专题10二次函数

1、教学课题教学目标教学重难占：八、杨老师根底初三学生:提高2强化上课时间课时方案专题十二次函数复习掌握二次函数的图像和性质及二次函数的实际应用。重点：二次函数的图像和性质 难点：二次函数的应用2022年4月 日共次课第次课1.定义：一般地，如果y二次函数知识点汇总2ax bx ca，b，c是常数，a 0，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y1抛物线y 符号关系.当a 0时点为其最高点3.二次函数y2ax的性质2 2axa °的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2函数y ax的图像与a的抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时 抛物线开口向下 顶ax 2 bx c的图像是对称轴平行于包括重

2、合y轴的抛物线.4.二次函数2 2y ax bx C用配方法可化成：y a X h k的形式，其中h2ba，k4 ac b 24a5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：ax2 bx c2 2 2 y ax : y ax k 二 y a x h 二 y a x h k 二 y6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a决定抛物线的开口方向：0时，开口向上；当a 0时，开口向下;相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴或重合的直线记作x h .特别地，y轴记作直线x 0.7. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全

3、相同，只是顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法y1公式法：ax2 bx c2 b2a2 24ac bb 4ac b、- _，4a ，二顶点是 2a 4a ，对称轴是直线bx 2a. 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y ax h2 k的形式，得到顶点为h,k, 对称轴是x h .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线 的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失2程9.抛物线y ax bx c中，a，b，c的作用21 a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完

4、全一样.b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线bx 2a,故：b ob 0时，对称轴为y轴；a 即a、b同号时,对称轴在y轴左侧; b o -1 _ a 即a、b异号时，对称轴在y轴右侧.3 c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c，二抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点0，C:c 0，抛物线经过原点；c °,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，那么a 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2

5、y ax当a 0时开口向上当a 0时开口向下x。 y 轴(0,0)y ax kx °( y 轴)(0, k).2y ax hx h(h,0)2y a x hkx h(h,k)y ax2 bx cbx2ab 4ac b2(2a' 4a )11. 用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y ax' bx c.图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式2教 学 过 程 顶点式：y ax h k.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：图像与X轴的交点坐标X1、X2，通常选用交点式：y ax x1 x x2 .12. 直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线y ax2

6、 bx c得交点为(0，c)2与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点 (h , ah bh C).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程2ax bx c °的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根 的判别式判定：有两个交点°抛物线与x轴相交； 有一个交点(顶点在x轴上)°抛物线与x轴相切； 没有交点°抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同一样可能有°个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标

7、相等，2设纵坐标为k，那么横坐标是ax bx c k的两个实数根.2一次函数y収n k °的图像I与二次函数y ax bx ca °的图像G的交点， 由方程组y kx ny ax? bx c的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时1与G有两个交点； 方程组只有一组解时1与G只有一个交点；方程组无解时1与G没有交点. 抛物线与x轴两交点之间的距离：假设抛物线y ax? bx c与x轴两交点为AX"。, B x2,0，由于x1、x2是方程ax2 bx c 0的两个根，故b,x X2 aAB2X2x2 2 4x1x24cb2 4aca13.(1)况.二次函数与一元二次

8、方程的关系:2ax儿二次方程丫bx c就是二次函数yax2 bxc当函数y的值为0时的情2二次函数y axbxc的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数yax2 bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y 02时自变量x的值，即一元二次方程ax bx c 0的根.当二次函数y ax? bx c的图象与x轴有两个交点时，那么一元二次方程2 2y ax bx c有两个不相等的实数根；当二次函数 y ax bx c的图象与x轴有一个交点时，那么一元二次方程ax bx c 0有两个相等的实数根；当二次函数* bx c2的图象与x轴没有交点时，那么一元二次方程a

9、x bx c 0没有实数根14. 二次函数的应用：1二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大小值； 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函 数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 小值.15. 解决实际问题时的根本思路： 理解问题； 分析问题中的变量和常量；3用函数 表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合 理性，对问题加以拓展等.专题十二次函数时间：90分钟总分值：100分一、选择题每题 3分，共24分1 . 2022年北京抛物线y= x2-6x+ 5的顶点坐标为A . 3，- 4B . 3，

