工程流体力学通用课件

1、中国古代提水中国古代提水灌溉所用风车灌溉所用风车大禹治水大禹治水 都江堰都江堰李冰李冰（302-235 BC）Archimedes(285-212 BC)Leonardo da Vinci(1452-1519)Galileo(1564-1642)B. Pascal(1623-1662)I. Newton(1642-1727)D. Bernoulli(1700-1782)L. Euler(1707-1783)J. le R. dAlembert (1717-1783)J. L. Lagrange(1736-1813)C. -L. M. H. Navier(1785-1836)G. G. Stok

2、es(1819-1905)O. Reynolds(1842-1912)L. Prandtl (1875-1953)儒科夫斯基儒科夫斯基 H. E. (1847-1921)T. von Karman(1881-1963)周培源周培源（19021993) 钱学森钱学森（1911）有有能能否否无无否否是是 建立理论模型建立理论模型建立方程建立方程组与定解条件组与定解条件求解析解求解析解算例验证算例验证普适性好普适性好数学难度大，数学难度大，分析解有限分析解有限建立实验模型并选取实验建立实验模型并选取实验介质介质测定有关物理量测定有关物理量拟合实验数据找出准则方拟合实验数据找出准则方程式程式发现新现象

3、、发现新现象、新原理，验证新原理，验证其它方法得到其它方法得到的结论的结论普适性差普适性差建立理论模型建立理论模型建立方程建立方程组与定解条件组与定解条件编制计算编制计算程序程序计算并分析答案计算并分析答案应用面广泛，应用面广泛，结果直观结果直观数值实验数值实验近似性、不稳近似性、不稳定性定性实验研究实验研究（PIVPIV）数值计算数值计算 如此大量的分子，如此大量的分子，容易取得它们共同容易取得它们共同作用的有代表性的作用的有代表性的统计平均值统计平均值Vm式中，式中，m为流体的质量，为流体的质量，V为流体的体积。为流体的体积。0limVmdmVdV式中，式中，V为在空间某点取的流体体积，流

4、体的质量为为在空间某点取的流体体积，流体的质量为m 。4 水的密度水的密度 = 1000kg/m30水银的密度水银的密度 = 13600kg/m30空气的密度空气的密度 = 1.29 kg/m31mVpVVpVV式中，式中，p为压强增量，为压强增量，V为体积的变化量。为体积的变化量。VpVK1TVVTVVV式中，式中，T为温度的增量。为温度的增量。xyxh1FUFAFh并且并且F与流体的种类有关与流体的种类有关hUAF 式中，式中，为流体的为流体的动力粘度动力粘度，与流体的种类、温度、压强有关，在，与流体的种类、温度、压强有关，在一定的温度压强下为常数，单位一定的温度压强下为常数，单位PaS；

5、 U/h为速度梯度，表示在速度的垂直方向上单位长度的速度增量，为速度梯度，表示在速度的垂直方向上单位长度的速度增量，单位单位S-1； A为两平板的接触面积。为两平板的接触面积。Uhxy x+ x xyyoxddy000tan() limlimxxtttydddtttdy 当时，故有：dtdyxt如图所示，转轴直径如图所示，转轴直径d=0.36m，轴承长度，轴承长度l=1m，轴与轴承之间的间隙，轴与轴承之间的间隙 =0.2mm，其中充满动力粘度，其中充满动力粘度=0.72Pas的油，如果轴的转速的油，如果轴的转速n=200 r/min，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。，求克服油的粘性阻力所消耗的

6、功率。dn解：油层与轴承接触面上的速度为零，与接触面上的速度等于轴面上的线速度：m/s77. 33020018. 030nrr轴表面上的切向力为：N10535. 1136. 010277. 372. 044dlAF克服摩擦所消耗的功率为：kW57.9W1079.577.310535.144FP如图所示，上下两平行圆盘的直径为如图所示，上下两平行圆盘的直径为d，两盘之间的间隙为，两盘之间的间隙为 ，间隙中，间隙中流体的动力粘度为流体的动力粘度为 ，若下盘不动，上盘以角速度，若下盘不动，上盘以角速度旋转，不记空气旋转，不记空气的摩擦力，求所需力矩的摩擦力，求所需力矩M的表达式。的表达式。drdr解

