逆矩阵与伴随矩阵

1、河南财经学院 信息学院 廖扬第四节第四节 逆矩阵及伴随矩阵逆矩阵及伴随矩阵1 1 逆矩阵（逆矩阵（P110P110，定义，定义2.92.9）一一 基本概念基本概念1.1.互逆矩阵可换，是同阶方阵。互逆矩阵可换，是同阶方阵。即：若即：若 成立，则成立，则 也成立。也成立。IAB IBA 2.2.逆矩阵唯一。逆矩阵唯一。3.3.零矩阵不可逆；单位矩阵与其自身互为逆阵。零矩阵不可逆；单位矩阵与其自身互为逆阵。11AA 4.4.注：注：2 2 奇异矩阵奇异矩阵：0 A 【P111P111，例，例2 2】 【P111P111，例，例3 3】 【例例】河南财经学院 信息学院 廖扬3 3 伴随矩阵伴随矩阵1

2、12111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 二二 逆矩阵存在定理逆矩阵存在定理A0 A1.1.矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 *11,AAA IAAA 即即 2.2.若若A A可逆，则可逆，则 【P114，例，例4】 【P115，例，例5】 【P117，例，例6】河南财经学院 信息学院 廖扬转置转置逆逆伴随伴随TAA()TTkAkA()TTTA BAB()TTTABB A11AA111()kAkA111()ABBA1*nAA*11()nkAkA A*()A B*()ABB A1()A B11()()TTAA*11 *()()AA*()()TTAA()TTAA11()AA

3、2*()nAAA三三 转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵的运算性质转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵的运算性质【例例】河南财经学院 信息学院 廖扬使得使得 呢呢? ?b1.ba 1,abba 使得使得 即即 对于任意非零的数对于任意非零的数 ，如果存在另一个数，如果存在另一个数 ，倒数：倒数：则说则说 是是 的倒数的倒数. .aba运算中的运算中的 1 1 ，矩阵矩阵 ，B在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法相当于数的乘法I那么，对于矩阵那么，对于矩阵，是否存在另一个，是否存在另一个ABBAI 河南财经学院 信息学院 廖扬1 1、逆矩阵的概念、逆矩阵的概念BnnA例如例如 设设,A 1

4、111 . 的逆矩阵的逆矩阵是是证明证明AB B212121 211 AAAB,ABBAI使得使得 则说矩阵则说矩阵 是可逆的，是可逆的， 并把矩阵并把矩阵 称为称为 的一个的一个逆矩阵，逆矩阵，记作记作 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果存在，如果存在 阶矩阵阶矩阵 ，定义定义2.4.12.4.1河南财经学院 信息学院 廖扬 AB,ABBAI, 的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是 AB 212121 21 1111 BA 212121 21 1111 11011000I I 1 -AB 即即河南财经学院 信息学院 廖扬事实上，若设事实上，若设 和和 都是都是 的逆矩阵，的逆矩阵，则有则有,ABBAIA

5、CCAI可得可得IBB BCA ABC CI 所以所以 的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。ABCAC 河南财经学院 信息学院 廖扬2 2 奇异矩阵与非奇异矩阵奇异矩阵与非奇异矩阵2222A 1 002 113 24B 0 AA 60 BB ,0,0称为非奇异矩阵称为非奇异矩阵时时当当称为奇异矩阵称为奇异矩阵时时当当AAAA 河南财经学院 信息学院 廖扬设设 为为 阶方阵，阶方阵， 的行列式的行列式 的元素的元素 的代数余子式的代数余子式 所构成的矩阵的转置矩阵所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵。AijA112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA AAA

6、nija*A记为记为3 伴随矩阵伴随矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211河南财经学院 信息学院 廖扬211 312110A 解：解：11A122,A 233A 211 211431A 2 134A ，211A 221A 1 112( 1)1 0 311A 321A 331A 【P114，例，例4】求求 的伴随矩阵。的伴随矩阵。河南财经学院 信息学院 廖扬逆矩阵的存在定理：逆矩阵的存在定理：11AAA A0 A证明：证明：若若 可逆，可逆，A11 .AAAE 即即 有有， 使使,11 EAA故故.0 A所所以以矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 且当且当A可逆时可

7、逆时 河南财经学院 信息学院 廖扬,0时时当当 AAA 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 112111222212nnnnnnAAAAAAAAA AAA0000 00AAaAaAann 1112121111100010001A A I 河南财经学院 信息学院 廖扬*AAA I AAIA 1AAA按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得1AA A 牢记：牢记：0可逆AA*AAA I 记住了吗？记住了吗？1AAA河南财经学院 信息学院 廖扬 若若 可逆，则可逆，则A111AAA1AAI 11,A A 11.AA 证明：证明：11,AA 河南财经学院 信息学院 廖扬 若若 可逆，则可逆