10、4C. -3，- 4D. - 3，42. 2022年株洲某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y= x2 + 4x 单位：米的一局部，那么水喷出的最大高度是A . 4米B . 3米C. 2米D . 1米教 学 过 程2022年呼和浩特一元二次方程4 5象上有三点一 一，y1、,y2、5 4B .抛物线 B .A. y1<y2<y3(2022年重庆) 中，正确的选项是A. a>0y2<y1<y3y= ax2x2 + bx 3 = 0的一根为一3,在二次函数 y= x2 + bx 3的图 1

11、,y3, y1、y2、y3的大小关系是6C. y3<y1<y2D . y1<y3<y2+ bx+ ca 0在平面直角坐标系中的位置如下图，那么以下结论C. c<0b<05. 2022年宿迁二次函数 y= ax2 + bx+ ca 0的图象如图，那么以下结论中正确的选项是A . a>0B .当x>1时，y随x的增大而增大C. c<0D. 3是方程 ax2 + bx+ c= 0 的一个根6. 2022年威海二次函数y= x2 2x 3的图象如下图，当y<0时，自变量x的取值范围是A. 1<x<3C . x>37. 202

12、2 年铜仁函数 y= k 3x2 + 2x+ 1 A . k<4B . k < 4& 2022年桂林在平面直角坐标系中，得抛物线的解析式是A . y= x+ 12+ 2C . y = x 12 + 2/二、填空题每题 3分，共18分9. 2022年德州将抛物线10 .C.将抛物线B . x< 1D. x< 3 或 x>3的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是k<4且k工3D . k < 4且k工3y= x2 + 2x+ 3绕着它与y轴的交点旋转B.D.y= (x 1)2 + 4y= (x+ 1)2+ 411.y= x2的图象向上平移1个单位，那

13、么平移后的抛物线的解析式为2022年河南点 A2 , y1、B3 , y2是二次函数y= x2 2x+ 1的图象上两点，贝V 关系为 y1y2 填“ > 或“=.2022年枣庄抛 物线y= ax2 + bx+ c上局部点的横坐标 x,纵坐标y的对应值如下表:空1-2-1012304664180°,yi与y的大小从上表可知，以下说法中正确的选项是 .填写序号抛物线与x轴的一个交点为3, 0;函数y= ax2 + bx+ c的最大值为6;1抛物线的对称轴是 x= -；在对称轴左侧，y随x的增大而增大.212 . 2022年湖州如图，抛物线 y= x2+ bx+ c经过点0, 3，请

14、你确定一个 b的值，使该抛物 线与x轴的一个交点在1, 0和3, 0之间，你所确定的b的值是.13 . 2022年宜宾如图，边长为 2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点 O, AD / x轴，以O 为顶点且过A、D两点的抛物线与以 O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几局部， 那么图中阴影局部的面积是 .教 学 过 程第13M14. 2022年日照如图是二次函数 y= ax2 + bx+ ca丰0的图象的一局部，给出以下命题：a+ b + c=0 ；b>2a :ax2 + bx+ c= 0的两根分别为3和1 :a-2b + c>0.其中正确的命题是 .只要求填写正确命

15、题的序号 三、解答题共58分15. 10分2022年哈尔滨手工课时，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积S单位：cm2随其中一条对角线的长 x单位：cm的变化而变 化.1请直接写出S与x之间的函数关系式不要求写出自变量x的取值范围；2当x是多少时，菱形风筝面积 S最大？最大面积是多少？ .b4ac b2参考公式：当 x= 一 时，二次函数 y= ax2 + bx+ c a* 0有最小大值 2a4a2116. 12分2022年陕西二次函数y= - x2 - x的图象经过 AOB的三个顶点，其中A 1, m,33Bn , n.1求点A、B的坐标；

