陕西省吴堡县吴堡中学高中数学第三章不等式的应用课件北师大版必修

1、1.不等式理论的应用主要体现在如下几个方面不等式理论的应用主要体现在如下几个方面:（1）运用不等式研究函数问题（定义域）运用不等式研究函数问题（定义域,值域值域,最值最值,单调性）单调性）;（2）运用不等式研究方程解的问题）运用不等式研究方程解的问题;（3）利用函数性质及方程理论研究不等式问题）利用函数性质及方程理论研究不等式问题.诸如方程的根诸如方程的根分布问题分布问题,解集之间的包含关系解集之间的包含关系,解析几何中的范围问题等等解析几何中的范围问题等等.2.不等式在实际生活中的应用是指用不等式解决生产不等式在实际生活中的应用是指用不等式解决生产,科研和日常生活中的问题科研和日常生活中的问

2、题.特别警示特别警示:【1】运用不等式求最值运用不等式求最值,要注意公式成立的三个要注意公式成立的三个条件条件,如果取等号的条件不成立如果取等号的条件不成立,就要考虑用函数的单调性来解就要考虑用函数的单调性来解决决.【2】解决取值范围问题时解决取值范围问题时,要注意主变量要注意主变量,参变量的分离参变量的分离,并注意区别恒成立并注意区别恒成立,存在性问题的区别存在性问题的区别【3】应用不等式解应用题时应用不等式解应用题时,应弄清题意根据题意列出不应弄清题意根据题意列出不等式或函数式等式或函数式,再利用不等式的知识求解再利用不等式的知识求解.为此为此,解应用题要解应用题要过四关过四关:首先是首先

3、是阅读关阅读关,即读懂题目即读懂题目,能够概括出问题涉及能够概括出问题涉及哪些内容哪些内容;其次是其次是理解关理解关,即能准确理解和把握这些量之即能准确理解和把握这些量之间的关系间的关系;然后建立数学模型然后建立数学模型,再讨论不等关系再讨论不等关系;最后得出结最后得出结论论.本节课我们来讨论如何应用不等式解决实际应用问题本节课我们来讨论如何应用不等式解决实际应用问题:例例1某住宅小区为了使居民有一个舒适的生活环境某住宅小区为了使居民有一个舒适的生活环境,计划建一计划建一个八边形的休闲小区个八边形的休闲小区,它的主体构造的平面图形是由两个矩形它的主体构造的平面图形是由两个矩形ABCD,EFGH

4、构成的面积为构成的面积为200平方米的十字架地域现计平方米的十字架地域现计划在正方形上建造一花坛造价为划在正方形上建造一花坛造价为4200元平米，在元平米，在四个相同的矩形上（阴影）铺花岗地坪，造价为四个相同的矩形上（阴影）铺花岗地坪，造价为210元平元平米，在四个空角铺草坪，造价为米，在四个空角铺草坪，造价为80元平米元平米（）设总造价为（）设总造价为S元，元，AD的边长为的边长为X（m）试建立）试建立S关关于于X的函数关系式；的函数关系式；（）计划至少要投资多少元，才能建造这个休闲小区？（）计划至少要投资多少元，才能建造这个休闲小区？分析分析：解：（）设解：（）设AM=y则则2220042

5、00,4xxxyyx-+=()22221420021048024000003800040000102Sxxyyxxx=+=+（2）282400000380004000380002 16 10118000Sxx=+=当且仅当当且仅当224000004000 xx=答：计划至少要投资答：计划至少要投资11.8万元才能建造这样的休闲小区万元才能建造这样的休闲小区即时即时10 x=( )min118000S=元 例例2、甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，以相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯

6、片价格不同，甲公司每次购每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙片芯片，乙公司每次购公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪家公司平均元芯片，两次购芯片，哪家公司平均成本低？请给出证明过程。成本低？请给出证明过程。分析：分析：设第一、第二次购芯片的价格分别为每片设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和元和b元，列元，列出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不等式知识论证。出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不等式知识论证。解：解：设第一、第二次购芯片的价格分别为每片设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和元和b元，元，,22000010000片元的平均价格为那么甲公司两次购芯片ba

