信号与系统：第三章 离散系统的时域分析V3.0

1、3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应 一、差分与差分方程一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应一、单位序列响应 二、阶跃响应二、阶跃响应3.3 3.3 卷积和卷积和 一、序列分解与卷积和一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解二、卷积的图解 三、不进位乘法三、不进位乘法 四、卷积和的性质四、卷积和的性质3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程 设有序列设有序列f(k)，则，则

2、，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为等称为f(k)的移位序列。的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分差分运运算。算。 tttftfttfttfttfttfttt)()(lim)()(lim)(limd)(d000离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变化率有两种表示形式：kkkfkfkkf) 1()() 1()() 1() 1()()(kkkfkfkkf（1）一阶前向差分定义：）一阶前向差分定义： f(k) = f(k+1) f(k)（2）一阶后向差分定义：一阶后向差分定义： f(k) = f(k) f(k

3、1) 式中，式中， 和和 称为差分算子，无原则区别。称为差分算子，无原则区别。 本书主要用后向差分，简称为差分。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质：差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义：二阶差分定义： 2f(k)= f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) =f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)= f(k) 2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分阶差分: : mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m)1. 差分差分2. 差分方程差分方程 包含未

4、知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差及其各阶差分的方程式称为差分方程。一般形式：分方程。一般形式： y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例：若描述某系统的差分方程为例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2, ,激励激励f(k)=2k(k), ,求求y( (k)

5、)。解：解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式的( (闭合闭合) )解。解。 二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似与微分方程经典解类似: y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解齐次解yh(k) 齐次方程齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) =

6、 0 其特征方程为其特征方程为 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即，即: n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的特征根。称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。齐次解的形式取决于特征根。 参看教材第参看教材第87页页 表表3-1。2. 特解特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关特解的函数形式与激励的函数形式有关 参看教材第参看教材第87页页 表表3-2 。 如果激励信号是在如果激励信号是在k0时接入的，差分方时接入的，差分方程的解适合于程的解适合于k0。 通常以通常以y(1), y(2) , ，y

7、(n)描述系统的描述系统的初始状态。初始状态。 对于对于n阶差分方程，阶差分方程，n个初始条件个初始条件( (初始值初始值) )是：是：y(0), y(1) , ，y(n1)例：若描述某系统的差分方程为例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。 解：特征方程为解：特征方程为 2 + 4+ 4=0 解得解得 特征根特征根1=2= 2， 齐次解为齐次解为yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解为特解为 yp(k)=P(2)k ,

8、,k0 0 代入差分方程得代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ， 解得解得 P=1/4 所以得特解：所以得特解：yp(k)=2k2 , k0 全解为全解为 y(k)= yh(k)+yp(k)= (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , （k0） 代入初始条件解得代入初始条件解得 C1 1=1 , =1 , C2 2= 1/4 = 1/4 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应 y(k) = yzi(k) + yzs(k) , 也可以分别用经典法求解。也可以分别用经典法求解。 设激励设激励f(k)在在k=0时接入系统时接入系统，

9、 通常以通常以y(1), y(2) , ，y(n)描述系统的初始状态。描述系统的初始状态。 yzs(1) = yzs(2) = = yzs(n) = 0 所以所以 y(1)= yzi(1) , y(2)= yzi(2),，y(n)= yzi(n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值的初始值yzi(j)和和yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1)例例：若描述某离散系统的差分方程为：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知激励已知激励f(k)=2k , k0，初始状

10、态，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解解：（：（1）yzi(k)满足方程满足方程 yzi(k) + 3yzi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0 初始状态初始状态yzi(1)= y(1)= 0, yzi(2) = y(2) = 1/2 递推求出初始值递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2) 方程的特征根为方程的特征根为1= 1 ，2= 2其解为其解为 yzi(k)=Czi1( 1)k+Czi2(2)k 将初始值代入将初始值代入 并解得并解得

11、Czi1=1 , Czi2= 2 所以所以 yzi(k)=( 1)k 2( 2)k , k0 （2）零状态响应零状态响应yzs(k) 满足满足 yzs(k) + 3yzs(k 1) + 2yzs(k 2) = f(k) 初始状态初始状态yzs(1)= yzs(2) = 0 递推求初始值递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 , yzi(1)= 3yzi(0) 2yzi(1)=3分别求出齐次解和特解，得分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(1)k + Czs2(2)k + yp(k) = Czs1( 1)k + Czs2

12、( 2)k + (1/3)2k代入初始值求得代入初始值求得 Czs1= 1/3 , Czs2=1 所以所以 yzs(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0 (3)全响应全响应y(k)=yzi(k)+yzs(k) yzs(k) = 3yzs(k 1) 2yzs(k 2) + 2k , k0 yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 = 1 yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 1一、单位序列和单位阶跃序列一、单位序列和单位阶跃序列 1 1、单位序列、单位序列 定义：定义： ) 0(0) 0(1kkk10k k 2 2、单位阶跃序