8、，则 也可逆，也可逆，且且A)0( kkA1-11 ) ( AkkA证明：证明： kA,1IAA 11Ak)(1(1 AAkk1-11 ) ( AkkA河南财经学院 信息学院 廖扬若若 、 是同阶可逆阵，则是同阶可逆阵，则 也可逆，也可逆，且且BAAB111)( ABAB AB1 AIA,1IAA .111 ABAB证明：证明： 11 AB 11 ABBA特别有：特别有： 11121121 AAAAAAmm kkAA)(11 （反序定律）（反序定律）河南财经学院 信息学院 廖扬*AAA I *1AA A *1AAA *1AA A 1nAA 1nAA 1nA 1*nAA证明：证明：求证求证回顾回

9、顾河南财经学院 信息学院 廖扬*(kA ）11nkAAk 11nkA A 1*nkA 1()kA kA *11()nkAkA A求证求证证明：证明：河南财经学院 信息学院 廖扬*AB( (）11()()B BA A 1()ABAB 11A B BA *.B A *()ABB A求证求证证明证明河南财经学院 信息学院 廖扬2* ().(2)求 证nAAAn * *证明：（）A*1()AA -1nAAA 2.nAA 1*其中：nAA *又：AAA I *AAIA*1（）AAA* *故：（）A河南财经学院 信息学院 廖扬 若若 可逆，则可逆，则 也可逆，也可逆，且且ATATTAA)()(11 证明：

10、证明：TATA)(1 TAA)(1 TI I TTAA)()( 11 求证求证河南财经学院 信息学院 廖扬求证求证*11 *()()AA证明证明*1AA A11 *1()AAAAA*1 *()AAI显然：河南财经学院 信息学院 廖扬求证求证*()()TTAA证明证明*1()()TTTAAA1()TA A*1()TTAA A1TAA1TAA原命题得证原命题得证河南财经学院 信息学院 廖扬【P111P111，例，例2 2】证明矩阵证明矩阵证明：证明：的逆矩阵为的逆矩阵为 naaaA21 112111naaaA naaa21 11211naaa 111I 故，原命题得证故，原命题得证河南财经学院 信

11、息学院 廖扬【P111P111，例，例3 3】 332330AIAAAI ，求证，求证A A可逆，并求其逆矩阵可逆，并求其逆矩阵. . 30AI 已已知知证明：证明：3233AAAI 233A AAII 233AAAII 1233AAAI 故，故，A可逆，且可逆，且河南财经学院 信息学院 廖扬2AEAE 1A 220AAE 由由 2A AEE ，得，得【例例】,2A AE 可逆，并求它们的逆矩阵可逆，并求它们的逆矩阵. . 2340AEAEE 11.2AAE 220AAE 由由设方阵设方阵A满足方程满足方程，证明，证明220AAE 1234AEAEE 12AE 证明证明 132.4EAAE 河

12、南财经学院 信息学院 廖扬220AAE 由由 20AEAE还可以还可以得得到到但是，等式右端为但是，等式右端为0的这个结论对于本题没有用处。的这个结论对于本题没有用处。我们希望等式右端应该为我们希望等式右端应该为E或者或者kE。河南财经学院 信息学院 廖扬.01121311221AA求求是是否否可可逆逆，如如果果可可逆逆，判判断断例例解：解：211312110A 11 |AAA 20 21112112431 111221112231222 【P115，例，例5】河南财经学院 信息学院 廖扬【P117P117，例，例6 6】设设A是非奇异矩阵，且是非奇异矩阵，且AB=AC, ,求证：求证：B=C

13、将将AB=AC 两端同乘以两端同乘以 得得1A 证明：由于证明：由于A是非奇异矩阵，故是非奇异矩阵，故 存在。存在。1A 11()()AABAAC 11()()A A BA AC BC 即即从而从而同理同理，A 可逆时，由可逆时，由 AB=O 可得可得 B=O。, ,即消去律成立即消去律成立河南财经学院 信息学院 廖扬【例例】 设设A A的逆矩阵为的逆矩阵为1102022 ,002A 求求解：解：14A A 14 11A 1A * *（）404022002 1 *1* *1*1() () () () () 342TAAAAAAAAAAA 、 、河南财经学院 信息学院 廖扬A A 1004100

14、.41004 A 31A 116 1 *1* *1*1() () () () () 342TAAAAAAAAAAA 、 、AA A I * A1A A 10210224002 11042110221002 河南财经学院 信息学院 廖扬1()A 1()A 404022002 1 *1* *1*1() () () () () 342TAAAAAAAAAAA 、 、11042110221002 ()TA ()TA T10041002111222 河南财经学院 信息学院 廖扬1 *1* *1*1() () () () () 342TAAAAAAAAAAA 、 、()A 1()AA 116 40402200