用构造法求数列的通项公式例题

1、用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列-等差数列等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之 后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1:(06年福建高考题)数列an中,a, 1,ani 2an狈V an()nnnn 1A. 2B. 21C. 21D. 2解法 1 : an 1 2a n 1又 a112an 1是首项为2公比为2的等比数列an 12 2n 12n, an 2n 1 ,所以选 C解法2归纳总结：若数列an满足an 1pan q(p 1,q为常数)，则令an 1p(an )来构

2、造等比数列，并利用 对应项相等求 的值，求通项公式。例 2 :数列 an 中，a11, a23,an 23an12an，则an 。解：an 2 an 1 2(an 1 an )a2 a1 2an an 1为首项为2公比也为2的等比数列。an an 12, ( n>1)n>1时 显然n=1时满足上式小结：先构造 an 1 an等比数列，再用叠加法，等比数列求和求出通项公式，例3:已知数列an中a1 5, a2 2, an 2an 1 3an 2,(n 3)求这个数列的通项公式。解： an 2an 1 3an 2又a1 a2 7, an a. 1形成首项为7,公比为3的等比数列，则 a

3、n an 17 3n 2又 an 3an 1(an 1 3an 2 ),a2 3ai 13 , a. 3a. 1形成了一个首项为一13,公比为一1的等比数列则 a. 3an 1( 13) ( 1)n 2 3 4an 7 3n 1 13 ( 1)n 1小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列 的通项公式。例4:设数列an的前项和为Sn，若2a.2nS.成立，(1)求证：a.n2n1是等比数列。(2)求这个数列的通项公式证明：当门 1, b a1 2 (b 1)a1, a12又 ban2n(b1)S.ban 12n 1(b1)S.1 -一ba.1 ba.2n

4、(b1)an 1an 1ba.2n当b2时,有an 12an2n又a121 11a.n2* 1为首项为1,公比为2的等比数列，ann2n12n 1,an(n1)2n1小结：本题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在咼考中的地位和作用。 . 1例 5：数列 a.满足 a1 3,a. 1 2a. 3 2 ，则 a.A. ® 1) 2. B. (6. 3) 2. 1 C. 3(2. 1) 2“ 1 D. ® 2) 2“ 1解：a.1 2a. 3 2贵寻3构成了一个首项这3-，公差为3的等差数列,22.an 2 2n

5、1 (3n |)(6n 3) 2n 1 所以选 B。小结：构造等比数列，注意形幻，当n n 1时，变为空。2门2n 1例6 :已知函数f (x)( . x . 2)2, (x 0),又数列an中a12 ,其前n项和为Sn, (n N )，对所有大于1的自然数n都有Sn f (Sn 1)，求数列an的通项公式。解:f(x) (、X . 2)2,Snf(Sn 1) (.Sn 1 2)2肩 S1 ： C ；'： 2,Sn是首项为、2，公差为.2的等差数列。.S：2 (n !). 2.2n, Sn 2n2。n 2时，anSn Sn 1 2n2 2(n 1)2 4n 2且当n 1时，a124 1

6、2 符合条件通项公式为an 4n 2例7:(2006山东高考题)已知a12，点(an,an1)在函数f(x) x2 x的图象上，其中n 1,2,3, 求数列an的通项公式。解： f (x) x2 2x又(an,an1)在函数图象上lg(an 1)是首项为lg3公比为2的等比数列小结：前一个题构造出,Sn为等差 数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造lg an 1为等比数列，再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁，揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问

7、题。例&(2007天津高考题)已知数列 an满足a1 2,an 1ann 1 (2) 2n,( n N*)其中 0 ,求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求an的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。解：an 1 ann 1 (2) 2n,(n N*,0)a n 1 /2、n1an /2、nT-T ( )n()1,。所以鸽(2)n 1 a所以an (2)n为等差数列，其首项为o，公差为1 ；(2)n1,例9:数列an 中，若 a12 ,an 11an3an，则 a42168A.B.C.n1915-an11 3a n1解：an131 3an 'an 1anan又111是首项为1公差3的等差数列。a12'an211-6n -2(n1) 3 3n anan2226n -22a4所以选A64-19变式题型：数列 an中，a12, an 13D.-42a n，求an解：-2an11 3an31 1an 1，1 3anan 12an22 an3an1113令爲茲)，则2 3，33是首项为51-公比为一的等比数列22小结：an 1f(an)且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数 成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系，相互渗透，最后融合到一起。总之，构