7、：假设两盘之间流体的速度为直线分布，上盘半径r处的切向应力为：r所需力矩为：3222420320ddrrrrdrMddkdydnx式中，为流体的表观粘度，k为常数，n为指数。DACxddyB 0otn F Ft Fn0limnAAFp0limnnnnAdAdAFFp0limttntAdAdAFFppn=f(x,y,z,n,t)kjifzyxfffxyza0 xf0yf zfa g nnndpdA Fpnxyzpxpzpypn x y zABCD 如图所示，在静止流体中的点A取一微元四面体，与坐标轴相重合的边长分别为x、y、z，三角形BCD的面积设为S，各微小平面中心点上的压强分别为px、py、

8、pz，单位质量力在三个坐标轴方向上的投影分别为fx、fy、fz。由于流体静止，则作用在四面体上的力平衡，即：000zyxFFF11cos,026xxnpy zfx y zp S n i以x坐标轴方向为例，作用在四面体上的力在x方向上的平衡方程为：zyS21,cosin106xxnpfxpxnppynppznppxyznpppp),(zyxpp 在静止流体中取一边长分别为x、y、z的微小立方体，中心点为a（x,y,z），该点的密度为，静压强为p。abcxzy x y zfx2xxpp2pxpx022xpxpxpy zpy zfx y zxx 作用在立方体上的力在x方向的平衡方程为:xyz除以上式

9、，得a点在x方向的平衡方程：101010 xyzpfxpfypfz写成矢量形式：10 fp将流体平衡微分方程的两端分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得：xyzpppf dxf dyf dzdxdydzxyz即：xyzdpf dxf dyf dzdp=0p(x,y,z)=const。0 xyzf dxf dyf dz0 rf d写成矢量形式：xyzz2z1p1p212p0o在重力场中，单位质量力只有重力，即：代入压力差公式得：积分得： pgzC 00 xyzfffg ，dpgdz gCgpz如图所示，上式可写成：1212ppzzggz p/(g) z+p/(g) xzzhpapp0hob如图所

10、示，玻璃管上端抽真空，对于a点和b点，流体力学基本方程式为：gphhzgpzppzp/(g)z+ p/(g)z1z2AA1 p1gp12pgp2 2p0apgz1z2AA1 p11epg2epgp2 2p0pa完全真空完全真空积分常数根据自由表面上的边界条件确定：00,zzpp在重力场中，单位质量力只有重力，即：代入压力差公式积分得： pgzC 00 xyzfffg ，xyzz0zp0oh00gzpC所以任意坐标z处的压强为：ghpzzgpp000p=pa+gh ppe=p-pa=gh pepv=- pe= pa-pppepvppp=0pappahp0ppahpapghppaghpppaeap

11、pghvpghh1h2pap1122由于1和2点在同一流体的等压面上，故：21pp 111ghpp222ppgh故有：1122ghghppa2211eapppghgh其中：h1h2pap11222211appghgh2211vapppghghhh2h1B11A212 由于1、2两点在同一等压面上，故有：ghghpghpBA22111A、B两点的压强差为：ghghghghpppBA121121212(sin)aApppgHglA A2A1paphhl00两液面的高度差为：21sinAAlhhH所测的压强差为：h1h2h3h4h511223344B BA1123已知已知h1=600mm，h2=25

12、0mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm， 1=1000kg/m3， 2=800kg/m3， 3=13598kg/m3，求，求A、B两点的压强差。两点的压强差。解：图中1-1、2-2、3-3均为等压面，可以逐个写出有关点的静压强为：32232312111ghppghppghppA)(45144334hhgppghppB联立求解得：4543322311hhgghghghghppABA、B两点的压强差为：Pa67864324231451ghhhghhhgppBAF2F1hped1d2aa两圆筒用管子连接，内充水银。第一个圆筒直径两圆筒用管子连接，内充水银。第一个圆筒直径d1=4

13、5cm，活塞上受力，活塞上受力F1=3197N，密封气体的计示压强，密封气体的计示压强pe=9810Pa；第二圆筒直径；第二圆筒直径d2=30cm，活塞上受力活塞上受力F2=4945.5N，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时两活塞的高度差两活塞的高度差h。（已知水银密度。（已知水银密度 =13600kg/m3)。解：在F1、F2作用下，活塞底面产生的压强分别为：Pa699644Pa20101422222111dFpdFp， 图中a-a为等压面，第一圆筒上部是计示压强，第二圆筒上部的大气压强不必计入，故有：21pghppem3003. 012gpp

14、phe单位质量液体上的质量力沿坐标轴的分量为：gfaffzyx，0代入压强差公式得：gdzadydp积分上式得：paygzC 根据边界条件：x=0，y=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有：0ppaygzayz p0 xg-afo 以（xs，ys，zs）表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：将质量力代入等压面方程得：0adygdz积分上式得：1aygzC等压面与水平面之间的夹角为：gaarctan0ssaygz如果y坐标都相同，对于液面内任意一点，有：sszagyy将上式代入静压强分布规律得：00sppg

