n » 2 DT / d。泡表面(

19、面积S) 总的辐射走的能量于是时间内通8acT 3SLe = S × f »DTd3kr17F = - 4ac T 3 dT3krdr完成Le 是气泡的“光度”，决定了体积为V 的气泡的热能散失的速率，即¶TdQ= rVcP e ¶t= -Ledt因相对流体元而言，周围介质非常大，流体元辐射出来的能量不足以改变介质的温度。可用 ¶(DT)/¶t来代替¶(Te)/¶t 。对于直径为d 的球，显然有V / S d / 6 ，于是¶(DT )8acT 33krL1rVcPSdDTtadj= -e= -º

20、; -DTrVcP¶t其中rVc DTkr2cd 2d 2流体元过多的热量t=p=pº=tadjKH16acT 3L6 K流体元的光度e为热调节时标，等价于恒星的Kelvin-Helmholtz时标th。ermal diffusivity对于远离边缘稳定性区域的充分大的流体元来说，adj1/ad(流体元振荡周期)。这说明， 流体元通过辐射损失能量的速率相当慢，相对绝热振荡的偏离非常小。18t (- w2 )-1 2 (Hg )1 2dadP8acT 3S Le = S × f »3kr DT d完成æ1 öd ln T< 

21、31;ç1-d ln PG÷÷不出现对流，辐射平衡è2 øæ1 öd ln T> ç1-d ln PG÷出现对流è2 ø19久期不稳定性热调节时标非绝热振动不稳定性辐射平衡区的绝热振荡流体元的振动不稳定性Salt-Finger (or Doubly-Diffusive) Instability恒星内部 off-center helium burningin stars the core of a core-collapsesupernova久期不稳定性（Secular insta

22、bility or Thermal instability）在超可能会出现称为neutron-finger不稳定性。引起对流将子大量带走中微16 AUGUST 2002 VOL 297 SCIENCE21完成！Salt-finger(盐指)不稳定性（secular instability）在一个装有冷水的杯中缓慢注入热的盐水。在盐水冷却前，它的热性质足以抵消它同水的比重差。因而上层的热盐水和下层的冷水之间可以暂时处于动力学稳定状态 (若将热盐水珠向下略微推动，浮力仍会将这盐水珠推回表层)。但经过相当长时间，盐水冷却后，会出现流体动力学中的Rayleigh-Taylor不稳定性，即任何微小的扰动

23、都会引起上层比重较大的液体很快(通过许多微小“水泡”)向下沉，而将比重轻的液体翻转到上层。这种热的盐水涌进杯中冷水的不稳定性称为久期不稳定性或热不稳定性 。22久期不稳定性（Secular instability or Thermal instability）假设恒星内部相邻的内、外两层。每层的化学成分均匀， 即Ñm= 0，但两层的化学成分不同，而且外层物质平均分子量大于内层。考虑流体内一个气泡，在内、外边界层附近产生，从外向内（扰动）运动，此时，气泡内和新位置处的介质的化学成分不同，即 Du 0 。同时假定流体元周周围介质处于力学平衡，即DP = Dr = 0。由d ln r =

24、a × d ln P -d × d ln T +j × d ln m23对此问题的分析请参见Kippenhahn 书的P44-45页内容。简单图象知流体元同新的周围介质的温度必定不同，DT = j DmdmT若Du 0 (流体元平均量大)，则气泡比介质热，要向周围介质辐射多余的能量。平衡（DP = 0）的条件下，损失能量将导致气泡收在sinkmoredensity缩，增加密度，进一步下沉，直到又达到力学平衡Dr = 0。因 Du 保持不变，上式始终成立，于是仍有上过程将不断地继续下去，气泡会一直缓慢反之，若Du 0，则气泡就不断的上浮。DT> 0，以沉。24

25、简单图象Q rjQ riQ r0d ln r = a × d ln P -d × d ln T +j × d ln mvu估算气泡的运动速度vu由于存在辐射，气体温度的变化率为：-DT / tadj ，其中tadj 为对流元与周围介质之间的热调节时标rVc DTkr 2cd 2流体元过多的热量t t=p=p=adjKH16acT 3L流体元的光度e即便不存在能量变换，当气泡上（下）运动时，热调节时标也在改变。因为压强的改变将引起气泡绝热压缩（或膨胀）。DT 的变化率直接可以写为æ¶1nPDT ö¶ (DT ) = ç

