旋转变换模型

1、。第 10 讲几何变换 旋转变换模型知识关联图等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）旋转变换对角互补模型特殊角一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）真题演练【练 1】 （ 2013北京中考）在 ABC 中， ABAC ， BAC（ 060 ），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转°60 得到线段 BD （ 1）如图 1，直接写出ABD 的大小（用含的式子表示）；（ 2）如图 2，BCE150 ， ABE60 ，判断 ABE 的形状并加以证明；（ 3）在（ 2）的条件下，连结DE ，若DEC45 ，求的值。1。【练 2】 （ 2012 年北

2、京中考）在ABC 中， BABC ， BAC， M 是 AC 的中点， P 是线段上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转2得到线段 PQ （ 1）若且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线BM 于点 D ，请补全图形，并写出CDB 的度数；（ 2）在图 2 中，点 P 不与点 B ，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ，猜想 CDB 的大小（用含 的代数式表示） ，并加以证明；（ 3）对于适当大小的，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点B ， M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线BM 交于点 D ，且 PQQD ，请直接写

3、出的范围。2。例题精讲考点 1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（ 1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（ 2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（ 3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（ 4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）。3。【例 1】 （ 14 年海淀期末）已知四边形ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且 ABCE （ 1）如图 1，连接 BG 、 DG 求证： BGDE ；（ 2）如图 2 ，如果正方形

4、 ABCD 的边长为 2 ，将正方形 CEFG 绕着点 C 旋转到某一位置时恰好使得 CGBD ， BG BD 求BDE 的度数；请直接写出正方形CEFG 的边长的值【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？。4。5。【例 2】 （ 2014 年西城一模） 四边形 ABCD 是正方形，BEF 是等腰直角三角形，BEF90 ，BEEF ，连接 DF ， G为 DF 的中点，连接 EG， CG， EC。（ 1）如图24-1 ，若点 E 在 CB 边的延长线上，直接写出EG 与 GC 的位置关系及EC 的值；GC（ 2）将图24-1 中的 BEF 绕点

5、 B 顺时针旋转至图 24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；ADAGDGFFEEBCBC图图【题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？。6。7。【例 3】 （ 2015 年海淀九上期末） 如图 1，在 ABC 中，BC 4，以线段 AB 为边作 ABD ，使得 ADBD ，连接 DC ，再以 DC 为边作 CDE ，使得 DC DE ，CDEADB（ 1）如图 2 ，当 ABC 45 且90 时，用等式表示线段AD，DE 之间的数量关系；ADBCE图 1（ 2）将线段 CB 沿

6、着射线 CE 的方向平移，得到线段EF ，连接 BF， AF 若90 ，依题意补全图 3， 求线段 AF 的长；请直接写出线段AF 的长（用含的式子表示）AAADBDCBCBDCEEE图2图3备用图。8。【例 4】 （ 13 年房山一模）（ 1）如图 1， ABC 和 CDE 都是等边三角形，且B 、 C 、 D 三点共线，联结AD 、 BE 相交于点 P ，求证： BEAD （ 2）如图 2，在BCD中，BCD120，分别以BC、和BD为边在BCD外部作等边ABC、CD等边 CDE 和等边 BDF ，联结 AD 、 BE 和 CF 交于点 P ，下列结论中正确的是_（只填序号即可） ADBE

7、CF ；BECADC ；DPEEPCCPA 60 ；（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，求证：PB PCPDBE ECAACAPPEDBPDBDDBC图 1F图 2F【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小， 夹角都为 °旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换。9。10。考点 2： 角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等ADADGADADFFEBCEBCBECGBECFFADBAAFGECFBDEC

8、BDEC【例 1】 （ 2012 年西城期末）已知：如图，正方形ABCD 的边长为a， BM ， DN 分别平分正方形的两个外角，且满足 MAN 45 ，连结 MC ， NC ， MN 猜想线段 BM ， DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论。11。【例 2】 （ 2014 年平谷一模）（ 1）如图 1，点 E、F 分别是正方形ABCD 的边 BC、 CD 上的点，EAF 45 ，连接 EF ， 则EF、BE、FD 之间的数量关系是：EFBEFD 连结 BD ，交 AE、AF 于点 M、N ，且MN、BM、DN 满足 MN 2BM 2DN 2 ，请证明这个等量关系；（ 2）在 ABC

9、中， ABAC ，点D、 E 分别为 BC 边上的两点如图 2，当BAC60，DAE30时 ，BD、 D、EE C应满足的等量关系是_ ；如图 3，当 BAC， (090 )，DAE1时， BD、DE、EC 应满足的等量关2系是 _ 【参考： sin 2cos21】BAAAEMNCFDB DECBDEC图1图2图3【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？。12。考点 3：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型 90°）ACAMCDDOEBONEB（全等型 120°）（全等型 任意

10、角）ADCCAACDDOOEBOEBFEB【例 1】 四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中A 和C 都是直角，另一条对角线AC 的长度为 2 ，求四边形ABCD 的面积ABDC。13。【例 2】 已知：点 P 是MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线 OM 于点 A ，将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转交射线ON 于点 B ，且使APBMON180 （ 1）利用图1，求证： PAPB ；（ 2）如图 1，若点 C 是 AB 与 OP 的交点，当S POB3S PCB 时，求 PB 与 PC 的比值；MMTATAPPCCOBNOBN图 1图

