信号与系统：第12讲 第5章 离散时间傅里叶变换2

1、第第5 5章章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 5.1-5.1-5.25.2非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换；非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换； 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换2022-3-15信号与系统第12讲2n傅里叶变换的卷积性质傅里叶变换的卷积性质n时域卷积，频域乘积，时域卷积，频域乘积，n时域：输入与单位冲激响应卷积求得输出时域：输入与单位冲激响应卷积求得输出n频域：输入频谱与频率响应乘积得到输出频域：输入频谱与频率响应乘积得到输出n频率响应为单位冲激的傅里叶变换频率响应为单位冲激的傅里叶变换n傅里叶变换的乘积性质傅里叶变换的乘积性质n乘积用于信号的调制乘积用

2、于信号的调制n调制和解调的频谱搬移过程调制和解调的频谱搬移过程n微分方程表示的系统，其频率响应的导出和应用微分方程表示的系统，其频率响应的导出和应用2022-3-15信号与系统第12讲3n研究了连续时间傅里叶变换，离散时间情况怎样？研究了连续时间傅里叶变换，离散时间情况怎样？n复指数信号为其特征函数，可是输出表达简单复指数信号为其特征函数，可是输出表达简单n周期信号都能用复指数信号的线性组合构造周期信号都能用复指数信号的线性组合构造n离散时间的傅里叶级数是有限项的离散时间的傅里叶级数是有限项的n离散时间的频谱是周期的离散时间的频谱是周期的n傅里叶变换导出、周期信号表示、性质、频率响应傅里叶变换

3、导出、周期信号表示、性质、频率响应2022-3-15信号与系统第12讲4n1.离散时间傅里叶变换的导出离散时间傅里叶变换的导出n周期离散时间信号的傅里叶级数表示周期离散时间信号的傅里叶级数表示(2/)(2/) 1 jkN nkkNjkN nknNx na eax n eN周期序列：0(2/)0 ( ),11 2 /jknjkN nknnx nx tax n ex n eNNN由的一个周期构成的非周期序列其傅里叶级数，2022-3-15信号与系统第12讲5n周期离散时间信号的傅里叶级数表示周期离散时间信号的傅里叶级数表示n离散与连续的类比离散与连续的类比 因为离散时间复指数信号以因为离散时间复指

4、数信号以2 为周期为周期n正变换结果是周期的正变换结果是周期的n反变换积分区间是有限的（只在一个周期内）反变换积分区间是有限的（只在一个周期内）n正变换的低频在正变换的低频在 的偶数倍位置，高频在的偶数倍位置，高频在 的奇数倍位置的奇数倍位置001() () jkjj nknX ex n eaX ekN定义：，则有：，0000011 () = ()2jkjknjkjknkNkNx nx nX eeX eeN可表示为：000211, , () ()22jkjknjj nkNNx nx nx nX eeX eed可得：积分区间？分析公式分析公式正变换正变换综合公式综合公式反变换反变换变换与周期级变

5、换与周期级数系数的关系数系数的关系2022-3-15信号与系统第12讲6n不同序列的变换结果图示不同序列的变换结果图示n变换缓慢的序列，正变换的峰值出现在变换缓慢的序列，正变换的峰值出现在 的偶数倍位置的偶数倍位置n变换快的序列，正变换的峰值出现在变换快的序列，正变换的峰值出现在 的奇数倍位置的奇数倍位置2022-3-15信号与系统第12讲7n2.离散时间傅里叶变换举例离散时间傅里叶变换举例n（1）指数序列）指数序列 a0 a0nA为正，最大值出现在为正，最大值出现在 的偶数倍位置，序列以低频为主的偶数倍位置，序列以低频为主nA为负，最大值出现在为负，最大值出现在 的奇数倍位置，序列以高频为主

6、的奇数倍位置，序列以高频为主 1nx na u na01 = 1-njnj njjnnX ea u n eaeae画出a取正负值时的波形，并进行比较2022-3-15信号与系统第12讲8n（2）偶对称指数序列）偶对称指数序列 n变换结果是实函数，对变换结果是实函数，对a取正值作图如下：取正值作图如下：n如果如果a取负值，结果怎样？取负值，结果怎样？ 1nx naa10222211-1=1-1-1- ()1-2 cosnnnjj njjnnnjjjjjjjX ea eaeaeaeaeaeaaaeaea eeaaa2022-3-15信号与系统第12讲9n（3）矩形脉冲序列）矩形脉冲序列 n变换结果

