统计热力学复习题附参考答案

1、第三章统计热力学复习题及答案1混合晶体是由晶格点阵中随机放置 NC个 C 分子和 D 分子组成的。11（1） 证明分子能够占据格点的花样为W( NCN D )!，若 NCN D1 N ，利用斯特林公式证明W2 NN C ! N D !2（2） 若 N CN D2，利用上式计算得W2 4 =16，但实际上只能排出 6 种花样，究竟何者正确？为什么？解：（1）证明：取(N CN D )的全排列，则总共排列的花样数为( NCN D )! 种，现NC个相同的 C 和N个相同的 D。故花样数为W( N CN D )!1CD当 NNN 时D取自然对数：NC ! N D !2（2）实际排出 6 种花样是正确

2、的，因为Stirling是一个近似公式适用于 N 很大时才误差较小。而在 N4为 4 时，用W2 来计算就会产生较大误差。2（1）设有三个穿绿色、两个穿灰色和一个穿蓝色制服得军人一起列队，试问有多少种对型？现设穿 绿色制服得可有三种肩章并任取其中一种佩带，穿灰色制服的可有两种肩章，而穿蓝色的可有两种肩章，试 列出求算队型数目的公式。（2） 试证明含有 N 个粒子的定位体系，某种分布-度）t x 的微观状态数为txN igN!iNi !（gI 为相应的简并.答：（1）取6 个不同的全排列，应有 6！种花样，但其中3 种完全相同互换位置不能导致新花样另两种完全相同（同样这 2 种相同物种的全排列为

3、 2！种）故排列花样数为：W6!3!2!1!654326032121种，t iN!T! N i !另一种只有一种这 3 种的全排列为 3！种，取6 个不同的全排列总共有 6！种花样，而i穿绿色制服 3 个人有 3 种肩章，任取一种佩带，相当于有简并度为 5（ g N ）。就有 33 种花样。穿灰gi的有两种肩章相当于简并度为 2，就有22种而穿蓝色的有 4 种肩章相当于简并度为N4 就有 41 种，但其中有3 个穿绿色制服的戴相同肩章，总共有3！种花样， 2 个穿灰色的戴相同肩章有2！种6!33 22 413!2!1!60274425920t xN!Ni igNi !N1（2） 在 N 个不同

4、粒子中取出 N1 个粒子放在1中，其放法为C N 种。在1 能级上有 g1 个不同状态，故在上总共有 g N1 C N1 种放法，同理在从（N-N1）中取出 N2 个粒子放在上的放法为g N2 C N 2种1 1N2 2N N1放法。所以这种分布的微观状态数：3. 在公园的猴舍中陈列着三个金丝猴和两种长臂猿，金丝猴有红、绿两种帽子，仍戴一种，而长臂猿可在黄、灰和黑中选戴一种，试问陈列时间可出现几种不同的情况，并列出求算公式。解：设 N1=3，N2=2，而 g1=2，g2=3 则W( N 1g11)!( N 2g21)!(321)!( 231)!24N 1! (g 1种，1)!N 2! ( g

5、21)!3! (21)!2! (31)!因为每一种动物必须戴：三个金丝猴：（红、红、红）（绿、绿、绿）（红、红、绿）（绿、绿、红）共4 种。两种长臂猿：（黑、黑）（灰、灰）（黄、黄）（黑、灰）（黄、灰）（黑、黄）。共 6 种。总共为4624种。4. 已知对非定位体系(U ,V , N )1N!N!N i NN i i UNigiN i !试证明式（3.24），（3.25）和（3.26）。解：对定位体系：ti(N!NigiNi !) （第二题的结果）对非定位体系：t1iN!g Ni(N!N igi)Ni !NigiNi !摘取最大项原理： tmN!ig N iiNi !（定位体系）对非定位体系：

6、 tmiNi !ln tln g Niln( Ni ! )Ni ln giNi ln NiNi微分：ln t N iln g iln NiN iln N iNi1ln g il ln NVln gi N i用拉格朗日乘因子法，求得：（书中 189 页）ln tN*iiNgVgV*iNNNige0，即 ln*i0，*e，iiii*iie，Nigi egi eiN，eg i eN ，N*iigi e eNgi eiiikTN gi eN *i，iigi e kT与定位体系的玻兹曼分布公式相同ln tmgNilnigV eln NiNV ln gigi ekTNNi ln Nigi eNiikTgi