11、 2【题型总结】对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？。14。【例 3】( 初二期末 ) 已知：如图，在 ABC 中， ABAC ，BAC，且 60120 P 为 ABC 内部一点，且PCAC ，PCA120（ 1）用含的代数式表示APC ，得APC =_ ；（ 2）求证：BAPPCB ；（ 3）求PBC 的度数APBC【题型总结】一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。（。15。全能突破【练 1】 （ 2015 年昌平九上期末） 如图，已知ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE 90 ，AB A

12、C，AD AE连接 BD交AE于M ,连接 CE交 AB于N，BD与CE交点为 F，连接 AF （ 1）如图 1，求证： BDCE ；（ 2）如图 1，求证： AF 是CFD 的平分线；（ 3）如图 2，当 AC 2 ，BCE 15时，求 CF 的长 .BBFEF ENMNMCACADD图 2图 1。16。【练 2】 （ 2014 西城九上期末） 已知： ABC ， DEF 都是等边三角形，M 是 BC 与 EF 的中点，连接 AD ，BE .（ 1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与 BE 的数量关系和位置关系；（ 2） ABC 固定不动，将图 1 中的DEF

13、绕点 M 顺时针旋转（ 0o 90o ）角，如图 2 所示，判断（ 1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（ 3） ABC固定不动，将图 1 中的 DEF 绕点 M 旋转 （ 0o 90o ）角，作 DHBC于点 H 设BHx ，线段 AB ， BE ， ED ， DA 所围成的图形面积为S 当 AB6 ， DE2 时，求 S 关于 x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围图1图2备用图。17。【练 3】 （ 2014 年朝阳一模24 题）在 ABC 中， ACBC ，在 AED 中， ADED ，点 D 、E 分别在 CA 、AB 上，（ 1）图，若ACBAD

14、E 90，则 CD 与 BE 的数量关系是 _；（ 2）若 ACBADE120 ，将 AED 绕点 A 旋转至如图所示的位置， 则 CD 与 BE 的数量关系是 _；（ 3）若 ACBADE2 (090 ) ，将 AED 绕点 A 旋转至如图所示的位置，探究线段 CD与 BE 的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）。18。【练 4】 （ 2015 年燕山九上期末） 小辉遇到这样一个问题： 如图 1，在 Rt ABC 中，BAC90，ABAC，点， E 在边 BC 上， DAE45 若 BD3 ， CE1 ，求 DE 的长CCDFEECDFDDEA图1BA图2BA图 3B小辉发现，将绕点A 按

15、逆时针方向旋转90o，得到ACF ，连接 EF （如图 2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及DAE45 ，可证FAE DAE ，得 FEDE 解FCE ，可求得 EF ( 即DE)的长请回答：在图2 中，FCE 的度数是 _ ， DE 的长为 _ Rt ABC _参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中， AB AD ，BD180 E， F 分别是边BC，CD 上的点，且EAF 1BAD 猜想线段BE，EF，FD 之间的数量关系并说明理由2。19。【练 5】（ 11 年石景山一模）已知：如图，正方形ABCD 中， AC , BD 为对角线，将BAC 绕顶点 A

16、 逆时针旋转( 045 ) ，旋转后角的两边分别交BD 于点 P 、点 Q ，交 BC , CD 于点 E 、点 F ，联结EF、EQ（ 1）在 BAC 的旋转过程中， AEQ 的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（ 2）探究 APQ 与 AEF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明ADQFPBEC。20。【练 6】 （ 2015 年延庆九上期末） 已知： ABC 是O 的内接三角形， ABAC ，在BAC 所对弧 AC 上，任取一点 D ，连接 AD，BD，CD ，（1）如图1， BAC，直接写出ADB 的大小（用含的式子表示）；

17、（2）如图2，如果BAC60 ，求证： BDCD AD；（3）如图3，如果BAC120 ，那么 BDCD 与 AD 之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；（4）如果BAC，直接写出 BDCD 与 AD 之间的数量关系 .DDDBCBOCOOBCAAA图 1图 2图 3。21。【练 7】 （ 1) 如图，在四边形ABCD 中， ABAD， BD90 ， E、F 分别是边 BC、 CD 上的点，且EAF= 1BAD 求证： EFBE FD;2(2)如图在四边形 ABCD 中， ABAD，B +D180 ， E、 F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF1BAD ， (1) 中的结论是否仍然成

18、立？不用证明2(3)如图，在四边形ABCD 中， ABAD ，BADC 180 ， E ，F 分别是边 BC ，CD 延长线上的点，且EAF1中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写BAD ， (1)2出它们之间的数量关系，并证明FADAADDFBFBCEBECCE。22。【练 8】 小华遇到这样一个问题，如图1,ABC 中，ACB30o， BC6，AC5 ，在ABC内部有一点P ，连接 PA、PB、PC ，求 PAPBPC 的最小值小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点， 这样依据 “两

19、点之间，线段最短 ”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将 APC 绕点 C 顺时针旋转oEDC ，连接 PD、BE ，60 ，得到则 BE 的长即为所求（ 1）请你写出图 2 中， PAPB PC 的最小值为 _；（ 2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，菱形 ABCD中，oABCD 内部有一点 P ，请在图3 中画出并指明长ABC 60 ，在菱形度等于 PA PB PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；若中菱形 ABCD 的边长为4，请直接写出当PA PB PC 值最小时 PB 的长EAADDAPCBBCP图 1BC图 3图 2。23。【练 9】 （ 2014 年西城二模）在ABC ， BAC 为锐角， ABAC， AD平分 BAC 交 BC于点 D （ 1）如图 1，若 ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ， CD ， AB 之间的数量关系；（ 2） BC 的垂直平分线交AD 延长线于点