15、zzpghayz p0 xoh 作用在半径为r处的液体质点上的单位质量力沿坐标轴的分量为：gfyrfxrfzyx，2222sincos代入压强差公式得：积分上式得：gdzydyxdxdp22CzgrgCgzyxp222222222yxyoo2r2y2xhzp0r根据边界条件：r=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有：2202rppgzg将质量力代入等压面方程得：积分上式得：220 xdxydygdz1222Cgzr 以下标s表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：2202ssrgz如果考察的是相同半径r处的情

16、况，则由上式得液面下任一点处：222222ssrrzgg将上式代入静压强分布规律得：00sppg zzpghzoRpagR2222222cossinxyzfrxfryfg ，代入压强差公式并积分得：222rpgzCg根据边界条件：r=0，z=0时p=pa，代入上式得积分常数C=pa，故有：222arppgzg作用在顶盖上的计示压强为：222erp2222cossinxyzfrxfryfg ，代入压强差公式并积分得：222rpgzCg根据边界条件：r=R，z=0时p=pa，代入上式得C=pa-2R2/2，故有：2222aRrppgzg作用在顶盖上的真空度为：2222rRpvzoRpagR222h

17、2h1Lazyo解：质量力在坐标轴方向的分量为：gfaffzyx, 0代入压强差公式并积分得：Cgzayp在y=0，z=0处，p=pa求得C=pa，即：appaygz在y=-L，z=h1-h2处，p=pa，代入上式得：021hhgaL即：12ahhLgdh2h1Hz解：设坐标原点始终位于凹液面的最低点。 当水恰好触及容器口时，自由液面所包容的体积等于原来无水部分的体积，即：szdhHd2124214其中：gdgrzs82221221所以：rad/s67.1816211dhHgr/min3 .178/3011n 当自由液面形成的抛物面恰好触及容器底部时，抛物面所包容的体积正好为容器体积的一半，此

18、时：gdHzs82222820.88 rad/sghdr/min3 .178/3011n当容器停止转动时容器中水的高度为：20.25 m2Hh 在平面上取一微元面积dA，其中心的淹没深度为h，到oy轴的距离为x，液体作用在该微元面积上的微元总压力为：dAgxghdAdFpsin 在平面上积分上式，可得液体作用在平面上的总压力：AAppxdAgdFFsin上式中，AxxdAcA为平面对oy轴的面积矩，xc为平面形心的x坐标，故：AghAgxFccpsin总压力Fp对oy轴的力矩等于各微元总压力对oy轴的力矩的代数和，即：ApDpxdFxFADcdAxgAxxg2sinsin式中，yAIdAx2为

19、面积A对oy轴的惯性矩，故有：AxIxcyD 根据惯性矩平行移轴定理Iy=Icy+xc2A(Icy为面积A对通过其形心并平行于oy轴的坐标轴的惯性矩），代入上式，得：同理可求得压力中心的y坐标：cycxyDcccIIyyx Ax Ax 式中，yc为平面形心的y坐标，Ixy、Icxy分别为平面对oxy坐标系和通过平面形心并 平行于oxy的坐标系的惯性积。cyDccIxxx A, ,h1h2xDxD1xD2F2F1Foyxb解：对于闸门左侧bghAghFc2111121311111121111212223cyDccIbhxxhhx Abh同理，对于闸门右侧2222212cFgh Agh b3222

20、22222221212223cyDccIbhxxhhx Abh两侧总压力的合力为：bhhgFFF22212121 方向向右。设合力F的作用点的淹没深度为xD，根据合力矩定理，对oy轴取矩，有：221211DDDxhhFxFFx222112122212212122 232322332Dgh bhgh b hhhhxhhhgb hh合力作用点的y坐标为b/2。 在静止液体中有一二维曲面，面积为A，它的母线与oy轴平行，它在oxz平面上的投影为曲线ab。在淹没深度为h的地方取一微元面积dA，则液体作用在该微元面积上的微元总压力为：abdAAxAzxzhcxhopadFpdFpxdFpdFpzdAdA