7、Ni lnN(NiN) NiNi ln(gi)NiNi lnig i e kTNiNi lnigi e kTNi ln( NeikT )NkTNgi eiNe kTln(g i eikT ) Ngv ekTNi ln NiNi ln e kTNln(gi eikT ) NNvln N!kTln(g i eikT ) Nln N!U(gi elnikT ) NUkTN!kTS非k lnk ln tm(k lngveikT )NUN!TF 非UTSU(kT lngv eikT ) NU(kT lngveikT ) NN!N!5. 试证明玻兹曼分布的微观状态数公式为 ln tUln( q NekT

8、) 式中qg Nig i exp(ii ) ，U kTNii证：利用定位体系任意分配方式公式： tN!即定位体系）iNi !（玻兹曼统计是指经典统计认为粒子是可区别的，取自然对数： ln tln N!ln g Niln Ni !i对最概然分布：6. 设有一圆柱形铁皮筒，体积为 V0R2 L1.00dm3 铁皮面积为 S2 R 22 RL ，试用拉格朗日乘因子法当铁皮面积为最小时，圆柱半径（ R）和高（ L）之间的关系？并算出至少要消耗多少面积的铁皮？不讨论（可自己求解）解：L1R 22S2 R222 RL2 R( R2R L1RL1 ) R1极值时： dSdR4 R20 R24 R 320R3

9、24R( 2 ) 34L2R（圆柱半径 R 与高之间的关系）设： f ( R, L)2 R 22 RL ， g ( R, L )R 2 LF (R, L,)1，f ( R, L)g( R, L)l( F ) RF() RL4 R22 RL2 RL0R 20（1）（2）2 R22 RL( R2L1)F() RLR2 L10（3）由（2）2 RR 20R(2R)0R2（4）（4）代入（1）， 4 R2 L2 R(2)0 ，6 R2 L0L2R由V0R2 LR2 (2 R)2 R 31R3120.5427. 试用配分函数表示出单原子理想气体的吉布斯自由能 G 和焓 H。答：理想气体为非定位体系：对单

10、元子分子，只有电子核和平动配分函数。NNFkT ln q N!NqkT lntN!kT ln q NenkT ln q N ，GUPVTSFPV ，FP()T NVNkT (ln qt)TV， （N ！为常数。q e ,q n 与体积无关）HUPV ，FVNFUTS ，SFU T( F ) TU()TV NTT 2吉布斯亥姆霍兹公式C p8. CO2 气体可作为理想气体，并设其各个自由度都服从经典的能量均分原理，已知计算方法判断 CO2 是否为线性分子。1.15 试用CvCp m解：由Cv m1.15Cv mR Cv m1.15（第一章中讨论到理想气体C p mCv mR ）Cv mR1.15

11、C v.m .0.15C v mR .Cv m113RR0.152设：若CO2 为线性分子，补：平动有3 个自由度。根据其总自由度为3n。振动自由度应为3n3233324 。 由于一个振动的能量中的表达式中包括 2 个平方项（83 页 小字部分），振动的动能和振动的位能，每个平方项都提供1 kT2的能量（若为 1mol。则为 1 kT2）若一个分子有七个平动自由度， r 个 转动自由度。 S 个振动自由度。 则： 总能量1 (tr22s)kT ，UCv() T1 (tr22 s)k 。若 CO2 为线性分子Cv m1 tr 22(3ntr ) R1 3222(3332) R13 R .2与原来

12、题中给的条件求出的Cv m 一致。故假设正确，CO2 是直线型分子。9. 四种分子的有关参数如下：分子Mtr/kv/kH2287.55976HBr8112.23682N2282.893353Cl2710.35801问在同温同压下，那种气体的摩尔平动熵最大？那种气体的摩尔转动熵最大？那种气体的转动基本频率最小？解：先写出平动熵，转动熵及振动特征温度的表达式：tStNkln q N5Nkln (223mkT) 25Nh3V233（沙克尔特鲁德公式）(qt( 2 mkT ) 2V3h2( 2 mkT) 23V(2 mkT) 2Vh3( h2 ) 23t( 2 mkT ) 25SmRln3LhVm （

