信息光学(傅里叶光学)Chap2-1

1、第二章 线性系统 Linear System 2-1 线性系统简介一、用算符表示系统二、线性系统的定义g(x, y) = f(x, y) 输入f(x, y)输出g(x, y) a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y) 如果g1(x, y) = f1(x, y)， g2(x, y) = f2(x, y)2-1 线性系统简介线性系统具有叠加性质 利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数分解为简单的 “基

2、元”函数的线性组合，则输出就是这些“基元”函数响应的线性组合。常用常用 “基元基元”函数有函数有d d 函数、复指数函数等等。函数、复指数函数等等。系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而改变系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变线性系统对各个输入的响应是互相独立的。2-1 线性系统简介 三、脉冲响应系统对处于原点的脉冲函数的响应：h(x, y) = d(x, y)系统对输入平面上坐标为(x,h)处的脉冲函数的响应：h(x, y; x,h) = d (x-x, y- h)在线性系统中引入脉冲响应的意义:1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合2. 若线性系统的脉冲响应函数为

3、已知,则系统的输出为脉冲响应函数的线性组合2-1 线性系统简介 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合 hxhxdhxddyxfyxf),(),(),(根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:此式的物理意义: 脉冲分解函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处的许多d 函数的线性组合.每个位于(x, h)的d 函数的权重因子是 f (x, h).2-1 线性系统简介 线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合对于线性系统:g(x, y) = f(x, y) hxhxhxhxhxdhxddyxhfddyxf),;,(),(),( ),(叠加积分只要知道各个脉冲响应函数,

4、 系统的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如何求对任意点的脉冲d (x-x, y- h)的响应h(x, y; x,h) 对一般系统而言, 脉冲响应函数的形式可能是点点不同的只有对一类特殊的系统线性不变系统, h(x, y; x,h)= h(x-x , y-h) 成立, 分析可以得到简化.则 h (x;1) h (x-1)=1例如, d(x)= h (x)=1而 d(x-1)= h (x;1)= exp(-j2px)2-1 线性系统简介 脉冲响应函数h(x, y ; x, h )的求法: 2-2 线性不变系统 一、定义设系统在 t = 0时刻对脉冲的响应为 h(t), 即: d(t)=h

5、(t)若输入脉冲延迟时间 t ,其响应只有相应的时间延迟t, 而函数形式不变, 即 d (t - t )=h (t - t )则此线性系统称为时不变系统. 系统的性质不随所考察的时间而变, 是稳定的系统. 时间轴平移了, 响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.实际物理系统大多可近似为平移不变系统实际物理系统大多可近似为平移不变系统.2-2 线性不变系统 推广到二维空间函数空间脉冲在输入平面发生位移, 线性系统的响应函数不变, 只是产生相应的位移, 即: d(x-x, y-h)=h (x-x, y-h)线性不变系统的脉冲响应:线性不变系统的输入线性不变系统的输入-输出变换关系不随空间位置变

6、化输出变换关系不随空间位置变化.则此线性系统称为空间不变系统或位移不变系统. h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h)观察点坐标输入脉冲坐标二个坐标的相对间距2-2 线性不变系统: 例 时不变(一维)系统 : RC电路tt0d (t-t)t0d (t)空不变(二维)系统 : 等晕成像系统d (x-x ; y-h)(x ;h)h(x-x ; y-h)xyxy光学成像系统在等晕区内是空间不变的.晕斑d (x,y)h(x,y)th(t)0th(t-t)t02-2 线性不变系统 输入输出关系: 空域 hxhxdhxdddyxfyxyxfyxf);(),(),(),(),( hxhxd

7、hxddyxfyxfyxg);( ),(),( ),( hxhxhxddyxhf);(),(),(),(yxhyxf输出是输入与脉冲响应函数的卷积积分.这也是线性空不变系统的判据.2-2 线性不变系统 二、线性不变系统的传递函数),(),(),( yxhyxfyxg由两边作F.T.: G(fx,fy) = F (fx,fy) H (fx,fy) 传递函数输出频谱输入频谱传递函数是脉冲响应函数的.F.T. dxdyyfxfjyxhffHyxyx)(2exp),(),(p= h(x,y)2-2 线性不变系统 传递函数频率响应注意H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.,即h(x,y)的频谱

8、函数h(x,y)是对d(x,y)函数的响应d 函数的频谱恒为1, 即含有所有频率成分, 并且各频率成分的权重都相等(=1).但h(x,y)的频谱已经改变成H (fx,fy) H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响应, 即频率响应2-2 线性不变系统 传递函数频率响应对于给定的系统和输入, F (fx,fy) 和H (fx,fy) 较容易求出, 因此容易由输出的频谱推算出系统的输出, 可避免冗繁的卷积积分求输出的运算例: P62, 2.1已知线性不变系统的输入为g(x) = comb(x)系统的传递函数为 rect(f/b), 若b取下列值, 求系统的输出 g(x) (1) b=1 (2