21、xdAzghdAdFpcoscospxpxdFdFghdAghdAsinsinpzpzdFdFghdAghdA微元总压力在坐标轴上的投影为：pxpxxxAAAFdFghdAghdApxcxxFgh A式中，xcxxAhdAh A为投影面积Ax对oy轴的面积矩，hcx为Ax的形心淹没深度。故上式成为：pzpzzzAAAFdFghdAghdA式中，zpAhdAV为曲面上的液体体积，称为。故上式成为：ppzgVF22pzpxpFFF总压力与垂线之间的夹角为：pzpxFFarctan并指向曲面。 总压力的水平分力Fpx的作用线通过Ax的压力中心指向受压面，垂直分力Fpz的作用线通过压力体的重心指向受压

22、面，故总压力的作用线一定通过这两条作用线的交点并与垂线成角。abDAxAzpadFpdFpxdFpzFpzFpzFpzpaHhddd123解：由于作用在底盖上的压强左右对称，其总压力的水平分力为零，垂直分力方向向下，大小为：N657912243211dhHdggVFppz顶盖上总压力的水平分力为零，垂直分力方向向上，大小为：23223049 N4212pzpdhdFgVgH侧盖上总压力的水平分力为：N4814423dgHAghFxcxpx侧盖上总压力的垂直分力应为作用在半球上的上半部分和下半部分垂直分力的合力，即半球体积水的重量：33321 N12pzdFg故侧盖上的总压力：223334825

23、 NppxpzFFF33arctan86.2pxpzFF由于总压力的作用线与球面垂直，所以它一定通过球心。dhHzom1m1122解：坐标原点选在直管中心的液面上，z轴铅直向上。由于容器处于大气环境中，只需按计示压强进行计算。在顶盖的下表面上有z=-h，故有：ghrpe2221作用在顶盖上的计示压强的合力与顶盖的重力之差就是螺栓组1受到的拉力：22222221111001222416ddedFprdrm grrgh drm gdghm g 螺栓组2受到的拉力为：gmmghddmgFF122212164筒壁处自由液面的高度为：222228RdHgg顶盖上压力体的体积为：2222212 44416

24、FdVd Hd hdhg故螺栓组1受到的拉力为：22211416dFdghm g螺栓组2受到的拉力为：22221416dFdghmm gabcdFpz1Fpz2pagfzxadbcadbfgacbfgpzgVVVgFadbcpzBgVFF 流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时间空间流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时间空间而变，而流体又是众多质点组成的连续介质，流体的运动是而变，而流体又是众多质点组成的连续介质，流体的运动是无穷多流体运动的综合。无穷多流体运动的综合。 怎样描述整个流体的运动规律呢？怎样描述整个流体的运动规律呢？拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法 拉格朗日法拉格朗日

25、法: : 质点系法质点系法 把流体质点作为研究对象，把流体质点作为研究对象，跟踪每一个质点跟踪每一个质点，描述其运，描述其运动过程中流动参数随时间的变化，综合流场中所有流体质点，动过程中流动参数随时间的变化，综合流场中所有流体质点，来获得整个流场流体运动的规律。来获得整个流场流体运动的规律。 设某一流体质点设某一流体质点 在在t=tt=t0 0 时刻占据起始坐标（时刻占据起始坐标（a a，b b，c c），），t t为时间变量为时间变量 xzyOaxbzct0tM ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxxzxyOaxbyzct0tMt t时刻，流体质点运动到空间坐标（时刻，流体

26、质点运动到空间坐标（x，y，z） ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx( , , , )( , , , )( , , , )( , , , ) ( , , , )( , , , )xyzx a b c tutxx a b c tdy a b c tyy a b c tudttzz a b c tz a b c tut222222( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )xxxyyyzzzu a b c tx a b c taa a b c tttua b

27、c ty a b c taaa b c tttu a b c tz a b c taa a b c ttt 问题问题 1 每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点2 数学上存在难以克服的困难数学上存在难以克服的困难3 实用上，不需要知道每个质点的运动情况实用上，不需要知道每个质点的运动情况 因此，该方法在工程上很少采用。因此，该方法在工程上很少采用。( , , , )( , , , ) ( , , ) limited fluid points ( , , , )xx a b c tyy a b c ta b czz a b c t 又称为流场法，核心是研

28、究运动要素分布场。又称为流场法，核心是研究运动要素分布场。即研究即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。该法是对流动参数场的研究，例如速度场、压强场、密度该法是对流动参数场的研究，例如速度场、压强场、密度场、温度场等。场、温度场等。 采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标（空间坐标（x，y，z）和时间）和时间t 的单值连续函数。的单值连续函数。液体质点在任意时刻液体质点在任意时刻t 通过任意空间固定点通过任意空间固定点 (x, y, z) 时时的流速为：的流速为：(