26、;Ñad¶1nP¶t1¶t- Tt÷÷ - ÑT ¶tèøadj而压强的变化率为¶1nP = 1 ¶p = 1 dp dr = -vu¶tP ¶tP dr dtHP其中vu为气泡的运动速度 。25略！稍复杂点Q r0注意 (流体元与周周围介质处于力学平衡: DP = Dr = 0)DT = j DmdmT因Du 保持不变，于是有 ¶(DT) / ¶t = 0 ，联立æö1 ¶¶1nP¶1

27、nPDTTt adj(DT ) = çÑad÷ - Ñ-= 0ç÷T ¶t¶t¶tèø¶1nP¶t= - vuHP可得气泡的运动速度在热不稳定情形，气泡因辐射损失热量而下沉（Du 0， 有 vu 0 ）穿过动力学上稳定的介质（Ñad Ñ ），时标为热调节时标tadj 。26略！v= -Hpj Duu(Ñ- Ñ) ×tduadadj¶1nP = 1 ¶p = 1 dp dr = - vu¶

28、tP ¶tP dr dtHP1 ¶æ¶1nPDT ö¶1nP(DT ) = çÑad-÷ - ÑT ¶tç¶tTt adj ÷¶tèø在恒星演化晚期，会出现类似的不稳定性如：质量为1M左右的恒星，在其经基本上全部转变为氦。区域氢燃烧结束后，氢已 由于中微子出射，导致区冷却，使得恒星内部温度最高点并不在恒星的中心，而是在中心以外的某个壳层. 从这一壳层向内和向外，温度都逐渐降低。于是在现象。区域出现温度反转 一旦，在温度最高的壳

29、层内点燃氦燃烧（3a反应）。则反 应的12C（以及随之而来的16O等核素）将在中心以外的燃烧区，因温度高，整个区域仍处于辐射平衡状态即动力学上稳定的状态。 但这个C、O丰富的壳层内物质的平均量将高于内部区，并且比核心区要热，于是就会出现前面所说的热不稳定性。略！æ1 öd ln T< çç1-d ln PG÷÷不出现对流，辐射平衡è2 øæ1 öd ln T> ç1-d ln PG÷出现对流è2 ø28久期不稳定性热调节时标非绝热振动不稳定性辐

30、射平衡区的绝热振荡流体元的振动不稳定性与辐射、热传导传能相比，对流传能很不一样存在有物质的整体运动。29湍动对流的统计理论对流传能的混合长理论对流超射区和半对流流体元的振动不稳定性对流发生的熵判据对流和对流传能在恒星晚期演化和超对流出现的熵判据。的研究中，人们经常使用30对流不稳定的Ledoux判据Schwarzschild对流发生的条件：熵判据对流发生的熵判据当某一流体元（气泡）相对于周围介质从r0处向外（向上）运动了dr时。1)强相等； 2)假如果上升过程比较缓慢（亚声速），可以认为流体元定流体元与周围介质之间不存在热交换（温差小），流体元内部可以近似做绝热过程处理； 3)假定化学成分均匀

31、。物理量的改变= æ ¶T ödP drDTç ¶P ÷eèøSdr= æ ¶T ödP dr + æ ¶T ödS drDTç ¶P ÷ç ¶S ÷sèøSdrèøPdr= æ ¶r ödP drDrç ¶P ÷eèøSdr= æ ¶r ödP d

32、r + æ ¶r ödS drDrç ¶P ÷ç ¶S ÷/ drsèøSdrèøPdr 对流不稳定的条件为Dre < Drsr = r (P , S , m)T = T (P , S, m)推导流体元将受到浮力，更进一步偏离初始位置。此条件即æ ¶r ödS> 0ç÷è ¶S øP dr可证明（完成）æ ¶r ö= - r 2T Ñ&