9、) b=32-2 线性不变系统 传递函数例: P62, 2.1系统的输入 g(x) = comb(x)传递函数 H(f) = rect(f/b) = rect(f) (取b=1)解: 输入频谱 G(f)= comb(x) = comb(f) 阅读: P36, 七、八(2) 输出频谱 G(f)= G(f) H(f) = rect(f) comb(f)=d(f) 输出函数 g(x) = -1G(f) = 1fG(f)0-1101/21/2fH(f)1fG(f)0-11=*=?xg(x)0-11F.T.g(x)1xF.T.-1图解:2-2 线性不变系统 例: P62, 2.1(续): 空域处理输出函

10、数 g(x) = g(x)*h(x) = comb(x) * sinc(x)图解:系统的输入 g(x) = comb(x)脉冲响应: h(x)= -1H(f) = sinc(x)xg(x)0-11*xsinc(x)01-11=g(x)1x2-2 线性不变系统: 传递函数例: P62, 2.1 b=3g(x) = comb(x), H(f) = rect(f/b) = rect(f/3) (取b=3)G(f)= comb(x) = comb(f)G(f)= G(f) H(f) = rect(f/3) comb =d(f)+ d(f-1)+ d(f+1)g(x) = -1G(f) = 1+2cos

11、(2px)fG(f)0-1103/2-3/2fH(f)1=*=?xg(x)0-11F.T.F.T.-1fG(f)0-11g(x)1x2-2 线性不变系统 例: P62, 2.1(续): b=3 空域处理输出函数 g(x) = g(x)*h(x) = comb(x) * 3sinc(3x)图解:xg(x)0-11*系统的输入 g(x) = comb(x)脉冲响应: h(x)= -1H(f) =3sinc(3x)x3sinc(3x)01-11=g(x)1xg(x)1x=2-2 线性不变系统 三、线性不变系统作为滤波器线性空不变系统通过传递函数改变输入函数的频谱,其功能类似滤波器.输入系统输出空域

12、f(x,y)h(x,y) g(x,y)= f(x,y) * h(x,y)频域 F(fx,fy)H(fx,fy) G(fx,fy)= F(fx,fy) H(fx,fy)传递函数通常是复函数,可以改变输入函数的振幅和位相振幅传递函数:对各频率分量产生均匀的位相延迟,但改变相对振幅大小位相传递函数:对各频率分量产生均匀的振幅衰减,但改变相对位相分布2-2 线性不变系统 滤波器的分类 全通滤波器: 整体无畸变地通过,但允许幅值变化和位移脉冲响应: kd (x-x , y-h)传递函数: kexp-j2p (fxx fyh)输出: g(x,y) = f(x,y)* h(x,y)= f(x,y)* kd

13、(x-x , y-h) = k f(x-x , y-h)低通滤波器: 允许通过的频率有一上限截止频率例2.1中的传递函数的性质：在|频率| b的区间内信号能无畸变地通过,此外全部阻塞. 这种系统的作用是低通滤波器. 高通滤波器: 允许通过的频率有一下限 带通滤波器: 只通过某特定频带内的频率分量 其它滤波器: 位相滤波器, 匹配滤波器等等线性不变系统 例:P64 2.7(3)间隔为2的脉冲阵列, 基频为1/2在有限空间区域不为零, |x|25方波, 底宽为1)(rect50rect2comb21)(xxxxg输入:0-25-2225. . . . . . . . . . . . xg(x)1线

14、性不变系统 例:P64 2.7(3)间隔为1/2的脉冲阵列 窄带谱, 半宽1/50包络, 半宽为1输入频谱:)(sinc50sinc2comb50)(ffffG)(rect50rect2comb21)(xxxxg输入:0-1/21/2fG(f)1-125线性不变系统 例:P64 2.7(3)对|f| 1/4 的 频率分量反相其他频率分量全通传递函数其它 141|f | 1)exp()2(rectexp)(ppjfjfH0-1-1/41/4fH(f)1H(f) = 1-2rect(2f)线性不变系统 例脉冲响应:2sinc)()( )(xxfHxhd-1H(f) = 1-2rect(2f)0-22xh(x)线性不变系统 H(f) = 1-2rect(2f)G(f) = G(f).H(f) = G(f)-2rect(2f)G(f) 2rect(2f)250-1/21/2fG(f)1-1nnffffffG)2(50sinc)(sinc25 )(sinc50sinc22comb25)(2nfnd G(f)-225sinc(50f)sinc(f) G(f)- 2 25sinc(50f)线性不变系统 例:P64 2.7(3)输出频谱: G(f) G(f) - 2 25