29、, , )( , , )( , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t式中，式中， ( (x, y, z, t ) )称为欧拉变数。称为欧拉变数。( , , )( , , )( , , )pp x y z tx y z tTT x y z t令令 (x, y, z) 为常数，为常数， t为变数为变数令令 (x, y, z) 为变数，为变数， t为常数为常数表示在某一固定空间点上，流体质点的运动参数随时间表示在某一固定空间点上，流体质点的运动参数随时间的变化规律。的变化规律。表示在同一时刻，流场中流动参数的分布规律。即在表示在同一时刻，流场中流动参数的分布规律。

30、即在空间的分布状况。空间的分布状况。(a, b, c) : 质点起始坐标质点起始坐标 t : 任意时刻任意时刻(x, y, z) : 质点运动的位置坐标质点运动的位置坐标(a, b, c , t ) : 拉格朗日变数拉格朗日变数(x, y, z) : 空间固定点（不动）空间固定点（不动） t : 任意时刻任意时刻(x, y, z , t ) : 欧拉变数欧拉变数拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法 液体质点通过任意空间坐标时的加流速液体质点通过任意空间坐标时的加流速式中，式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量。为通过空间点的加速度分量。 ttzyxuattzyxuattzy

31、xuazzyyxxd),(dd),(dd),(d 利用复合函数求导法，将（利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间）看成是时间 t 的函数，则的函数，则d ( , , , )dd ( , , , )dd ( , , , )dxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyz()duuuudtta = 写为矢量形式写为矢量形式,ijkxyz为矢量微分算子。zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzy

32、xuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d 时变加速度分量（三项）时变加速度分量（三项） 位变加速度分量（九项）位变加速度分量（九项）ut()uuv 从欧拉法来看，不同空间位置上的液体流速可以不同；从欧拉法来看，不同空间位置上的液体流速可以不同；v 在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，加速度分因此，加速度分 u 迁移加速度（位变加速度）：迁移加速度（位变加速度）：同一时刻，不同空间点上流速不同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度。同，而产生的加速度。u 当地加速度（时变加速度）

33、：当地加速度（时变加速度）：同一空间点，不同时刻上因流速同一空间点，不同时刻上因流速不同，而产生的加速度。不同，而产生的加速度。t0tutu00),( ttzyxux水面不断下降！水面不断下降！u2t0u1水面保持恒定！水面保持恒定！0),( xtzyxuuxx 已知平面流动的已知平面流动的ux=3=3x m/s, m/s, uy=3=3y m/s,m/s,试确定坐标为（试确定坐标为（8 8，6 6）点上流体的加速度。）点上流体的加速度。 【解解】：由式：由式xxxxxxyzyyyyyxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyz22033072/0033054/xxxxxyyyyyx

34、yuuuauuxm stxyuuuauuym stxy 22290/xyaaam s在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于分析、在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于分析、研究问题，先介绍一些有关流体运动的基本概念。研究问题，先介绍一些有关流体运动的基本概念。 若流场中流体的运动参数（速度、加速度、压强、若流场中流体的运动参数（速度、加速度、压强、密度、温度等）不随时间而变化，而仅是位置坐标的函数，密度、温度等）不随时间而变化，而仅是位置坐标的函数，则称这种流动为定常流动或恒定流动。则称这种流动为定常流动或恒定流动。 若流场中流体的运动参数不仅是位置坐标的函数，若流场中流体

35、的运动参数不仅是位置坐标的函数，而且随时间变化，则称这种流动为非定常流动或非恒定流动。而且随时间变化，则称这种流动为非定常流动或非恒定流动。ut0H水面保持恒定！水面保持恒定！如图所示容器中水头不随时间变化的流动为定常流动。流体的如图所示容器中水头不随时间变化的流动为定常流动。流体的速度、压强、密度和温度可表示为速度、压强、密度和温度可表示为( , )( , )( , )xxyyzzuux y zuux y zuux y z( ,)( ,)( ,)pp x y zx y zTT x y z 运动要素之一不随时间发生变化，即所有运动要素对时运动要素之一不随时间发生变化，即所有运动要素对时间的偏导

36、数恒等于零间的偏导数恒等于零0. ttptututuzyx ()auu即，在定常流动中只有迁移加速度。即，在定常流动中只有迁移加速度。 运动要素之一随时间而变化的流动，即运动要素之一运动要素之一随时间而变化的流动，即运动要素之一对时间的偏导数不为零。对时间的偏导数不为零。2t01水面保持恒定！水面保持恒定！图中，当水箱的水位保持不变时，图中，当水箱的水位保持不变时，1点到点到2点流体质点速度增加，就是由于截面变化点流体质点速度增加，就是由于截面变化而引起的迁移加速度。而引起的迁移加速度。“维维”是指空间自变量的个数。是指空间自变量的个数。 流场中流体的运动参数仅是流场中流体的运动参数仅是一个一