33、#231; ¶S ÷adèøPP对于稳定的星体有，Ñad > 0 ，于是对流不稳定性出现的条 件为天体内部存在有负熵梯度。Schwarzschild criterion因取了绝热近似，以上条件仅仅是必要条件，不是充分条件。 From star formation to the final remnants, the 课后请分析: 如果考虑热传导和粘滞的贡献，对对流不稳定性有何影响?whole stellar evolution tends to remove entropy from the interior of stars to pu

34、t it in the surrounding Universe32dS < 0drBe careful ！Dre =Dr =+ æ ¶r ödS drsç ¶S ÷drèøPDre < Drsæ ¶r ödP drç ¶P ÷drèøSæ ¶r ödP drç ¶P ÷drèøSLord RayleighRcr由系统的几何性质以及边界条件决定.

35、bT = D(ÑT ) = - T dSc p dr33完成Rayleigh(1916)给出了，对流不稳定性出现的更一般的判据g ×a× b × h43R =TT> Rcr » 10kTng为引力度，h为厚度(尺度)，aT = - (¶ln r / ¶T)P 为热膨胀系数，bT = (¶T / ¶r)S - (dT / dr) = D(ÑT)为温度梯度相对于绝热温度梯度的超出，kT = le / r cP 为温度扩散系数， le 为热传导系数，n = h / r ，其中h为粘滞系数。Ray

36、leigh criterion for convection3)如果化学成分不均匀(介质)，物理量的改变= æ ¶r ödP dr + æ ¶r ödS dr + æ ¶r ödu drDrç ¶P ÷ç ¶S ÷ç ¶u ÷sèøS ,udrèøP,udrèøP,Sdr于是对流不稳定性出现的条件为Ledoux criterion注意: 通常(¶S

37、 / ¶m)r,P > 0, 如果平均量d/dr > 0,将有利于辐射平衡(常出现在大质量恒星氢燃烧区域). 但如出现平均量向外增加(出现反转现象),即使Schwarzschild判据下 dS/dr > 0, 只要d/dr 足够大, 仍出现对流. Ledoux对流34Homework（选做）：请证明上面的判据与Ñ> Ñ+ j Ñradaddm等价。dS - æ ¶S ödu < 0drç ¶u ÷drèør ,PDr = æ ¶

38、;r ödP dreç ¶P ÷drèøSr = r (P , S , m)b is positive35dS - æ ¶S ödu < 0drç ¶u ÷drèør ,P与辐射、热传导传能相比，对流传能很不一样存在有物质的整体运动。36湍动对流的统计理论对流传能的混合长理论对流超射区和半对流流体元的振动不稳定性对流发生的熵判据对流和对流传能与辐射、热传导传能相比，对流传能很不一样存在有物质的整体运动。37湍动对流的统计理论对流传能的混合长理论对流超

39、射区和半对流流体元的振动不稳定性对流发生的熵判据对流和对流传能38进一步补充完成 Mixing-Length Theory 39 对生的条件！具体来看对流传能！40讨论logW-logU图极限情形混合长方程的解对流效率无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤混合长理论的基本方程组Fcon的表达式混合长理论的基本图象对流传能的混合长理论kinematic viscositycharacteristic dimension U is the mean velocity of the fluid (SI units: m/s).= U / cs燃烧 convection remains a wea

40、k point in the theory of stellar evolution.41 在动力学不稳定的区域，温度不同的物质层之间，宏观上相互交换流体元（或气泡）：热气泡向上，冷气泡下沉。运动的流体元最后总会在它的新环境下，与周围物质完全混合，以此来传递它过多的热量或者从周围介质吸取它不足的热量。此过程总效果就使得能量通过物质对流的方式从内部的高温区流向外层的低温度，这就称为对流传能。 严格处理对流和对流传能非常。因为星体内物质处于高度可压缩的气体状态中，湍流运动转移着巨大的能量。对湍流的本质及其规律仍未很好的了解。混合长度 convection remains a weak point

