专升本高等数学(二)分类模拟求导数的方法

1、专升本（国家）考试密押题库与答案解析专升本高等数学（二）分类模拟求导数的方法专升本（国家）考试密押题库与答案解析专升本高等数学（二）分类模拟求导数的方法专升本高等数学（二）分类模拟求导数的方法一、填空题求下列函数的导数.1 .;答案：2 .；答案：；3 .y=3xlnx（cosx+sinx）;答案:y'=3（lnx+1）（cosx+sinx）+3xlnx（cosx-sinx）1.1.答案：.求下列函数的二阶导数.5. y=x4-5x3+3x-15;答案:y"=12x2-30x6. ；答案：7. y=(1+x2)arctanx答案：8. y=e-xcos2x答案:y"

2、=-e-x（cos2x+2sin2x）求下列函数的导数（a,3,。都是常数）.9. y=lntanx;答案：；10. ;答案：；11. ；答案：；12. y=e-atsin（wt+（）.答案：e-at-asin（wt+4）+3cos（3t+4）.二、解答题问题:1.设f(x),g(x)可导，f2(x)+g2(x)w0,求函数的导数.答案:转化为隐函数y2=f2(x)+g2(x),两边求导得2yy'=2f(x)f(x)+2g(x)g'(x)y'=f(x)f(x)+g(x)g'(x)=问题:2.设f(x)可导，求函数y=f(sin2x)+f(cos2x)的导数.案:

3、y'=f(sin2x)2sinxcosx-f(cos2x)2cosxsinx=f(sin2x)sin2x-f(cos2x)sin2x=(f(sin2x)-f(cos2x)sin2x问题:3.求y=x科的n阶导数.答案:(x)(n)=-1)&(2)(-n+1)x-n问题:4.求的n阶导数.答案：由数学归纳法可知问题:5.(a>0,b>0),求导数.答案:取对数得两边对x求导得问题:6.设函数y=y(x)由方程确定，求微分dy.答案:两边对x求导得注意：(xy2)丰y2,要用求导乘法法则和复合函数求导法则，正确的是(xy2)'=x'y2+x(y2)

4、9;=y2+2xyy'问题:7.对于任意的x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)即,)=1,试证明：当xO时，恒有.答案:证明因为f(1x)=f(1)+f(x)f(1)=0以又因为而f(x(1+Ax)=f(x+xAx)=f(x)+f(1+Ax)则f(x+x-f(谢f(1+Ax)所以即另一种证明形式如下.证明问题:8.试证在x=0处连续但不可导.答案:先证连续：因为，且f(0)=0,所以f(x)在x=0处连续.再证明f(x)在x=0处不可导.因为，所以不可导.问题:9.已知函数，求f(1),f"(1).答案：因为，所以.因为，所以f"(1)=0.问题：

5、10.y=x3lnx,求y(n).答案:y'=3x2lnx+x2,y"=6xlnx+5x,y"'=6lnx+11y(4)=6x-1,y(5)=-6x-2,y(6)=-6-2)x-3y(7)=-6-2)(-3)x-4y(n)=-6-2)(-3)-n+4)x-n+3=(-1)n-46x(i-4)!x3-n问题:11.设参数方程，求.答案：问题：12.求由参数方程所给定的函数y=f(x)的导数.答案：专升本(国家)考试密押题库与答案解析专升本高等数学(二)分类模拟求导数的方法问题:13.求由所确定的隐函数y对x的导数.答案:两边对x求导得eyy'+cosx

6、=0,所以.问题:14.已知，试求f(0),f(1).答案：当xjn,nCN时，取对数得lnf(x)=lnx+ln(x+1)+ln(x+2)+ln(x+100)求导得从而当x=0时，不能用上面公式求导.由导数定义式，得问题:15. 若 f(x)=ln(1+x),y=ff(x),求.答案：由于 f(x)=ln(1+x)y=ff(x)=f(ln(1+x)=ln(1+ln(1+x)问题：16.已知f(x)=ex,g(x)=sinx,且y=f(g'(x),求.答案：由于g'(x)=cosx,y=fg'(x)=f(cosx)=ecosx问题：17.已知f(x)=2x,g(x)=x

7、2,求fg'(x).答案：因为f(x)=2xln2,g'(x)=2x,所以f(g'(x)=2g'(x)ln2=22xln2=4xln2问题:18.已知，f(x).答案：，令x2=t,得，即.问题：19.已知f(4x+1)=e2x,f(lnx).答案:先换元，令，即，而，所以问题:20.已知y=f(ex)ef(x),且f(x)是可微函数，求dy.答案:y'=(f(ex)'ef(x)+f(ex)(ef(x)'=f(ex)exef(x)+f(ex)ef(x)f(x)dy=f(ex)exef(x)+f(ex)ef(x)f(x)dx问题:21.求分段函数的导数f(x),已知答案：当x<0,当x>0时，当x=0时，所以f(0)=0.综上所述.问题:22.设f(x)在a,b上连续，且f(x)>0,证明：方程F(x)=0在区间a,b上有且仅有一个根.答案：因为f(x)>0,由积分的保号性知又因为说明函数F(