37、个坐标的函数。坐标的函数。流场中流体的运动参数是流场中流体的运动参数是两个两个坐标的函数。坐标的函数。流场中流体的运动参数依赖于流场中流体的运动参数依赖于三个三个坐标时的流动。坐标时的流动。 实际上，任何实际液体流动都是三维流，需考虑运动要实际上，任何实际液体流动都是三维流，需考虑运动要素在三个空间坐标方向的变化。素在三个空间坐标方向的变化。 由于实际问题通常非常复杂，数学上求解三维问题的困由于实际问题通常非常复杂，数学上求解三维问题的困难，所以流体力学中，在满足精度要求的前提下，常用简化难，所以流体力学中，在满足精度要求的前提下，常用简化方法，尽量减少运动要素的方法，尽量减少运动要素的“维维

38、”数。数。 例如，下图所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点例如，下图所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点运动参数，如速度，即是半径运动参数，如速度，即是半径r的函数，又是沿轴线距离的函数，的函数，又是沿轴线距离的函数，即：即：u=u (r，x)。显然这是二元流动问题。显然这是二元流动问题。u 工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值u。就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种流动就叫一维流动，即：流动就叫一维流动，即：u=u (x)。如图所示的

39、绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速如图所示的绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速度为例，可写成：度为例，可写成：( , ) ( , ) xyuu x y iu x x j 流体质点不同时刻流经的空间点所连成的线，即流流体质点不同时刻流经的空间点所连成的线，即流体质点运动的轨迹线。体质点运动的轨迹线。由拉格朗日法引出的概念。由拉格朗日法引出的概念。 例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。一水点的运动轨迹，也就是迹线。ddddxyzxyztuuu 从该方程的积分结果中消

40、去时间从该方程的积分结果中消去时间t，便可求得迹线方程式。，便可求得迹线方程式。 某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线。不同流体质点所组成的曲线。由欧拉法引出。由欧拉法引出。A1A2A3A4u1u2u3s1s2s3oyzx1. 流线和迹线相重合。流线和迹线相重合。 在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不

41、变，因此流线和迹线相重合。所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。2. 流线不能相交和分支。流线不能相交和分支。 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。3. 流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。4. 流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。方，表

42、示该处的流速较小。驻点驻点：速度为：速度为0的点；的点；奇点奇点：速度为无穷大的点（源和汇）。：速度为无穷大的点（源和汇）。 在驻点和奇点处，由于不存在不同流动方向，流线在驻点和奇点处，由于不存在不同流动方向，流线可以转折和彼此相交。可以转折和彼此相交。 设在流场中某一空间点（设在流场中某一空间点（x，y，z）的流线上取微元）的流线上取微元段矢量段矢量 该点流体质点的速度矢量为该点流体质点的速度矢量为 。 ddddsxiyjzkxyzuu iu ju k 根据流线的定义，该两个矢量相切，其矢量积为根据流线的定义，该两个矢量相切，其矢量积为0。即即 d 0d d dxyzi j kusu u u

43、 xyzdd0dd0dd0 xyyzzxuyuxuzuyuxuzddd( , , , )( , , , )( , , , )xyzxyzu x y z tu x y z tu x y z t上式即为流线的微分方程，式中时间上式即为流线的微分方程，式中时间t是个参变量。是个参变量。 有一流场，其流速分布规律为：有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky，uy= kx， uz=0，试求其流线方程。试求其流线方程。【解解】由于由于 uz=0，所以是二维流动，其流线方程微分为，所以是二维流动，其流线方程微分为dd( , , , )( , , , )xyxyu x y z tu x y z t将两个分速

44、度代入流线微分方程（上式），得到将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到xyyxkdkddd0 x xy y22xyc积分积分即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。 在流场中任取一不是流线在流场中任取一不是流线的封闭曲线的封闭曲线C，过曲线上的每一点，过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表作流线，这些流线所组成的管状表面称为流管。面称为流管。C流管内部的全部流体称为流束。流管内部的全部流体称为流束。v流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线，而流束不论流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线，而流束不论大小，都是由流体组成的。大小，都是由流体组成的。

45、v因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交由于流线不能相交)。微小截面积的流束。微小截面积的流束。 如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是充如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是充满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。 注意注意 单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以以qv表示，其单位为表示，其单位为m m3 3/s/s、m m3 3/h/h等。

