振动力学单自由度系统自由振动

1、2022-3-14振动力学12022-3-14振动力学2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学3 无阻尼自由振动无阻尼自由振动令令 x 为位移，以质量块的静平衡位置为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，为坐标原点，为静变形为静变形当系统受到初始扰动时，由牛顿第当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：二定律，得： )(xkmgxm kmg 在静平衡位置：在静平衡位置： 固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程 ： 0 kxxm 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k0 x静平衡位置静平衡位置弹簧原长

2、位置弹簧原长位置mk动画动画12022-3-14振动力学4固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程 ： 0 kxxm 令令 ： mk0单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s） 020 xx 则有则有 ： 通解通解 ： )sin()cos()(0201tctctx ：21,cc任意常数，由初始条件决定任意常数，由初始条件决定 )sin(0 tA2221ccA211cctg振幅振幅 ： 初相位初相位 ： 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学50 kxxm mk0020 xx 2221ccA211cctg)sin()cos()(0201tctctx )si

3、n(0 tA单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动xt0A00/2T动画动画22022-3-14振动力学60 kxxm mk0020 xx 2221ccA211cctg系统固有的数值特征系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系何进行振动的方式都毫无关系 ：0不是系统的固有属性的数字特征不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关 ：,A)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA单自由度系统自由振动单自由度系统自由

4、振动2022-3-14振动力学7考虑系统在初始扰动下的自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动 )sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA设设 的初始位移和初始速度为：的初始位移和初始速度为： txx )(xx )()sin()cos(02011bbc )cos()sin(02012bbc 令令 ： )(sin)(cos)(0201 tbtbtx有有 ： xb 102xb 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学8时刻以后的自由振动解为：时刻以后的自由振动解为： txtxtx000sincos零时刻的初始条件：零时刻的初始条件： 0)0(xx 0)

5、0(xx20020 xxA0001xxtg )sin()cos()(00000txtxtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin(0 tA单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学9)sin()cos()(00000txtxtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin(0 tA无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止为振动频率的简谐振动，并且永无休止0初始条件的说明：初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一初始条件是外界能量转入的

6、一种方式，有初始位移即转入了种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入弹性势能，有初始速度即转入了动能了动能单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动xt0A00/2T0 x2022-3-14振动力学10)sin()cos()(00000txtxtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin(0 tA无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止为振动频率的简谐振动，并且永无休止 0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动初始条件：初始条件： 0, 200 xx固有频率从左到右：

7、固有频率从左到右： 0003,2,时间时间位置位置2022-3-14振动力学11固有频率计算的另一种方式：固有频率计算的另一种方式： 0 kxxm mk0kmg 在静平衡位置：在静平衡位置： gmk0则有：则有： 对于不易得到对于不易得到 m 和和 k 的系统，若能测出静变形的系统，若能测出静变形 ，则用该，则用该式计算是较为方便的式计算是较为方便的单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k2022-3-14振动力学12例：例： 提升机系统提升机系统重物重重物重 量量NW51047. 1 钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 cmNk/1078.

8、54重物以重物以 的速度均匀下降的速度均匀下降 min/15mv 求：绳的上端突然被卡住时，求：绳的上端突然被卡住时， （1）重物的振动频率，（）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力）钢丝绳中的最大张力 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv2022-3-14振动力学13解：解：sradWgk/6 .190振动频率振动频率重物匀速下降时处于静平衡位重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置住瞬时重物所在位置 则则 t=0 时，有：时，有： 00 xvx 0)()6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx )sin

9、()cos()(00000txtxtx 振动解：振动解： 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动W静平衡位置静平衡位置kxWv2022-3-14振动力学14)( )6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx 振动解：振动解： 绳中的最大张力等于静张力与因振动引起绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和的动张力之和 ：)(1021. 2 1074. 01047. 1 555maxNkAWkATTs 动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半 由于由于 kmvvkkA0为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度