41、in the theory of stellar evolution.42难， 弱点基本图像混合长(mixing-length)理论的基本图象 对流理论，星风损失质量和热核反应率的不确定是影响。(也有提旋转)恒星演化理论研究的三大 计算恒星内部结构和演化的对流理论很多，可分为两大类：一种为混合长理论，另一种为湍动对流的统计理论。 混合长理论由Prandtl （普兰特）在1925年提出，“only a rough approximation” ，后由Biermann首先应用于恒星的研究，再经Vitens(1958)等人加以发展。 混合长理论的实质：完全类比于气体的热量转移的方式而引入的一个简明的

42、对流图象。不过，此时能量传递的基元不是，而是宏观的质元，其平均自由程称为“混合长度”（Mixing-Length），即对流元经过这个特征尺度后就在其新的周围介质中混合。与周围介质完全43理论的实质Convection is a very complex process for which we dont yet have a good theoretical m 混合的特征尺度： lm 混合长度，无法从理论本身求出，仅作为可调的自由参量（与压强标高有关，lm = a Hp , a 1）。用得多的是简单的定常、局部混合长理论，其基本前提：所讨论的恒星处于流体动力学平衡之中，而且对流区域和对流整体

43、图象与时间无关（即定常）。 如果恒星内部某位置发出的整个光度完全通过辐射(含热传导)向外转移，则恒星内部将会维持一种辐射温度梯度 Ñrad，其表达式为但如果对流也参与传递能量，则真实的温度梯度 Ñ 比Ñrad 小 。 具体来计算 ÑÑ=3k l(r) Prad16pacGmT 4L(r) = F= - 4ac T 3 dT4p r 2rad3krdrdP =- Gm(r) rdrr2置处的总能流 Ftot = l / 4pr2，应 为 在星体内部某给F= F+ Ftotradcon其中Frad为辐射(含热传导)输送的能流，Fcon为对流输送的能

44、流，而辐射温度梯度的定义Ñrad为：4acG T 4mFrad + Fcon= l / 4pr=Ñrad23kP r2 真正地由辐射传输的能流应为4acG T 4m=srad Ñ =ÑFrad3kP r2其中Ñ （真实的温度梯度）未知，要计算它。45 应先给出Fcon的表达式需要求出Ñ=3klP rad16pacG mT 46稍微琐碎讨论logW-logU图极限情形混合长方程的解对流效率无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤混合长理论的基本方程组Fcon的表达式混合长理论的基本图象对流传能的混合长理论7稍微琐碎 设对流元在开始运动

45、时，仅仅是小扰，在初值近似有DT0 = 0，v0 = 0。 对流元与周围环境之间存在温度差别，受到浮力的作用，随着对流元的上升(或下沉)，DT 和运动速度 v 在不断地增加，直到经过一段距离 lm 后，这个对流元同周围介性质。lm称质混合并失去它的为混合长度(the mixing length)。Schematic illustration of a mixing-length approximation for convective motion. The mixing length m determines the vertical distance scale over which ri

46、sing and falling blobs move before merging with the surrounding medium.8Ñe< ÑFcon的表达式 在某时刻，通过半径为 r 的某球面的各个流体元可以有不同的 v 和 DT，这源于它们可能是从不同的位置(从零到lm)开始运动。 设想一个“平均”的对流元，当它通过该球面时，已经运动了距离lm / 2，考虑到则有 the T excess1¶(DT )æöéùûúDTl=×mç÷T ë

47、4;¶rèTø2) lm1= (Ñ - Ñe2 HP¶1nP = 1 ¶p= 1 dp= - 1 ¶rP ¶rPdrHPDT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = - T(Ñ -Ñ)Drêç dr ÷ç dr ÷ úHeëèøeèøs ûP （现有的理论）假设这个流体元在定压条件下将热量出来。 照前

48、面分析，流体元在路途中辐射损失的能量几乎可以忽略（绝热）， 只是运动到对流条件不再成立的位置的热量以后逐渐，最后与周围介质混合，消失时，才把热量出来。的热量主要是由流体元与周围介质温差 DT 造成，的热量为 DP = 0ÑQ = cp DT 1/adadjæ DT ö = (Ñ - Ñ ) lm1ç T÷e2 HèøP 设流体元经过这段路程的平均速度为 v流为(注意，温差DT也应取平均值)，则传递的能量= rvcp DTFcon质量流体的能量元ÑQ = c DTprv物质流v51对流传输的能流大