7、是实函数，变换结果是实函数，n为离散情况下的为离散情况下的sinc函数函数n对对N1=2作图作图n离散情况下的离散情况下的sinc函数以函数以2 为周期为周期n连续情况下的连续情况下的sinc函数是非周期的函数是非周期的111, 0, nNx nnN11111111()(1)/ 2/ 2/ 2/ 2(1/ 2)(1/ 2)1/ 2/ 2()1-sin(1/2)-sin(/2)NjNjNj Nj Njjjjj njjjnNjNjNjjeeeeeeeX eeeeeeeNee2022-3-15信号与系统第12讲10n3.关于离散时间傅里叶变换的收敛问题关于离散时间傅里叶变换的收敛问题n前面讨论的是有

8、限长的序列，计算结果都是收敛的前面讨论的是有限长的序列，计算结果都是收敛的n离散时间傅里叶变换对无限长序列是否存在离散时间傅里叶变换对无限长序列是否存在n存在的条件是什么？存在的条件是什么？n连续时间傅里叶变换收敛的两类条件在离散情况怎样应用？连续时间傅里叶变换收敛的两类条件在离散情况怎样应用？n收敛情况分析收敛情况分析n对于正变换，显然，满足以下条件都能收敛对于正变换，显然，满足以下条件都能收敛n对于反变换，是一个有限区间的积分，一般序列都能收敛对于反变换，是一个有限区间的积分，一般序列都能收敛n如果只取部分频率范围积分，得到近似的非周期信号如果只取部分频率范围积分，得到近似的非周期信号2

9、nnxnxn 能 量 有 限 ：绝 对 可 和 ：1 ()2Wjj nWx nX eed, wx nx n则，与离散时间周期方波的近似过程一样，也没有吉伯斯现象2022-3-15信号与系统第12讲11n收敛分析举例收敛分析举例 () 1jj nnx nnX ex n e序列：，其傅里叶变换：1sin 2Wj nWWnx nedn部分频率范围积分近似：W采用不同得到的近似结果如下：W增加，震荡频率增加W增加，振幅减小W=2 /8、W=3 /8W=4 /8、W=6 /8W=7 /8、W=8 /82022-3-15信号与系统第12讲12n单个复指数序列的傅里叶变换单个复指数序列的傅里叶变换n周期序列

10、可由成谐波关系的复指数序列组合周期序列可由成谐波关系的复指数序列组合n用以上结果带入傅里叶反变换进行验证用以上结果带入傅里叶反变换进行验证00( ) jtjnx tex ne 0000连续情况，的傅里叶变换是在 =处的冲激2()离散序列，的傅里叶变换也该是 =的冲激2()0022-0211 () 2(2)22 (jj nj nljnj nx nX eedl edx nede =只在一个周期积分：）0-()2(2)jlX el 但必须是周期的,所以记为：2022-3-15信号与系统第12讲13n周期序列的傅里叶变换周期序列的傅里叶变换n周期序列由成谐波关系的复指数序列表示周期序列由成谐波关系的复

11、指数序列表示n根据前面复指数序列的傅里叶变换的推导根据前面复指数序列的傅里叶变换的推导n离散周期信号傅里叶变换图示离散周期信号傅里叶变换图示2()2(jkkNkX eaN ）(2/) jkN nkkNx na e(2/)0(2/)12(2/)2(1)(2/)1 jkN nkkNjN njN nj NN nNx na eaa ea eae2022-3-15信号与系统第12讲14n周期序列的傅里叶变换举例周期序列的傅里叶变换举例n（1）余弦信号）余弦信号n余弦信号傅里叶变换图示余弦信号傅里叶变换图示222()2( 5522()(- 2(- 255jkkNjllkXeaNXell ） +） ,-或）

12、0000112 cos, 225jnjnx nnee2022-3-15信号与系统第12讲15n周期序列的傅里叶变换举例周期序列的傅里叶变换举例n（2）离散时间冲激串）离散时间冲激串n冲激串傅里叶变换图示冲激串傅里叶变换图示(2/)11 jkNnknNax n eNN傅 里 叶 级 数 的 系 数 ： ()kNx nnkN周期为 的冲激串：222()2()()jkkNkNkkXeaNNN 傅 里 叶 变 换 ：2022-3-15信号与系统第12讲16本讲小结本讲小结n离散时间非周期信号的傅里叶变换离散时间非周期信号的傅里叶变换n离散时间傅里叶变换的导出离散时间傅里叶变换的导出n考虑离散时间周期信号的傅里叶级数考虑离散时间周期信号的傅里叶级数n周期无限大，第一周期的信号称为非周期信号周期无限大，第一周期的信号称为非周期信号n有此得到离散傅里叶变换表达式有此得到离散傅里叶变换表达式n离散时间傅里叶变换的特点离散时间傅里叶变换的特点n分析公式（正变换）的周期性分析公式（正变换）的周期性n低频在低频在 偶数倍，高频在偶数倍，高频在 奇数倍位置奇数倍位置n综合公式（反变换）积分区间的有限综合