10、 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv2022-3-14振动力学15例：例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度 EJ求：求：梁的自由振动频率和最大挠度梁的自由振动频率和最大挠度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mh0l/2l/22022-3-14振动力学16解：解：由材料力学由材料力学 ：自由振动频率为自由振动频率为 ： EJmgl483g0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立坐标系坐标系静变形静变形348ml

11、EJmh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置2022-3-14振动力学17撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有： 0 x则自由振动振幅为则自由振动振幅为 ：20020 xxA梁的最大扰度：梁的最大扰度： Amax)sin()cos()(00000txtxtx 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动h22ghx20mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置2022-3-14振动力学18例：圆盘转动例：圆盘转动圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I在圆盘的静平衡位置上任意选一根在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置半径作为角位移的起点位置0kI Ik /0 扭振固

12、有频率扭振固有频率020 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩)/(radmN kkI由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：2022-3-14振动力学19由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振动直线振动的数学描述的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧弹簧质量系统的有关结论完全

13、适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的质量系统是广义的 0 kxxm mk /0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0kI Ik /0 kI0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k2022-3-14振动力学20从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件惯性元件和和弹弹性元件性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢

14、复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0 kxxm mk /00kI Ik /0 kI0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k2022-3-14振动力学21例：复摆例：复摆刚体质量刚体质量 m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量 0I重心重心 C 求：求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程

15、和固有频率 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mg0Ia0C2022-3-14振动力学22解：解：由牛顿定律由牛顿定律 ：0sin0mgaI 因为微振动：因为微振动：sin则有则有 ：00mgaI 00/Imga固有频率固有频率 ：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率 ，则可求出，则可求出 ，再由移轴定理，可，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：得物质绕质心的转动惯量： 00I20maIIc单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mg0Ia0C2022-3-14振动力学23单自由度系统自由振动单

16、自由度系统自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角斜面倾角 300质量质量 m=1kg弹簧刚度弹簧刚度 k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零开始时弹簧无伸长，且速度为零求：求： 系统的运动方程系统的运动方程m300k重力角速度取重力角速度取 9.82022-3-14振动力学24单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：x0以静平衡位置为坐标原点以静平衡位置为坐标原点建立坐标系建立坐标系振动固有频率：振动固有频率：)/(70 1/1049 /20sradmk 振动初始条件：振动初始条件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx

17、考虑方向考虑方向)sin()cos()(00000txtxtx 00 x 初始速度：初始速度：运动方程：运动方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k2022-3-14振动力学25单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学26 能量法能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率统的固有频率无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能

18、T 和势能和势能 V 之和保持不变之和保持不变 ，即：，即：constVT0VTdtd或：或：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学27弹簧质量系统弹簧质量系统 动能：动能：221xmT势能：势能：mgx （重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒为不可能恒为 0 x 0 kxxm 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动kmg 221kxxkmgx221kx0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k零势能点零势能点222121kxxmVT2022-3-14振动力学28如果

19、将坐标原点不是取在系统的静平衡如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置位置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：动能：221xmT 势能：势能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtdmgkxxm 设新坐标设新坐标 kmgxy0 kyym 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动221 kxmgx x0mxk零势能点零势能点y静平衡位置静平衡位置弹簧原长弹簧原长2022-3-14振动力学29考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大能为零，动能达到最大021max2maxma

20、xVxmT最大位移位置，系统动最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大能为零，势能达到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(0tAtxmk /0max0maxxx单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动maxmaxVTmax0max对于转动：对于转动：x 是广义的是广义的0mx静平衡位置静平衡位置k静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk2022-3-14振动力学30例：如图所示是一个倒置的摆例：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量摆球质量 m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 2k求求:(1) 倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微

21、幅振动时的固有频率(2) 摆球摆球 时，测得频率时，测得频率 为为 ， 时，测得频率为时，测得频率为 ，问摆球质量为多少千克时恰，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？使系统处于不稳定平衡状态？ kgm9 . 0fHZ5 . 1kgm8 . 1HZ75. 0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动lmak/2k/22022-3-14振动力学31解法解法1：广义坐标广义坐标动能动能2222121mlIT势能势能maxmaxUTmax0max220mlmglka 零势能位置零势能位置1cos1212122mglakV零势能位置零势能位置1单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动)(21

