信号与系统：第六章 离散系统z域分析V3.0

1、6.1 z 6.1 z 变换变换一、从拉普拉斯变换到一、从拉普拉斯变换到z z变换变换二、收敛域二、收敛域6.2 z 6.2 z 变换的性质变换的性质6.3 6.3 逆逆z z变换变换6.4 z 6.4 z 域分析域分析一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解二、系统的二、系统的z z域框图域框图三、利用三、利用z z变换求卷积和变换求卷积和四、四、s s域与域与z z域的关系域的关系五、离散系统的频率响应五、离散系统的频率响应6.1 6.1 z变换变换一、从拉氏变换到一、从拉氏变换到z变换变换 对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号: : k

2、TSkTtkTfttftf)()()()()(取样信号取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 kkTsSbkTfsFe)()(令令z = esT，上式将成为复变量，上式将成为复变量z的函数，用的函数，用F(z)表示；表示；f(kT) f(k) ，得，得kkzkfzF)()(称为序列称为序列f(k)的的双边双边z变换变换0)()(kkzkfzF称为序列称为序列f(k)的的单边单边z变换变换F(z) = Zf(k) ,f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z)二、收敛域二、收敛域 z z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级

3、数收敛，即级数收敛，即kkzkf)(时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是，它是序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分必要条件充分必要条件。 收敛域的定义：收敛域的定义： 对于序列对于序列f(k)，满足，满足 kkzkf)(所有所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换变换F( (z) )的收敛域。的收敛域。 例例1求以下有限序列的求以下有限序列的z变换变换(1) f1(k)= (k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解解:(1) 1)()()(01kkkkzkzkzF 可见，其单边、双边可见，其单边、双边z变

4、换相等。与变换相等。与z无关，无关，所以其收敛域为整个所以其收敛域为整个z平面。平面。 (2) f2(k)的双边的双边z 变换为变换为 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域为收敛域为0 z 0 对有限序列的对有限序列的z变换的收敛域一般为变换的收敛域一般为0 z ，有时它在有时它在0或或/和和也收敛。也收敛。 例例2 求求因果序列因果序列 0,0, 0)()(kakkakfkky的的z变换（式中变换（式中a为常数）。为常数）。 解：解：代入定义代入定义 1110101)(1lim)(lim)(azazazzazFNNNkkNkkky可见，仅当可见，仅当 az

5、-1 a 时，其时，其z变换存在，变换存在， azzzFy)(RezjImz|a|o收敛域为收敛域为|z|z|a|例例3 求求反因果序列反因果序列 的的z z变换。变换。解：解： ) 1(0, 00,)(kbkkbkfkkfzbzbzbzbbzzFNNmmkkf111111111)(lim)()()(可见，可见， b-1z 1,即即 z b 时，其时，其z变换存在，变换存在， bzzzFf)(收敛域为收敛域为|z|z| |b|b|RezjImzo例例4 双边序列双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 解：解： 0,0,kakbkk的的z变换。变换。azzbzzzFzFzFfy)()()(可

6、见，其收敛域为可见，其收敛域为 a z b （显然要求（显然要求 a 2 f2(k)= 2k ( k 1)F2(z)=2zz, z 0 (k)1zz， z 1， z 1 书书p276 ( k 1)一、线性一、线性 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 本节讨论本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边也适用于双边z变换。变换。 若若 f1(k)F1(z) 1 z 1, f2(k) F2(z) 2 z 1二、移位（移序）特性二、移位（移序）特性 （单边、双边差别大！）（单边、双边差别大！）双边双边z变换的移位：变换的移位： 若若 f

7、(k) F(z) , z 0，则，则 f(k m) z mF(z), z ，且有整数，且有整数m0, 则则f(k-1) z-1F(z) + f(-1)f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 10)()()(mkkmzmkfzFzmkff(k+1) zF(z) f(0)zf(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z 10)()()(mkkmmzkfzFzmkf 证明：证明：Zf(k m)= mmkmkmkkkkzzmkfzmkfzmkf10)(0)()()(上式第二项令上式第二项令k m=n)()()()(10100zFzzmkfzznfzmkfmmkkmmk