13、列、单位阶跃序列 定义：定义： ) 0(0) 0(1kkk.k(k)10 1 2 3 4 5二、单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应和阶跃响应1 1、单位序列响应：、单位序列响应： 由单位序列由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为响应，记为h(k)。h(k)=T0,(k) 例例1：已知某系统的差分方程为已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)求单位序列响应求单位序列响应h(k)。 解：解： 根据根据h(k)的定义的定义 有

14、有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) = h(2) = 0 （2）递推求初始值）递推求初始值h(0)和和h(1)。 h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k)h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1 对于对于k 0， h(k)满足齐次方程满足齐次方程 ： h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 其特征方程为其特征方程为 (+1) ( 2) = 0 所以所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)=

15、C1+2C2 = 1 解得解得 C1= 1/3 , C2=2/3，则，则 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0 或写为或写为h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 方程移项写为：方程移项写为： 例例2：若方程为：若方程为： y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2) 求单位序列响应求单位序列响应h(k) 。解解 ： h(k)满足满足h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2) 令只有令只有(k)作用时，系统的单位序列响应作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足它满足 h1(k) h1(k 1)

16、 2h1(k 2)=(k) 根据线性时不变性，根据线性时不变性， h(k) = h1(k) h1(k 2) =(1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2) 2 2、阶跃响应：、阶跃响应： 当当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列离散系统的激励为单位阶跃序列(k) 时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃 响应，用响应，用g(k)表示。表示。0)()()(jkjjkik，(k) =(k) (k 1) = (k) 所以所以0)()()(jkjjkhihkg，h(k) = g(k) 三、二者

17、关系三、二者关系例例3 3：已知某系统的差分方程为：已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求阶跃响应求阶跃响应g( (k) )。解：解：g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k) 特解为一常数，设为特解为一常数，设为P，代入方程得：，代入方程得： P-P-2P=1 （k0） 得：得：P=-1/2 g(k)= C1( 1)k + C2(2)k -1/2 （k0） 用递推法求出用递推法求出g(0)=1， g(1)=2代入上式求得代入上式求得C1 、 C2 一、卷积和一、卷积和1 . .序列的时域分解序列的时域分解012ik-1f(k)f(-1)f(0)f

18、(1)f(2)f(i)任意离散序列任意离散序列f(k) 可表示为可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + iikif)()(2 . .任意任意序列作用下的零状态响应序列作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yzs(k)f (k)根据根据h(k)的定义：的定义： (k) h(k) 由时不变性：由时不变性：(k - -i)h(k - -i)f (i)(k- -i)由齐次性：由齐次性：f (i) h(k- -i)由叠加性：由叠加性：f (k)yzs(k)卷积和卷积和iikif)()(iik

19、hif)()(izsikhifky)()()(3 . .卷积和的定义卷积和的定义 已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(k)和和 f2(k)，则定义和，则定义和 为为f1(k)与与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是在虚设的变量 i 下进行的，下进行的， i 为求和变为求和变量，量，k 为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为k 的函数。的函数。 iikfifkf)()()(21)(*)()()()(khkfikhifkyizs例：例：f (k) = a k(k), h(k

20、) = b k(k) ，求求yzs(k)。解：解： yzs(k) = f (k) * h(k)当当i k时，时，(k - i) = 0iikiiikbiaikhif)()()()(bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs,) 1(,11)()()(100注：注：(k)*(k) = (k+1)(k)二、卷积和的图解法二、卷积和的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）变量替换：）变量替换： k换为换为 i得得 f1(i)， f2(i)（2）反转平移：由）反转平移：由f2(i)反转反转 f2(i)右移右移k f2(k i)（3）乘积：）乘积： f1(i)

21、f2(k i) （4）求和：）求和： i 从从 到到对乘积项求和对乘积项求和。注意：注意：k 为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。iikfifkf)()()(21例：例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求，求f(2) =？解解：（1）变量替换）变量替换（2） f2(i)反转得反转得f2( i)（3） f2(i)右移右移2得得f2(2i)（4） f1(i)乘乘f2(2i)（5）求和，得）求和，得f(2) = 4.5iififf)2()()2(21012k-1f1( k )1.511.521f2( k )01233-2-2-1

22、kiiiif2(i )f2(2i)012i-1f1( i )f2( k- - i )11.523三、三、卷积和的简便算法卷积和的简便算法1 1、不进位乘法求卷积、不进位乘法求卷积f(k)等于所有两序列序号之和为等于所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。的那些样本乘积之和。例如例如k=2时：时：f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + =+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1) +f1(2)f2(k-2)+ + f1(i) f2(k i) + iikfifkf)()()(21例例 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=03 ， 4， 0， 62 ， 1 ， 5解：解：15 ，20， 0， 303 ， 4， 0， 66 ，8， 0， 12+ 6 ，11，19，32，6，30求求f(k) = f1(k)* f2(k)f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=12、列表法：看教材，本质是一样的。、列表法：看教材，本质是一样的。例：已知序列例：已知序列f1(k)和和 f2