数理统计考研复试题库及答案

1、精品文档2（ 1）未知函数 u 的导数最高阶为 2， u ,u ,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。（ 2）为 y 最高阶导数为1，而 y 2 为二次，故它是一阶非线性常微分方程。（ 3）果 y 是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x 看着未知函数，它是一阶非线性方程。3. 提示：所满足的方程为y 2 y +y=04 直接代入方程，并计算Jacobi 行列式。5.方程变形为 dy=2xdx=d(x2 ),故 y= x 2 +C6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。7 把微分方程的通解用初等函数或通过它们

2、的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。8 y f(x,y) 主要特征是 f(x,y) 能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含 y，而方程 p(x,y)dx+q(x,y)dy=0 是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y) 一样， p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。9（ 1）积分得 x=-cosx+c（ 2）将方程变形为 x 2y 2 dy=(y-1)dx 或 y 2 dx ，当 xy 0,y1 时积分得y - 1x2x2 y+lny 1 +

3、 1=c2x(3) 方程变形为dy cos x dx, 当 y -1,sinx 0 时积分得1ysin xy=Csinx-1(4) 方程变形为exp(y)dy=exp(2x)dx, 积分得1exp(y) exp(2x) C2(5)当 yy11 时，求得通积分 ln=x+cy1222x 21 y 2(6)方程化为 x ydx=(1- y)(1+x)dx 或1x 2 dx=ydy,积分得x arctgx lny +1y 2 =C2.精品文档20 时，方程变形得(7) 当 x(y -1)x21ydy=0xdx+2y1两边积分并化简得y21Cexp(-x2x2)10.二元函数 f(x,y) 满足 f(

4、rx,ry)=rm f(x,y),r.>0, 则称 f(x,y) 为 m 次齐次函数。 m=0则称它为 0 次齐次函数。11如果 f(x,y) 是 0次齐次函数，则 y f(x,y) 称为齐次方程。如果 p(x,y) 和 q(x,y) 同为 m 次齐次函数，则 pdx+qdy=0 为齐次方程。如果 q 0 则 dy p(x, y)f(x,y) ，由 p,q 为 m 次齐次函数推知f(x,y) 为 0次齐次函数故dxq(x, y)y f(x,y) 为齐次方程。12 求解齐次方程经常用变换y=zx. 用函数乘积导数的公式得dy=x dz zdxdxdy =x dz z,将方程化为13 这是齐

5、次方程。令 y=zx,dxdxdz=2z, 并 即 xdzzz3(z21) dzdx积 分 得z+xz2dx1分离变量得z(z21)xdx1z2ln|n|+ln(z2x( z21)用 z=yx 代入得原来的变量。x2 y2Cy.+2)-ln|z|=ln|C|, 或 Cz注意 y=0 方程的解。14（1）当 x 0 时，方程化为 dy =1 2y 令 y=ux, 则原方程化为x du =1+u, 当 1+u 0dxxdx时 ,可分离变量得 u+1=cx:; 通解为 y=cx 2 +x（2）作变换 y=ux, 则原方程化为2udu= dx 于是 u 2 =ln|x|+C, 代回原变量， 得通积分：

6、xy 2 x 2 （ ln|x|+C ）15. 这是齐次方程。令y=zx 原方程化为.精品文档 1u2du= dx 两边积分得1 ln|z|=ln|cx|u3x2z2用 z=y 代入得x1 x 2y= c exp(2y2)y=0 也是原方程的解。16.变形为 dy =x+y，令 y=ux 得2u2= dx 积分得 -ln|1-u 2 |=ln|x|-c, 代原变量得dx2 y2x1 ux通积分 x 2- y2=cx17. 方程右边分子，分母两条直线交点为（x 0, y 0 ）=(-2,1) 作变换 u=x+2,v=y-1, 原方程化为dv 2v u du 2u v，此为齐次方程， 令 v=uz,经简单计算得2zduz1Cz21dz=,积分得( z1) 3 u 3u原方程通积分为y=x+c(x+y+1) 3+318 1920 27.精品文档.精品文档28 3738 44.精品文档.精品文档45 4950 56.精品文档57 6263 68.精品文档69