8、nnk特例：特例：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则f(k m) z-mF(z)例例1 1：求周期为求周期为N N的有始周期性单位序列的有始周期性单位序列 0)(mmNk 的的z z变换。变换。 111)(00NNNmmNmzzzzmNk解：解：, , z 1例例2：求求f(k)= k(k)的单边的单边z变换变换F(z)。 解：解：f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k) zF(z) zf(0) = F(z) + 1zz F(z)=2) 1( zz三、序列乘三、序列乘ak k( (z z域尺度变换域尺度变换) ) 若若 f(k) F(z) ,

9、z ， 且有常数且有常数a 0 则则 akf(k) F(z/a) , a z a 证明：证明：Zakf(k)= )()()(azFazkfzkfakkkkk例例1：ak(k) azz例例2：cos( k)(k) ? cos( k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) jje5 . 0e5 . 0zzzz五、序列乘五、序列乘k（z域微分）域微分） 若若 f(k) F(z) , z 则则 )(dd)(zFzzkkf, z 例：例：求求f(k)= k(k)的的z变换变换F(z). 解：解：1)(zzk22) 1() 1() 1(1dd)(zzzzzzzzzzkk六、序列除六、序列除( (k

10、+ +m)()(z域积分）域积分） 若若 f(k) F(z) , z 0， 则则zmmdFzmkkf1)()(, z 0，则，则 zdFkkf)()(例例：求序列求序列 的的z变换。变换。 )(11kk解：解：1)(zzk)1ln()1ln()111() 1()(112zzzzdzdzkkzzz七、七、k域反转域反转( (仅适用双边仅适用双边z z变换变换） 若若 f(k) F(z) , z 则则 f( k) F(z-1) , 1/ z a求求a k ( k 1)的的z变换。变换。 解：解：11) 1(11zazzzkakazkak111) 1(，|z| a，|z| 1/a乘乘a得得 azak

11、ak1) 1(，|z| 1/a八、部分和八、部分和 若若 f(k) F(z) , z ，则，则)(1)(zFzzifki, max( ,1) z max(|a|,1)九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理适用于右边序列，即适用于初值定理适用于右边序列，即适用于kM(M为整为整数数)时时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。，而不必求得原序列。 初值定理初值定理： 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 f(k)F(z) ， z 则序列的

12、初值则序列的初值)(lim)(zFzMfmz对因果序列对因果序列f(k)，)(lim)0(zFfz证明：证明：.)2() 1()()()()()2()1(MMMMkkkkzMfzMfzMfzkfzkfzF两边乘两边乘zM得得zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+)(lim)(zFzMfmz终值定理终值定理： 终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。得序列的终值，而不必求得原序列。 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 f(k) F(z

13、) ， z 且且0 1则序列的终值则序列的终值 )() 1(lim)(1lim)(lim)(11zFzzFzzkffzzk含单位圆含单位圆 求逆求逆z变换的方法有：幂级数展开法、部分分式变换的方法有：幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分（留数法）等。展开法和反演积分（留数法）等。 一般而言，双边序列一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列可分解为因果序列f1(k)和反因果序列和反因果序列f2(k)两部分，即两部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k) (k 1) + f(k) (k)相应地，其相应地，其z变换也分为两部分变换也分为两部分 F(z) = F2(z) + F1

14、(z)， |z| F2(z)=Zf(k) (k 1)= 1)(kkzkf，|z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 解解（1） 由于由于F(z)的收敛域在半径为的收敛域在半径为2的圆外，故的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法将为因果序列。用长除法将F(z)展开为展开为z-1的幂级数：的幂级数： z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k)=1，1，3，5， k=0 （2） 由于由于F(z)的收敛域为的收敛域为 z 1，故，故f(k)为反因果为反因果序列。用长除法将序列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为（按升幂排列）展开为z的幂级的幂级数

15、数: z2/ /( 2 z z2)=5432165834121zzzz10 ,21,41,83,165,)(kkf(3) F(z)的收敛域为的收敛域为1 z 1 232)(2zzzF， z ) )和和F2(z)()( z z 2 (2) z 1 (3) 1 z 2，故，故f(k)为因果序列为因果序列 )()2(32) 1(31)(kkfkk(2) 当当 z 1，故，故f(k)为反因果序列为反因果序列 ) 1()2(32) 1(31)(kkfkk(3)当当1 z 2， ) 1()2(32)() 1(31)(kkkfkk例例2：已知象函数已知象函数 )3)(2)(1)(21()1294()(23z

