4-圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

1、、直线恒过定点问题第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题例i.动点E在直线I : y 2上，过点E分别作曲线C : x24y的切线EA, EB ,切点为A、B,求证：直线 AB恒过一定点，并求出该定点的坐标;22解：设 E(a, 2), A(Xi,0),B(X2，竺)，44过点A的抛物线切线方程为y2Xi4i2Xi(Xxi),切线过E点,2Xi-Xi(a Xi),整理得:22Xi2axj同理可得:2X2 2ax280Xi,X2是方程x2 2ax 80的两根XiX22a, xiX28可得AB中点为(a,4)y2又 kAB 'X-Ix2直线AB的方程为y2)例2、点P(x0,y0)是椭圆2e：&

2、#163;2点与直线I垂直，点M-1，0过一定点G，求点G的坐标。解：直线|°的方程为X0(y y。)2Xi2X2XiX2xi x2 a42AB过定点(0,2 ).1上任意一点，直线1的方程为等yoy 1，直线l0过P关于直线|0的对称点为N，直线PN恒2y°(x X0)，即 2y°x x°y x°y0 0设M( i,0)关于直线l0的对称点N的坐标为N(m, n)nx°m 12y°2y。約0，解得0小3八2,2X0 3X0 4X04mx。244,3,2c2x° 4X0 4x° 8X02y°(4

3、 X02)直线PN的斜率为kn y。m X0x°4 4x°3 2X02 8X0 82y°( X03 3xd2 4)从而直线PN的方程为：yy。X。4 4xo3 32xo2 28x。8xo)2yo( Xo3 3xo2 4)'4)2yo( x。3 3x。2324xo 2x。 8x。 84 xo从而直线PN恒过定点G1,0二、恒为定值问题例3、椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为2 2，象限弧上一点，且 PF1 PF21，过P作关于直线FiP对称的两条直线圆于A、B两点。1求P点坐标;2求证直线 AB的斜率为定值;2解：1设椭圆方程为笃a2x1，由题意可得b离

4、心率为2，P是椭圆在第2a 2，b2，c 2 2，所以椭圆的方程为y4x那么 F1(0, 2), F2(0,2)，设 P(Xo,y°)(x。O,yo0)那么 PR ( x。八 2 yo), PF2(Xo,y。),PFi PF2 x2 (2y。2)点Px°,y。在曲线上,2x。22yo41.2X。2yoA 2从而(2yO)1，得yo2，那么点P的坐标为1, 2。PB斜率互为相反数,2由1知 PF1 / X 轴，直线 PA、设PB斜率为k(k 0)，那么PB的直线方程为：y 2 k(x 1)y 2 k(x 1)_由 x2 y2得(2 k2)x2 2k( 2 k)x (2 k)2

5、 4 0-I 124同理可得XayAyBk252，那么2 k2k(XA 1)k(XB所以直线AB的斜率kAB例4、动直线y点，点73,0)，解：将y课后作业:2k(k .2) 12 k2XaXa2k(x 1)与椭圆C: 5求证：MA MB为定值.2k(x 1)代入5211中得(15336k4 4(3k21)(3k25)X1X26k23k21，X/2k2 2 2k 22 k24,2k1)Xb2 y_533k2)X2 6k2X3k2 5 048k2 203k253k2 1(X13,1)(X23,y2)(X1)(X2)33k2(x.(1k2 )X1X2(|k2)(x1,2、3k257, 2(1k )

6、2(k3k2 13423k416k2549 .(XiX2)所以MA MB)(3k2 1X21.在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C :3i)(X21)(X21)l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，D( 3,m).7) y°249"9k21.如下列图,斜率为k( k> 0)且不过原点的直线射线OE交椭圆C于点G ,交直线x3于点I求m2 k2的最小值;n假设OGOD ? OE，求证：直线l过定点;解：I由题意：设直线l : ykx n(n 0),y kx nx2消y得:(112 23k )x6knx 3n23 0,36k2n2 4(1 3k2) X3(n2 1)

7、12(3k2 1 n2)0设A%,%)、B(X2,y2),AB的中点E(x°,y。)，那么由韦达定理得:6kn 血3kn,儿即x0 Wkx0 n所以m2n证明：由题意知又因为yE又由I3kn1 3k2所以中点 E的坐标为(一, n 21 3k 1 3k因为OE、D三点在同一直线上，所以kOEKod，即1m3k3，),k2 = k2k22 ,当且仅当1时取等号:n>0,因为直线y所以由 2x3n1 3k2OD的方程为得交点1m,且 OGmx,3OD ?OEn,1 3k2 2即m k的最小值为2.G的纵坐标为，所以rmm2n,1 3k1知：m ,所以解得kkn,所以直线l的方程为k

8、x k,即有丨:y k(x1),令x 1得,y=0,与实数k无关,所以直线l过定点(-1,0).22.点N为曲线y 4x(x 0)上的一点,假设A(4,0)，是否存在垂直 x轴的直线l 被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在,请说明理由.解：设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为x a ,以AN为直径的圆交I于C,D两点，CD的中点为H .t|cb訓|2j(x 4)2 y2 ,|BH|x 4a21尹2a 4CH|2CB|22 1BH|-(x 4)2 y24-(x 2a 4)24122京(4 a412)x 4a 16a (a 3)xa 4a所以，令a 3，

9、那么对任意满足条件的x,都有CH 29 12 3与x无关，即CD2品为定值.已加挞物统的焦巨苑昙抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，i殳其交点为H.(1)证阳用孑一石为定值*(H)1SAABMK面稅为WXS=f (A)的表达式，存求S的最小值|解；"设?<叭*巧八方y：兀j耳3昇yj > -童然方租脚尸-；1显然MJ科車曲在且过匸1>協担莒绒新尊力7=监“ =JSiy=K2消去丁鶴t和-4=“判别或(k;+L、>0.xz-Ate ? «!2= 4于sn<tay-x;±fi& 臣羽辜为了 5 刚珂惰切Tin方ES

10、3l*Jy= <：)叫57、JC.I-,2 上.y «-L« ；. I RlJI (J_:，-.? 2c 4：.I竄工*从简,FJJ = t _ 2> ： aB 工Fit *j3 =| I：3t+m2)-2 tya垃範円用初FB.* y = < I x. r-x ： > +y_ I 宜中 Jy . =x .r,)冷畑J-斗巧一2百 出二巧=o»僱IS)p&ff3 -< H ) Q ( I >堀花也AW中.F丄沖阳 因帀S=|AB| |FK| ,kTB (X>Oh-i1 - i-yT ) -A.込' y-i

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