16、2在坐标平面上找点 C,使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形. 这样的点C有几个？2 2 1 能否将抛物线 y= x2 - x平移后经过A、C两点？假设能，求出平移后经过A、C两点的一条33抛物线的解析式；假设不能，说明理由.17. (12分)(2022年北京市)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y= m/+ (m 3)x 3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.求点A的坐标；(2) 当/ABC = 45。时，求 m的值；(3) 一次函数y= kx+ b,点P(n, 0)是x轴上的一个动点.在(2)的条件下，过点 P垂直于x轴 的直线交这个一次函

17、数的图象于点 M ,交二次函数y= mx2+ (m 3)x 3 ( m>0)的图象于点N .假设 只有当一2<n<2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式.18. (12分)(2022年宜宾)抛物线的顶点是C(0 , a) (a>0, a为常数)D(0 , 2 a)为一定点.(1) 求含有常数a的抛物线的解析式；(2) 设点P是抛物线上任意一点，过 P作PH丄x轴，垂足是H，求证：PD = PH;设过原点0的直线I与抛物线在第一象限相交于A、B两点.假设DA = 2DB，且S abd = 4 . 2 ,求a的值.19. 12 分2022 年杭州设函数 y= kx

18、2 + 2k + 1x+ 1k 为实数.1写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在冋一直角坐标系中用描点法画出 这两个特殊函数的图象；2根据所画图象，猜测出：对任意实数k,函数的图象都具有的特征，并给予证明；3对任意负实数k,当x<m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值.课 后 作 业二次函数一、选择题1. 以下判断中正确的选项是. a、b、c均为实常数的函数 y = ax2 + bx+ c是二次函数 二次函数y= ax2 + bx+ c中，三个实常数 a、b、c之积不为0 二次函数y= ax2 + bx+ c中，a、b、c三个实常数中必须 a* 0 函数y= ax2

19、 + bx+ c中，右a = 0,那么此函数必为一次函数A .、B .、C.、D .2. 假设函数y= ax2+ bx+ c的图象如图8- 1,那么./m乂图8- 1A .av 0, b>0,cv0B.av 0,b>0,c>0C.av 0, bv 0,cv0D.av 0,bv 0,c> 03 .假设二次函数y= x2- 2x+ c的图象顶点在x轴的下方，贝V c的取值范围为.A . cv 1B.cW 1C. cv 0D . cv 14.二次函数y= ax2 + bx+c的图象如图8 2所示，那么一次函数y= ax+ bc的图象不经过.丄IINi-图8 2j：>A.

20、第四象限C.第二象限B.第三象限D.第一象限5.一次函数y= 5x+ 4与二次函数y = x2+ 3x+ 5的图象().A.无公共点C.有两个公共点B.有一个公共点D .有无数个公共点6.把抛物线y= 3X2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的二次函数的解析式为( ).A . y= 3(x 1)2+ 2B. y= 3(x 1)2 2C. y= 3(x+ 1)2+ 2D. y= 3(x+ 1)2 27 .抛物线y= x2 x 1与x轴的一个交点为 (m , 0)，那么代数式m2 m + 2022的值为().A. 2007B. 2022C. 2022D. 20228. 二次函数 y

21、= ax2 + bx+ c 的图象过点 A(1 , 2), B(3 , 2), C(5, 7).假设点 M( 2, y", N( 1, y2),K(8, y3)也在二次函数y= ax2 + bx+ c的图象上，那么以下结论正确的选项是().A .y1Vy2 v y3B.y2V y1V y3C.y3V y1V y2D .y1Vy3Vy29. 二次函数y= x2 2x 1的图象在x轴上截得的线段长为().A.2 2B.3.2C.2 3D .3.310 .在同一直角坐标系内，二次函数( ).、填空题11. 把二次函数 y= 3/+ 6x+ 9配方成y= a(x h)2+ k的形式，y=，当x=时，y有最值，值为.12. 假设二次函数y= x2+ bx+ c的图象的对称轴是直线x= 2，顶点到x轴的距离为5,那么b=, c=.13. 抛物线y= x2 bx+ 8 b，假设顶点在x轴上，那么b值为;假设顶点在y轴上，那么b值为;假设抛物线经过原点，那么b值为.