小波变换与信号的分解重构

1、( )( )cossin( )21( ) cossin2iwtF wf x edtwtiwtf xdtf xwtiwt dti( , )()etatt a21/4() 2cos(5 )tgtet22() cos(2) cosf tttt21/4() 2cos(5 )l st ksTgctet22( )( )/( )gctgc tgc t( )( )2()G wH t gc tdt22,( )( )( )( )( )( )( )1( ),;0Ra btL RF wF wF wCdwwtttbta bRaaa设，其傅立叶变换为，若满足容许条件（完全重构条件/恒等分辨条件）：则称为一个基本小波或母小

2、波。将母函数经伸缩和平移后得：2,2( )( )1( , ),( )11( )( , )fa bRff tL RtbW a bff tdtaatbf tW a bdadbCaa 对任意函数的连续小波变换为：其重构公式（逆变换）为： ,2( )( )( )( )( )(0)0( )(2),0a bjtttt dtF wF wFt dtF wAFwBAB由于基本小波生成的小波序列在小波变换中对被分析信号起着观察窗的作用，故还应满足一般函数的约束条件：故是一个连续函数，这意味着为了满足完全重构条件，在原点要等于零，即：为使信号重构的实现在数值上稳定，还要求满足稳定性条件：*2( )( )( )( )

3、(2)jjttFwF wFw若小波满足稳定性条件，则定义一个对偶小波，其傅立叶变换为：可见，稳定性条件实际上是对分母的约束条件，保证对偶小波的傅立叶变换存在。一个小波的对偶小波一般并不唯一，而实际应用却希望一个小波具有唯一的对偶小波。寻找这样的小波是小波分析的基本问题之一。( )( , )()( ,)( )( , )( )1(,)fffff tW a bf tW a bf tW a bf ctW ca cbcab（1）线性：一个多分量信号的小波变换等于各分量的小波变换之和；（2）平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为；（3）伸缩共变性：若的小波变换为，则的小波变换为；（4）自相似性：对应不

4、同尺度参数 和不同平移参数 的连续小波之间是自相似的；（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余。11 211 211 2( , )( )d( )d( )ddkfkkkkkkkktbW a bf t atatbf k atatbtbaf kttaa 221121000( )( ),0( )( )(2 ),( )(),() |jj Zjjjjjj Zj ZjjLRVLRMRAVVVjZVVLRf xVfxVjZf xVf xkVkZRieszgVg xk 空间中一列闭子空间称为的一个多分辨分析（），若该序列满足下列条件：（1）单调性：；（2）逼近性：，；（3）伸缩性：；（4）平移不变性：；（

5、5）基存在性：存在，使011jjjjjkZVRieszVVVVW构成的基。多分辨分析是由一个尺度函数建立起来的，故多分辨分析的建立等价于寻找尺度函数在多分辨分析的框架下的性质。下面根据以及建立尺度函数方程的关系式。 121,22( )(2)2( ) (2)(2)(2)22( )2(2)jj Zkk Zkjjklk Zjlkljkk ZjjjkVxhxkhxxkdxxlhxkhxxk设是一个具有尺度函数 的正交多分辨分析，则下列尺度关系式成立：其中，等价于： 22121( )( )(2)( )( )(2)( )( )( 1)2(2)( )jkj Zkk Zkk Zkkkjjjk ZjjjjjVt

6、MRAhlxhxkxxgxkxL RghWspanxkWWjjWVWx 设,是一个正交，则存在使得下面的双尺度方程成立，且利用尺度函数构造函数的伸缩和平移构成的正交基，其中当时，。上述定义的函数称为小波函数。11112222jjjjjjjjH fH ffHfDf（1）基本思想设为能量有限信号在分辨率 下的近似，则可进一步分解为 在分辨率下的近似以及位于分辨率与 之间的细节之和，其分解过程如下所示： 21,21,1111111122( )2( )2( )( )kkmnjnj mmnjnj mjjjjjkjkkkjjkjkkjjjkkkhghgHf xaxkDf xdxkH f xaxaad（2）引理双尺度方程中系数、可通过内积来计算。（3）信号分解重构设则信号分解与重构变为寻找系数 、与之间的关系