22、 222mglka22222sin2112121 mglka22)(21 mglka lmak/2k/22022-3-14振动力学32解法解法2：零势能位置零势能位置2动能动能2222121mlIT势能势能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml 0 UTdtd0)(2222mglkaml 220mlmglka 零势能位置零势能位置2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/22022-3-14振动力学33单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动例：均质圆柱例：均质

23、圆柱质量质量m，半径，半径R与地面纯滚动与地面纯滚动在在A、B点挂有弹簧点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB2022-3-14振动力学34单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1abRk1k2k2AB广义坐标：圆柱微转角广义坐标：圆柱微转角圆柱做一般运动，由柯希圆柱做一般运动，由柯希尼定理，动能：尼定理，动能：22)23(21mRT C点为运动瞬心点为运动瞬心势能：势能：CA点速度：点速度：)(aRvAB点速度：点速度：)(bRvB)(aRxA)(bRxB222221)(2(21)(2(21bRkaRkU2022-3-14振动力学35

24、单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1abRk1k2k2AB动能：动能：22)23(21mRT 势能：势能：C222221)(2(21)(2(21bRkaRkUmax0maxmaxmax,UT)1 ()1 (342/3)()( 222212222120RbkRakmmRbRkaRk)1 ()1 (3422210RbkRakm2022-3-14振动力学36单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1Rk2M m 例：例：铅垂平面内一个滑轮铅垂平面内一个滑轮- -质量质量- -弹簧系统弹簧系统确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率滑轮为匀质圆柱滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸，

25、绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。端与地面固结。 2022-3-14振动力学37单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x动能：动能：x2222)2)(21(21)21(2121RxMRxMxmT2)8141(21xMMm2)83(21xMm2122)21(2121xkxkU势能：势能：212)41(21xkk 2022-3-14振动力学38单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x动能：动

26、能：x2)83(21xMmT势能：势能：212)41(21xkkUmMkk83822120max0maxmaxmax,xxUTmMkk83822102022-3-14振动力学39单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学40 瑞利法瑞利法 利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mkx0 这种简

27、化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高2022-3-14振动力学41例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能: 221xmTtt 系统最大动能：系统最大动能： 2max2maxmax2121xmxmTt系统最大势能：系统最大势能： 2maxmax21kxVmax0maxxxtmmk 0若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 tm0单自由度系统自由振动单

28、自由度系统自由振动2max)(21xmmttm弹簧等效质量弹簧等效质量 mtmkx0因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限2022-3-14振动力学42单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学43 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式： 221xMTe 221xKVe 当当 、 分别取最大值时：分别取最大值时：x x则可得出：则可得出： maxTT maxVV eeMK /0 Ke：简化系统的等效刚度：

29、简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学44动能动能2221mlT 势能势能220mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动零势能位置零势能位置1lmak/2k/22022-3-14振动力学45单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1abRk1k2k2AB动能动能势能势能22)23(21mRT 223mRMe22221)(2()(2(21bR

30、kaRkU2221)(2()(2(bRkaRkKe2/3)()( 22222120mRbRkaRk2022-3-14振动力学46单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1Rk2M m x动能动能势能势能2)83(21xMmT212)41(21xkkUmMkk83822120MmMe831241kkKe2022-3-14振动力学47方法方法2：定义法：定义法等效刚度：等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度等效刚度等效质量：等效质量：使系统在选定的坐

31、标上产生单位加速度而需要在使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量的等效质量 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学48例：串联系统例：串联系统11kP22kP总变形：总变形： Pkk)11(21212121kkkkPKe 21111kkKe 在质量块上施加力在质量块上施加力 P弹簧弹簧1变形：变形： 弹簧弹簧2变形：变形： 根据定义：根据定义： 或或 P mk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的

