251矩形的性质

1、本节内容2.5矩矩 形形2.5.1 矩形的性质矩形的性质观察观察 在小学，我们初步认识了长方形，观察图在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？点呢？图图2-41 这些四边形的四这些四边形的四个角都是直角个角都是直角. 在一个平行四边形中，在一个平行四边形中， 只要有一个角是直角，那只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角么其他三个角都是直角. 我发现这些长我发现这些长方形的对边平行且方形的对边平行且相等，因此，它们相等，因此，它们是平行四边形是平行四边形. 有一个角是直角的平行四边形叫做有一个

2、角是直角的平行四边形叫做矩形矩形，也称为也称为长方形长方形.平行四边形平行四边形矩形矩形有一个角是直角有一个角是直角结论结论 矩形的四个角都是直角，对边相等，矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分对角线互相平分.可以知道：可以知道：结论结论 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心对称中心.由于矩形是平行四边形，因此由于矩形是平行四边形，因此 如图如图2-42，四边形，四边形ABCD为矩形，那么对角为矩形，那么对角线线AC与与DB相等吗？相等吗？动脑筋动脑筋图图2-42图图2-42如图，四边形如图，四边形ABCD是矩形，是矩形，于是有于是有

3、AB=DC， CBA=BCD=90 ， BC=CB.因此因此 CBA BCD. ( (SAS) )从而从而 AC=BD.即矩形的对角线相等即矩形的对角线相等.图图2-42结论结论矩形的对角线相等矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质：由此得到矩形的性质：如图如图2-43，矩形，矩形ABCD的两条对角线的两条对角线AC ，BD相相交于点交于点O，AC = 4 cm， AOB = 60. 求求BC的长的长.举举例例例例1图图2-43解解 ABCD是矩形，是矩形，1=2cm.2OA OBAC从而从而 AOB是等边三角形是等边三角形. AB=OA=2cm.又又AOB = 60， ABC = 90， 在在

4、RtABC中，中，BCACAB.2222422 3(cm)图图2-43解解 ABCD是矩形，是矩形，1=2cm.2OA OBAC从而从而 在纸上画一个矩形在纸上画一个矩形ABCD( (如图如图2-44) )，把它剪下来，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？ 图图2-44做一做做一做 如图，矩形如图，矩形ABCD的对角线相交于点的对角线相交于

5、点O. .BCDAOFE 过点过点O作直线作直线EFBC，且分别与边，且分别与边BC ，AD相交于点相交于点E，F. 由于由于 ，因此，因此OBC是等腰三角是等腰三角形，从而直线形，从而直线EF是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线.11=22OBBDACOC 由于由于ADBC，因此，因此EFAD. 同理，直线同理，直线EF是是线段线段AD的垂直平分线的垂直平分线. 因此点因此点B和点和点C关于直线关于直线EF对称，点对称，点A和点和点D关于关于直线直线EF对称，从而在关于直线对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形的像与它自身重合，因此矩形

6、ABCD是轴对称是轴对称图形，直线图形，直线EF是矩形是矩形ABCD的一条对称轴的一条对称轴.BCDAOFE 类似地，过点类似地，过点O作直线作直线MNAB，且分别与边，且分别与边AB，DC相交于点相交于点M，N，则点，则点M，N分别是边分别是边AB，DC的中点，直线的中点，直线MN是矩形是矩形ABCD的一条对称轴的一条对称轴.BCDAOFEMN结论结论 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴的直线都是矩形的对称轴.由此得到：由此得到：已知矩形的一条对角线的长度为已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的，两条对角线的一个夹角为一个夹角

7、为60，求矩形的各边长，求矩形的各边长.练习练习 1. 答答：矩形的各边长分别为矩形的各边长分别为1cm和和 .3cm2. 如图，四边形如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质为矩形，试利用矩形的性质 说明：直角三角形说明：直角三角形ABC斜边斜边AC上的中线上的中线BO等于等于 斜边的一半斜边的一半.证明证明 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， 从而从而OA=OC ， OB=OD .( (矩形的对角线相等矩形的对角线相等.).)（矩形的对角线互相平分（矩形的对角线互相平分. .）又又 AC=BD， OB=OA=OCAC1=2BD1=2AC.1=2中考中考 试题试题例例 如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，对角线中，对角线AC、B