16、zzzzzzzzzF,1 z 1，后两，后两项满足项满足 z 为例：为例：当当r=2时，为时，为 kak-1 (k)当当r=3时，为时，为 )() 1(212kakkk可这样推导记忆：可这样推导记忆： Zak (k)=azz两边对两边对a求导得求导得 Zkak-1 (k)= 2)(azz再对再对a求导得求导得Zk(k-1)ak-2 (k)=3)(2azz故故Z0.5k(k-1)ak-2 (k)=3)(azz(3) F(z)有重极点有重极点 F(z)展开式中含展开式中含 项项(r1)，则逆变换为，则逆变换为 razz)( 例例：已知象函数已知象函数323) 1()(zzzzF， z 1的原函数。

17、的原函数。解解:1) 1() 1() 1()(1321231132zKzKzKzzzzzF2)() 1(1311zzzFzK3)() 1(dd1312zzzFzzK1)() 1(dd21132213zzzFzzK1) 1(3) 1(2)(23zzzzzzzFf(k)=k(k-1)+3k+1 (k)6.4 z6.4 z域分析域分析 单边单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。 一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解 mjjmniinjkfbikya00)()(设设f(k

18、)在在k=0时接入，系统初始状态为时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。 取单边取单边z变换得变换得 mjjjminiikiinzFzbzikyzYza0010)()()(mjjjmniniikkiniinzFzbzikyazYza00010)()()()()()()()()()()()(zYzYzFzAzBzAzMzYzszi)()()()()(zAzBzFzYzHzs令令称为系统函数称为系统函数h(k)H(z) 例例：若某系统的差分方程为若某系统的差分方程为 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，

19、f(k)= (k)。求系统的。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。 解解: 方程取单边方程取单边z变换变换 Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) 12224)(212121)2(2) 1()21 ()(2222212211zzzzzzzzzzFzzzzzyyzzY)() 1()2(2)(122) 1)(2(4)(2kkyzzzzzzzzzYkkzizi)(23) 1(212)(12312122)(1kkyzzzzzzzYkkzszs二、系统函数二、系统函数 )()()()()(zAzBzFzYzHzs2、与时

20、域的关系：、与时域的关系：h(k)H(z) )(1)(zHzzkg)()()(zHzFkyzs1、定义：、定义：3、用途：、用途：(1)求求h(k) :书书p308例例6.4-5(2)求求g(k)： (3)求求yzs(k)： (5)求求yzi(k)(4)列写系统的差分方程列写系统的差分方程 例例：某系统，某系统，已知当输入已知当输入f(k)=( 1/2)k (k)时，其零时，其零 状态响应状态响应 )()21(29)31(4)21(23)(kkykkkzs求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。和描述系统的差分方程。 解解:31221361612)()()(22z

21、zzzzzzzzFzYzHzsh(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k (k) ) 1(2)()2(61) 1(61)(kfkfkykyky三、系统的三、系统的z域框图域框图 f (k)Df (k -1)F(z)z1)(1zFz另外两个基本单元：数乘器和加法器，另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域和域和z域框图域框图相同。相同。)(23131)(211zFzzzzYzs21223323131)(22211zzzzzzzzzzzzHh(k) = 2 (2)k (k)当当f(k)= (k)时，时，F(z)= z/(z-1)2213) 1(2)2() 1() 3(1233)(22222zzzzzzzzzzzzzzzzzYzsyzs(k) = 2k + 3 2 (2)k (k)(2)由由H(z)可知，差分方程的特征根为可知，差分方程的特征根为 1=1， 2=2yzi(k) = Cx1 + Cx2 (2)k由由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有，有Czi1 + Czi2 (2)-1= 0Czi1 + Czi2 (2)-2= 0.5Czi1 =1, Czi2 = - 2yx(k) = 1 2 (2)k利用利用z z变换求卷积和变换求卷积和 例例：求求2k (k)*2-k (k)解解：5 . 0| ,5 . 0)(2zzzkk2| ,225 . 0)(211zzz