不等式的证明测试题及答案

1、不等式的证明班级姓名、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)411、1.若a>0,b>0,贝U(a+b)(+)的最小值是ab2.3.4.A. 2B. 2、, 2C. 4,2D. 4分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的A.必要条件C.充要条件设a、b为正数，且11A. - - ： 1a bB.充分条件D.必要或充分条件a+ b<4,则下列各式中正确的一个是11C. - - ： 2ab已知a、b均大于1,且log aC log bC=4,则下列各式中，一定正确的是A. ac> bB. ab>cC. bc>aD. ab< c5

2、.设 a= 42 , b= <7 -<3 , c = <6J2,则a、b、c间的大小关系是6.A. a>b>cB. b>a>c已知a、b、m为正实数，则不等式C. b>c>a a m a b m bD.a>c>bA.当a< b时成立B.当a> b时成立C.是否成立与m无关D. 一定成立A.P>QB.PWQC.P>QD.P<Q已知a>b且a+b<0,则下列不等式成立的是A.ad1ba.B1bC.ad1bD.-<1b8.设a、b为正实数,P=aabb,Q=abba,则P、Q的大小关系是

3、设x为实数，P=ex+e-x,Q=(sinx+cosx)2,则P、Q之间的大小关系是7.9.A.P>QB.PWQC.P=QD.不能确定10 .甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若n,则甲、乙两人到达指定地点的情况是()A.甲先到B.乙先到C.甲乙同时到D.不能确定题号12345678910答案、填空题11 .若实数x,y,z满足x+2y+3z=a(a为常数)，贝Ux2+y2+z2的最小值为1212 .函数f(x)=3x+(x>0)的最小值为。x13 .使不等式a2>b2

4、,a>1,lg(a-b)>0,2a>2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是b14 .建造一个容积为8n3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为元.三、解答题15 .(1)若a、b、c都是正数，且a+b+c=1,求证：(1-a)(1-b)(1-c)>8abc.(2)已知实数a,b,c满足aAb>c,且有a+b+c=1,a2+b2+c2=1-4求证：1；a,b：二一31.t1.16.设a>0,a#1,t>0,试比较-logat与loga的大小.（12分）2.22.abcabc17. (1)求证

5、：*>,33(2)已知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，求证：a2+b2+c2a(ab+c)218. (1)已知x2=a2+b2,y2=c2+d2,且所有字母均为正，求证：xy>ac+bd.(2)已知x,y,zwR,且x+y+z=8,x2+y2+z2=244_4_4一求证：一一x_3,y-3,z-333319.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm,画面的宽与高的比为入(入1),画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？1a20.数列xn由下列条件确定：x1=aA0,xn书=一(xn+工nwN.2xn(I)证

6、明：对n>2,总有xn>(n)证明：对n>2,总有xn>xn+.参考答案.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案DBBBDAACAA二.填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）211.12.913.a>b>114,176014三、解答题（本大题共6题，共76分）15. （12分）证明:因为a、b、c都是正数,且a+b+c=1,所以（1为）（16）（1c）=（b+c）（a+c）（a+b）>2A/bc-2'ac-2Vab=8abc.16. (12分)解析：l0gaT0gan=l0gaT t A0,t +

7、1 >2v?(当且仅当t=1时时等号成立）t 12，t 一(1), t 1当 t=1 时，log a = log2adt(2)当 t01 时,a若aA1,则loga=>0,loga2tt-1石0<a<1,则loga尸<0,loga2.t17. (12分)证明:左一右=2 (ab+bc-ac)b, c成等比数列，b2=aca c:二 a -c又;a,b,c都是正数，所以0<b=<ac<22、-2(abbc-ac)=2(abbc-b)=2b(a'cb)0:a2-b2-c2(a-bc)218. (12分)证法一：(分析法)a,b,c,d,x,y

8、都是正数：要证：xy>ac+bd只需证：(xy)2>(ac+bd)2即：(a2+b2)(c2+d)>a2c2+b2d2+2abcd展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2>a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c22abcd由基本不等式，显然成立-xy>ac+bd证法二：(综合法)xy=Ja2+b2Jc2+d2=Ya2c2+b2c2+a2d2+b2d2)a2c22abcdb2d2=(acbd)2=acbd证法三：(三角代换法)x2=a2+b2,;不妨设a=xsin：,b=xcos：y2=c2+d2c=ysin:,d=ycos-ac+bd=xysin

9、osinP+xycosocosR=xycos(a_p)<xy19. (14分)解析:设画面高为xcm,宽为xxcm贝1JKx2=4840.设纸张面积为S,有S=(x+16)(Zx+10)=九x2+(16九+10)x+160,S=5000+44.10(.5).%/-555当86=a，即九=5（5<i）时Sa得最小值.887此时，ra：x_4840=88cm,范：入x=9父88=55cm,8答：画面高为88cm,宽为55cm时，能使所用纸张面积最小.20. （14分）（I）证明：由Xi=aA0,&xn+=1（xn+亘）,可归纳证明xn>0（没有证明过程不扣分）n2'

10、;Xn,所以，当n之2时,x之Ji成立.从而有1,a,aXn1(Xn)一Xna(a'N).2XnXn(H)证法一：当n之2时，因为Xn之4a>0,Xn+(Xn+且)2Xn2所以xn+-Xn=-(xn+)-Xn=-a_也<0,故当n22时,Xn之Xn成立.2 Xn2Xn证法一.当n：二2时，因为xa/aK0,xn1=1(xn)2Xn1/.a、(x)所以x二2nXnxnXnxn+a；+x；c2c22xn2n=1故当n之20f,XnXn+成立.2.证明：；'(121212)(a2b2c2)_(abc)2a2b2c2(abc)23 一9a2b2c2abc33222(ab)-(ab)24.证明：.ab=1-c,ab=c-c2a,b是方程x2(ic)x+c2c=0的两个不等实根,2 21.则>=(1一c)一4(c一c)A0,得一一<c<13而(c-a)(cb)=c2-(ab)cab02即c-(1-c)c+c