13、物质量为 1mol. N2L.LkRVVm ）由公式可见，粒子的质量 m 越大，平动熵则越大，所以 HBr 的摩尔熵最大。NS非k ln q N!rNkT (ln q)V NTNk ln qln qrk ln N!NkT (82 IkTln q)V NTln 822 IkThNk ln qk ln N!NkT () V NT8Nk lnh22Ikk ln N!NkT ()V NTrS 非Nk ln 82IkT2k ln N!NkT (lnh 2ln T)V NNk ln 82 IkT2k ln N! NkhThNk lnTk ln N! NkH r82 IkT(双原子分子： qr)h 2rS

14、非mk ln q rkk(6.021023 ) ln NNkk ln qrkk ln Lkk(ln qrhln L2)H r k说明转动特征温度越小， Sr 非m 越大，所以 Q2 的Sr非m 最大。H rkh所以振动特征温度越小，越小，所以 CO2 的振动基本频率最小。10. 请定性说明下列各种气体，为什么在不同温度下的 Cv，m 值不等，找出其中的变化规律。298.158002000He12.4812.4812.48N220.8123.1227.68Cl225.5328.8929.99CO228.8143.1152.02e解：因为在常温下（表中 298.15），不考虑振动和电子配分函数，在

15、较高温度（表中 800K）下，振动配分函数有贡献。但电子配分函数的贡献为零。在更高温度下（表中 2000K）。振动和电子配分函数均会有贡献，故不同温度下 Cvm 不同。但表中 He 是单原子分子，并且最外层电子全配对，在任何温度下振动和电子配分函数均无贡献。故三个温度下的Cv，m 值相等。q2 j1 （ j0 ，因为He的电子全配对。）卫生管理制度1总则1.1为了加强公司的环境卫生管理，创造一个整洁、文明、温馨的购物、办公环境，根据公共场所卫生管理条例的要求，特制定本制度。1.2集团公司的卫生管理部门设在企管部，并负责将集团公司的卫生区域详细划分到各部室，各分公司所辖区域卫生由分公司客服部负责

16、划分，确保无遗漏。2卫生标准2.1室内卫生标准2.1.1地面、墙面：无灰尘、无纸屑、无痰迹、无泡泡糖等粘合物、无积水，墙角无灰吊、无蜘蛛网。2.1.2门、窗、玻璃、镜子、柱子、电梯、楼梯、灯具等，做到明亮、无灰尘、无污迹、无粘合物，特别是玻璃，要求两面明亮。2.1.3柜台、货架：清洁干净，货架、柜台底层及周围无乱堆乱放现象、无灰尘、无粘合物，货架顶部、背部和底部干净，不存放杂物和私人物品。2.1.4购物车（筐）、直接接触食品的售货工具（包括刀、叉等） ：做到内外洁净，无污垢和粘合物等。购物车（筐）要求每天营业前简单清理，周五全面清理消毒；售货工具要求每天消毒，并做好记录。2.1.5商品及包装：

17、商品及外包装清洁无灰尘（外包装破损的或破旧的不得陈列）。2.1.6收款台、服务台、办公橱、存包柜：保持清洁、无灰尘，台面和侧面无灰尘、无灰吊和蜘蛛网。桌面上不得乱贴、乱画、乱堆放物品，用具摆放有序且干净，除当班的购物小票收款联外，其它单据不得存放在桌面上。2.1.7垃圾桶：桶内外干净，要求营业时间随时清理，不得溢出，每天下班前彻底清理，不得留有垃圾过夜。2.1.8窗帘：定期进行清理，要求干净、无污渍。2.1.9吊饰：屋顶的吊饰要求无灰尘、无蜘蛛网，短期内不适用的吊饰及时清理彻底。2.1.10内、外仓库：半年彻底清理一次，无垃圾、无积尘、无蜘蛛网等。2.1.11室内其他附属物及工作用具均以整洁为准，要求无灰尘、无粘合物等污垢。2.2室外卫生标准2.2.1门前卫生：地面每天班前清理，平时每一小时清理一次，每周四营业结束后有条件的用水冲洗地面（冬季可根据情况适当清理） ，墙面干净且无乱贴乱画。2.2.2院落卫生：院内地面卫生全天保洁，果皮箱、消防器械、护栏及配电箱等设施每周清理干净。垃圾池周边卫生清理彻底，不得有垃圾溢出。2.2.3绿化区卫生：做到无杂物、无纸屑