32、坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度2022-3-14振动力学49例：并联系统例：并联系统两弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等：受力不等：受力不等：11kP 22kP 在质量块上施加力在质量块上施加力 P由力平衡：由力平衡：)(2121kkPPP 根据定义：根据定义：21kkPKe 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和 P mk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在

33、此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度2022-3-14振动力学50例：杠杆系统例：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体杠杆是不计质量的刚体求：求：系统对于坐标系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度的等效质量和等效刚度 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1k2m1m2l1l2l3x2022-3-14振动力学51解法解法1：能量法：能量法动能：动能：212221)(2121xllmxmT 势能：势能：213221)(2121xllkxkV221221mllmMe 221231kllkKe eeMK /0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振

34、动2221221)(21xmllm2221231)(21xkllk 等效质量：等效质量：等效刚度：等效刚度：固有频率：固有频率：k1k2m1m2l1l2l3x2022-3-14振动力学52解法解法2：定义法：定义法设使系统在设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力方向产生单位加速度需要施加力P2122111)() 1(lllmlmPl 221221mllmPMe 设使系统在设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力坐标上产生单位位移需要施加力P3132111)() 1(lllklkPl 221231kllkPKe 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动则在则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩

35、：上产生惯性力，对支座取矩： 则在则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：处将产生弹性恢复力，对支点取矩： P122llm 11m1x 11k132llk P1xk1k2m1m2l1l2l3x2022-3-14振动力学53单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学54 阻尼自由振动阻尼自由振动 最常用的一种阻尼力学模型是最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼粘性阻尼例如：在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常例如：在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼就认为受到粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 实际系统的机械能不可能守恒，

36、存在各种各样的阻力实际系统的机械能不可能守恒，存在各种各样的阻力 振动中将阻力称为阻尼：摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻振动中将阻力称为阻尼：摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼尼和结构阻尼 尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定系统中阻尼的物理本质仍然极难确定2022-3-14振动力学55粘性阻尼力与相对速度称正比，即：粘性阻尼力与相对速度称正比，即： cvPdc：为粘性阻尼系数，或阻尼系数：为粘性阻尼系数，或阻尼系数 msN/单位：单位：0kxxcxm 动力学方程：动力学方程：02200 xxx 或写为：

37、或写为：mk0kmc2固有频率固有频率相对阻尼系数相对阻尼系数 mkc单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动建立平衡位置，并受力分析建立平衡位置，并受力分析mxcxm x0kx02mc2022-3-14振动力学56动力学方程：动力学方程：02200 xxx mk0kmc2令：令：tex特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 三种情况：三种情况：111欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学57第一种情况：第一种情况：1欠阻尼欠阻尼动力学方程：动力学方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：0220

38、02特征根：特征根：12002, 1 di02, 1特征根：特征根：201d阻尼固有频率阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率有阻尼的自由振动频率 )sincos()(210tctcetxddt振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动两个复数根两个复数根2022-3-14振动力学581欠阻尼欠阻尼)sincos()(210tctcetxddt振动解：振动解：设初始条件：设初始条件：0)0(xx0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt则：则：)sin()(0tAetxdt或：或：200020)(dxxxA00001xxxt

39、gd单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学591欠阻尼欠阻尼振动解：振动解：201d阻尼固有频率阻尼固有频率阻尼自由振动周期：阻尼自由振动周期：ddT2T0：无阻尼自由振动的周期：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2012201T)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt2022-3-14振动力学60tAe0tAe0dTt)(txAA01欠阻尼欠阻尼响应图形响应图形单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动振动解：振动解：)

40、sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动=0 1时间时间位置位置2022-3-14振动力学611欠阻尼欠阻尼响应图形响应图形单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动振动解：振动解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动1 =0 tAe0tAe0dTt)(txAA0动画动画32022-3-14振动力学62不同阻尼，振动衰减的快慢不同不同阻尼，振动衰减的快慢不同单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动不同阻尼