7、ba,112100001000020000片元均价格为乙公司两次购芯片的平baba,2故等号不成立不相等由于baabbaabbaba211211又abba112答：乙答：乙 公司平均成本较低。公司平均成本较低。例3、某城市出租车公司有两种计费方案可供乘客选择：第一种方案，某城市出租车公司有两种计费方案可供乘客选择：第一种方案，租用起步价租用起步价a元，每千米价为元，每千米价为b元的出租车；第二种方案，起步价为元的出租车；第二种方案，起步价为c(ca)元，但每千米价增加元，但每千米价增加0.1元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是

8、相等的，则乘客应如何根据不同情况选用两种方不同型号行驶的里程是相等的，则乘客应如何根据不同情况选用两种方案中的一种？案中的一种？分析：设起步价内行驶里程为设起步价内行驶里程为n千米，该城内从千米，该城内从A地到地到B地的行驶距离为地的行驶距离为m千米，千米，分分m与与n情况讨论。情况讨论。解：解：设起步价内行驶里程为设起步价内行驶里程为n千米，乘客租车行驶距离为千米，乘客租车行驶距离为m千米。千米。;)(,元比较合适选起步价最低为时当accnm 则元用为乘客按方案二的租车费元租车费用为乘客按方案一的程为超过起步价规定的行设时当,),0(,21xPxPxxxnmnm xbcxPxbaxP1 .

9、0,21 ,),(10,) 1 . 0(,21选此时两种租车方案可任即令caxxbcbxaxPxP ,)(1021元的出租车合适此时选起步价为时当axPxPcax .,)(1021元的出租车合适此时选起步价为时当cxPxPcax例4、建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于百分之十，并且这个比越大，住宅准，窗户面积与地板面积的比应不小于百分之十，并且这个比越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的

10、采光条件是变好了还是变坏了？件是变好了还是变坏了？分析：设原住宅窗户面积和地板面积分别为设原住宅窗户面积和地板面积分别为x,y,同时增加的面积为同时增加的面积为a,依题意依题意列出关系式再利用不等式证明知识进行说明。列出关系式再利用不等式证明知识进行说明。解：设原住宅窗户面积和地板面积分别为设原住宅窗户面积和地板面积分别为x,y,同时增加的面积为同时增加的面积为a，,10 xy 则由题设知原采光比为,yx增大面积后的采光比为,ayax为比较采光比的大小，为比较采光比的大小，,ayyxyaayyayxaxyyxayax由因为因为x,y,a都是正数，且都是正数，且x0,y-x0yxayaxmyyx

11、ya即, 0故采光条件变好了。故采光条件变好了。例5APBHba如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方的水平视线上方a米和米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？最大？则学生看黑板的视角为其中的夹角分别为水平视线下边缘与学生的黑板上米距黑板设学生解,:BPHAPHPHxP,tan,tan由此可得由xbxaxabxbaxabxbxa21tantan1tantantan,tan,22最大时当且仅当因为abxabxabxxabx,为锐角由于,最大此时.时看黑板的视角最大

12、即学生距墙壁 ab例例6、 某县一中计划把一块边长为某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形米的等边三角形ABC的边角地辟为的边角地辟为植物新品种实验基地，图中植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，需把基地分成面积相等的两部分，D在在AB上，上，E在在AC上。上。 （1） 设设AD=x(x10)，ED=y，试用，试用x表示表示y的函数关系式；的函数关系式； （2） 如果如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，是参观线路，则希望它最长，D

13、E的位置又应的位置又应该在哪里？说明现由。该在哪里？说明现由。分析分析要求要求y与与x的函数关系式，就是找出的函数关系式，就是找出DE与与AD的等量关系。的等量关系。（1）三角形）三角形ADE中角中角A为为600 故由余弦定理可得故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。三者关系。ABCADESS21（2）解：（解：（I）ABC的边长为的边长为20米，米，D在在AB上，则上，则10 x20。220432160sin2121AExSsABCADE则则.200 xAE 在三角形在三角形ADE中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：)2010(200104242xxxy(2)若若DE做为输水管道，则需求做为输水管道，则需求y的最小值的最小值,210104,210200400200104242242时即当且仅当xxxxxy若若DE做为参观线路，须求做为参观线路，须求y的最大值。的最大值。200104,400,10042ttytx令令设设,400100,104)(214tttttf任取214212124214121104)()104()104()()(tttttttttt