49、小与流体元的平均速度 v有关。： 质元的运动是受到浮力作用，使其上升。体积流体元所受浮力为，f = -g Dr ，其中g = G m / r2为局部 的重力元运动的起始位置，内外物质密度相同，而经过距离内、外物质密度差为度。在流体lm 后，流体元éæ d r ö-æ d r ö ù = léæ d r ö-æ d r öùDr = lm êç dr ÷ç dr ÷ úm êç dr ÷&

50、#231; dr ÷úëèøeèøs ûëèøadèøû 如果化学物质均匀（对流区，D = 0），另外始终处于与外界压强平衡状态 DP = 0，有æ Dr öæ DT ö1lmçç÷÷ = -d çç÷÷ = -d (Ñ -Ñe ) H.2rTèøèøp52æ DT &

51、#246; = (Ñ - Ñ ) lm 1ç T ÷e 2 HèøP平均速度的估计d ln r = a × d ln P -d × d ln T +j × d ln m 在运动过程中，流体元不断地受到浮力作用，与当地的气泡内外物质密度差成正比。流体元在上升经过距离lm过程中，其中每克物质所度(方向为径向向外)可近似表为受的平均浮力，即平均的lma = f / r = -g Dr / r = gd (Ñ - Ñ)e2Hp 前面已假定：在某时刻, 对一个给定的球面 r处来说，这个“平均”的

52、流体元在通过它之前已经运动了lm/2的距离。并假定在这段路程上的运动近似为匀运动，其平均度为a，因初速为零。在到达球面时，运动速度为v=2aæ lmöç 2 ÷mèø53f = -g Dræ Drö1 lç÷ = -d(Ñ - Ñ ). mç r ÷e H2èøplm2H pa = gd(Ñ - Ñ )e12v =æ l ö 在运动过程中平均速度为vm，于是有vm =2aç m 

53、7;è 2 ø于是得到对流转移的能量由局部物理量决定。（将宏观过程，非局域对流行为局域化）544acG T 4m Frad = s rad Ñ =3k P r2 Ñ接下来构造混合长理论的基本方程组。F=s(Ñ - Ñ )3/ 2concone=(Ñ - Ñ )3/2 e2rc Tgd lmH -3/ 2p42P太阳内部 v 4.1´102 cm s-1, 约200天时间可以传出太阳表面。问：如何估算？v =lméë gd(Ñ- Ñ ) / H ù1/ 22

54、2ep ûFcon = rvcp DTDT = éæ dT ö - æ dT ö ù Dr = - T (Ñ - Ñ). lmêç dr ÷ç dr ÷ úHe2ëèøeèøs ûP55讨论logW-logU图极限情形混合长方程的解对流效率无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤s= rdl2-3/ 2concpTg mHP42混合长理论的基本方程组Fcon = s con (

55、9; -Ñe)3/ 2Fcon的表达式混合长理论的基本图象4acG T 4m Frad = s radÑ =3k P r2 Ñ对流传能的混合长理论Ñe流体元内部温度 Te 的变化: 由两个因素引起1） 流体元的绝热膨胀或压缩；2） 通过辐射与周围介质交换能量。（假定对流元直径为d，表面积为S，体积为V） 流体元在时间通过表面辐射的总能量, Le (是由于流体元同其周围介质的温度差别引起)为 因辐射（与周围介质交换能量）造成的温度变化æ ¶Te= ¶Tedt = 1 ¶TeöLerVc v» -&

56、#231; ¶r÷¶tdrv ¶tèøLp56rVc¶Te = -LP¶te混合长理论的基本方程组 因此，每上升距离对流元温度下降的总梯度为æ dT ö= æ dT ö+ æ ¶T ö= æ dT öLerVc v-ç dr ÷ç dr ÷ç ¶r ÷ç dr ÷èøeèøadèøLèøadp其中, 第一项是由于流体元绝热膨胀或压缩过程产生的温度梯度，第二项则是因流体元向外辐射或吸收辐射造成的温度梯度。等式两边同时乘以 -HP / T，换为以压强P作为自变量，有Le H pÑ- Ñ=rVc vTeadP代入右边两