46、等。体积流量体积流量 qv （m3/s） 质量流量质量流量 qv （kg/s） 重量流量重量流量 qv （N/s）或（）或（kN/s） 有三种表示方法：有三种表示方法：AdAu1212dqv 从总流中任取一个微小流束，其过水断面为从总流中任取一个微小流束，其过水断面为dA ，流速为流速为u ，则通过微小流束的体积流量为则通过微小流束的体积流量为 qvvdcos( ,)dAAquAuu nA 式中：式中：dA为微元面积矢量为微元面积矢量 ， 为速度为速度u 与微元法线方向与微元法线方向n夹角的余弦。夹角的余弦。cos( , )u n 处处与流线相垂直的截面称为有效截面。处处与流线相垂直的截面称为

47、有效截面。有效断面可能是曲面，或平面。有效断面可能是曲面，或平面。u 在直管中，在直管中，流线为平行线，有效截面为平面；流线为平行线，有效截面为平面； u 在有锥度的管道中，流线收敛或发散，有效截面为曲面。在有锥度的管道中，流线收敛或发散，有效截面为曲面。 常把通过某一有效截面的流量常把通过某一有效截面的流量qv与该有效截面面与该有效截面面积积A相除，得到一个均匀分布的速度相除，得到一个均匀分布的速度v。 vvvddqAqqu AvAvqvAu(y)yqvv 平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面

48、上的点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。相同。 使流体运动得到简化（使流体运动得到简化（使三维流动变成了一维流动使三维流动变成了一维流动）。）。在实际工程中，平均流速是非常重要的。在实际工程中，平均流速是非常重要的。 在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。用用表示。表示。 在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。用用表示。表示。 总流的有效截面与湿周之比。用总流的有效截面与湿周

49、之比。用Rh表示。表示。2h44dAdRdhRA圆管圆管h4dR非圆管非圆管h44DARhb422()bhbhDbhbh222121124(44)ddDdddd212124(4)4S SdS SDddd 一群流体质点的组合。一群流体质点的组合。 在运动的过程中，尽管系统的形状和位置常常不停地在运动的过程中，尽管系统的形状和位置常常不停地变化，但始终包含这群流体质点，有确定的质量。变化，但始终包含这群流体质点，有确定的质量。 在流场中确定的空间区域称为控制体。在流场中确定的空间区域称为控制体。控制体外表面称控制体外表面称控制面控制面，控制体可根据需要将其取成不同形状。，控制体可根据需要将其取成不

50、同形状。流体可自由进出控制体。流体可自由进出控制体。有效截面、壁面、自由液面有效截面、壁面、自由液面 有效截面有效截面流体与管壁的交界面流体与管壁的交界面有效截面有效截面 连续性方程是连续性方程是质量守恒定律质量守恒定律在流体力学中的应用。他建在流体力学中的应用。他建立了流体流速与流动面积之间的关系。立了流体流速与流动面积之间的关系。选取控制体：选取控制体：过流断面过流断面1-1、2-2及管壁所围成的体积。及管壁所围成的体积。取微元流束：取微元流束：流束的两过流断面面积为流束的两过流断面面积为dA1 ，dA2 ，速度分别为，速度分别为u1， u2 。dt时间流经两个过流断面的流体时间流经两个过

51、流断面的流体体积：体积：u1A1 dt 和和 u2 dA2 dt 。 流束的形状不随时间改变，为定常流动；流束的形状不随时间改变，为定常流动； 流束侧面没有流体质点流入或流出；流束侧面没有流体质点流入或流出； 流体是不可压缩的；流体是不可压缩的； 该流束内流体的质量不变。该流束内流体的质量不变。2211ddAuAu 12vvvdddqqq1221dduAuA上述各式即为流束的连续性方程。它上述各式即为流束的连续性方程。它表明流束过流断面面积与该断面表明流束过流断面面积与该断面上速度的乘积为一常数，或所有过流断面上流量都相等。上速度的乘积为一常数，或所有过流断面上流量都相等。12v1122ddA

52、AquAuAv1 12 2qAvA v1221AAvv 12vvvqqq 移项得移项得 上式即为总流的连续性方程。上式即为总流的连续性方程。表明流量一定时，断面平均流速与断面面表明流量一定时，断面平均流速与断面面积成反比。在过水断面积小处，流速大；过水断面面积大处，流速小。积成反比。在过水断面积小处，流速大；过水断面面积大处，流速小。 设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和和dz，如下图所示。，如下图所示。假设微元平行六面体形假设微元平行六面体形心的坐标为心的坐标为x、y、z，在，在某一瞬时某一瞬时t经过形心的流经过形心的流体质