41、大小的振动衰减情况不同阻尼大小的振动衰减情况：阻尼小：阻尼小：阻尼大：阻尼大阻尼大，则振动衰减快阻尼大，则振动衰减快阻尼小，则衰减慢阻尼小，则衰减慢动画动画42022-3-14振动力学63评价阻尼对振幅衰减快慢的影响评价阻尼对振幅衰减快慢的影响1ii与与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为无关，任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为衰减振动的频率为 ，振幅衰减的快慢取决于，振幅衰减的快慢取决于 ，这两个重要的特，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部征反映在特征方程的特征根的实部和虚部 d0di02, 1减幅系数减幅系数单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动定义为相邻两个振幅

42、的比值：定义为相邻两个振幅的比值： )(00diiTttAeAedTe0)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddttAe0tAe0dTt)(txAA02022-3-14振动力学64ddiiTTttiieAeAe000 )(1减幅系数：减幅系数：含有指数项，不便于工程应用含有指数项，不便于工程应用实际中常采用实际中常采用对数衰减率对数衰减率 ：diiT01lnln单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动tAe0tAe0dTt)(txAA02022-3-14振动力学65实验求解实验求解利用相隔利用相隔 j 个周期的两个个周期的两个峰值峰值 进行求解进行求解jiij

43、iijln1得：得：20012diiT01lnln20122 ddT当当 较小时（较小时（ ） 2 . 02单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动)()(1211jijiiiiij2 dTiie01212tAe0tAe0dTt)(txAA02022-3-14振动力学66第二种情况：第二种情况：1 过阻尼过阻尼动力学方程：动力学方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 *02, 1 特征根：特征根：120* 两个不等的负实根两个不等的负实根 振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定)()(*2*10tshctchcetxt单自由度

44、系统自由振动单自由度系统自由振动2xxeeshx2xxeechx2022-3-14振动力学671 过阻尼过阻尼振动解：振动解：设初始条件：设初始条件：0)0(xx0)0(xx则：则：)()(*2*10tshctchcetxt)()(*000*00tshxxtchxetxt一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动响应图形响应图形)(tx0 xt02022-3-14振动力学68第三种情况：第三种情况：1 临界阻尼临界阻尼动力学方程：动力学方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根

45、：12002, 1 02, 1 特征根：特征根：二重根二重根振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定)()(210tccetxt单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学69振动解：振动解：)()(210tccetxt1 临界阻尼临界阻尼0)0(xx0)0(xx则：则：也是按指数规律衰减的也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻非周期运动，但比过阻尼衰减快些尼衰减快些 )()(00000txxxetxt kmc2临界阻尼系数临界阻尼系数crckmccr2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动设初始条件：设初始条件：响应图形响应图形)(tx0 xt0202

46、2-3-14振动力学70tx(t)2 . 014 . 1临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：三种阻尼情况比较：111欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 2022-3-14振动力学71小结：小结：0kxxcxm 动力学方程动力学方程1欠阻尼欠阻尼1过阻尼过阻尼1临界阻尼临界阻尼)sincos()(00000txxtxetxdddt201d

47、)()(*000*00tshxxtchxetxt120* 按指数规律衰减的非周期蠕动按指数规律衰减的非周期蠕动 )()(00000txxxetxt kmccr2按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快 振幅衰减振动振幅衰减振动2022-3-14振动力学72例：阻尼缓冲器例：阻尼缓冲器静载荷静载荷 P 去除后质量块越过去除后质量块越过平衡位置的位移为初始位移平衡位置的位移为初始位移的的 10 求：求：缓冲器的相对阻尼系数缓冲器的相对阻尼系数 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置2022-3-14振动力学73解：解：

48、由题知由题知 0)0(x 设设0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt求导求导 ：textxdtdsin)(0020设在时刻设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为： 0sin)(102010textxdtddt1即经过半个周期后出现第一个振幅即经过半个周期后出现第一个振幅 x121010011)(exextxxt单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置2022-3-14振动力学74由题知由题知 %102101exx解得：解得：59. 021010011)(exextxxt单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-14振动力学75例：例：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动刚杆质量不计刚杆质量不计求：求：（1）写出运动微分方程）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量小球质量