53、点沿各坐标轴的速体质点沿各坐标轴的速度分量为度分量为ux、 uy、 uz ，流体的密度为流体的密度为。2u dxux2dxx2dxx2u dxux先分析先分析x轴方向，由于轴方向，由于ux和和都是坐标和时间的连续函数，即都是坐标和时间的连续函数，即ux=uxx (x，y，z，t)和和 = (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左时间内，沿轴方向从左边微元面积边微元面积dydz流入的流体质量为流入的流体质量为dd, , , , ,d d d22dd( , , , )( , , , )d d d22

54、ddd d d22xxxxxxxxy z t uxy z ty z tuxxx y z tux y z ty z tttuxxuy z ttt同理可得在同理可得在dt时间内从右边微元面积时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为流出的流体质量为ddd d d22xxuxxuy z ttt上述两者之差为在上述两者之差为在dt时间内沿时间内沿x轴方向流体质量的变化，即轴方向流体质量的变化，即()ddd d dd d d dxxxuuxuxy z tx y z txxx 同理，在同理，在dt 时间内沿时间内沿y轴和轴和z轴方向流体质量的变化分别为：轴方向流体质量的变化分别为：()d d d dyu

55、x y z ty()d d d dzux y z tz因此，因此，dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为时间内经过微元六面体的流体质量总变化为d d d dyxzuuux y z txyz 由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式中流体质量的总变因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。化和由流体密度变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为设开始瞬时流体的

56、密度为，经过，经过dt时间后的密度为时间后的密度为ttttzyxd)d,(在在dt时间内，六面体内因密度变化而引起的质量变化为时间内，六面体内因密度变化而引起的质量变化为tzyxtzyxzyxttddddddddddd上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。不可压缩流体不可压缩流体0yxzuuuxyz可压缩流体定常三维流动可压缩流体定常三维流动的连续性方程。的连续性方程。若流体是定常流动若流体是定常流动上式变为：上式变为：0yxzuuuxyz不可压缩流体三维流不可压缩流体三维流动的连续性方程。动的连续性方程。 在同一时间内通过流场中任一封闭表面的

57、体积流量等于零，在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为ux=3（x+y3)，uy=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。试分析该流动是否连续。【解解】 根据连续性方程的微分形式根据连续性方程的微分形式3xux4yuy2zuz09 zwyvxu该流动不连续。该流动不连续。有一输水管道，如图所示。水自截面有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面流向截面2-2。

58、测得。测得截面截面1-1的水流平均流速的水流平均流速v1=2m/s，已知，已知d1=0.5m， d2=1m，试，试求截面求截面2-2处的平均流速处的平均流速v2为多少？为多少？【解解】 根据连续性方程根据连续性方程22121244ddvv2212120.520.5/1dvvm sd 运动物体在某一时间段内动能的增量，等于同运动物体在某一时间段内动能的增量，等于同一时间段内作用在运动物体上外力做功的总和。一时间段内作用在运动物体上外力做功的总和。 能量转换与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律。伯能量转换与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律。伯努力方程是努力方程是这一定律这一定律在流体力学中的应用

59、。在流体力学中的应用。2201122mumuW (1)不可压缩理想流体的定常流动；不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。质量力只有重力。 从理想流体恒定流中取出一微小流束，并截取从理想流体恒定流中取出一微小流束，并截取1-1和和2-2断面之间的流段来研究，沿流束取二过流断面断面之间的流段来研究，沿流束取二过流断面1、2，其上的，其上的流速和压强分别为流速和压强分别为u1 、 u2和和p1、 p2 ，断面面积分别为，断面面积分别为dA1、 dA2 ，面积中心距基准面的高度分别为，面积中心距基准面的高度分

60、别为z1、z2，如下图所示。，如下图所示。u1A1A212121122u2dA1dA2u2dtu1dtZ1Z2 时段时段dt内，流段由内，流段由1-2断面流至断面流至1-2 的位置的位置，其动能增量，其动能增量和外力做功的总和分别为：和外力做功的总和分别为：1-1 流段的动能：流段的动能：1221 11v1122dmuu dq dt2-2 流段的动能：流段的动能：222222v1122dm uu dq dt 由于是定常流动，时段由于是定常流动，时段dt内，流段内，流段1-2 内内流动的动能不流动的动能不变，所以其动能增量仅为变，所以其动能增量仅为2-2 1-1 动能之差动能之差 ：12vvvd