一阶线性常系数双曲性方程的有限差分方法的研究

1、引言主要讨论双曲性方程及双曲性方程组的差分方法。从简单的一届线性双曲型方程开始，构造差分格式，分析其稳定性及其他性质，然后推广到一届线性双曲性方程组。双曲方程与椭圆方程，抛物方程的重要区别，是双曲方程具有特征和特征关系，其解对初值有局部依赖性质。初值的函数性质（如间断，弱间断等）也沿特征传播，因而解一般无光滑性，迄今已发展许多逼近双曲方程的差分格式，这里只介绍常见的九种方法，讨论了各种求解方法，分析了其性质，最后对初边值问题及二维问题进行了讨论。1一阶线性常系数双曲型方程先考虑线性常系数方程1a0,xR,t>0x(1.1)其中a为给定常数，这是最简单的双曲型方程，一般称其为对流方程。虽然

2、（1.1）式非常简单，但是其差分格式的构造以及差分格式性质的讨论是讨论复杂的双曲型方程和方程组的基础。它的差分格式可以推广到变系数方程，方程组以及拟线性方程和方程组。对于方程（1.1）附以初始条件1u(x,0)=u0(x),xR(1.2)在第一章中讨论了初值问题（1.1）,（1.2）式的解，其解沿方程（1.1）的特征线1xat(1.3)是常数，并可表小为u（x,t）Uo（）Uo（xat）下面讨论双曲性方程的应风格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-wendrof格式,Courant-Friedrichs-Lewy条件利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式，蛙跳格式，数值例子。1.1

3、迎风格式迎风格式在实际计算中引起了普遍的重视，从而产生了很多好的方法和技巧。迎风各式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，（1.1）式的迎风各式1是n1nujujnnujuj1aha>0(1.4)的截断误差和稳定性：n1nujujnnujuj1ha>0uj12u213u32!t23!t3nuj（两边乘于a）,得hn1n2ujuju12u2t2!t213u3!t3nuj1/2/3u,1u,21u,：h2h3hx2!x3!t2!24h20h4111nnnujujujuj1ahu12u13u23070t2!t23!t32!0h4ua2!a

4、2u22!x23!3uh23hX所以T(Xj,tn)2!2!截断误差为迎风格式对 一阶精度，对h 一阶精度.当0,h0 时 T(Xj,tn)下面讨论迎风格式（1.4）的稳定性:先把差分格式变化为便于计算的形式n ujn ujnujnuj其中-网格式hnujnujnujnujn ujikjheikjheikjhikjhnikjveikjheikjheikjheikjhikh)？eikh,kikhaeikhcoskhsinkhcoskhasinkh1coskhaisinkhG,k2coskhsin2kh2acoskh2coskh22-2asinkh2acoskhsin2kh=122a1coskh2

5、coskh22.coskha22sinkh4a.2sinkh4a4a2,2khsin-2.2khsin22a2-2242a14a4a.2khsin2.2khsin-222a2224a4a.2khsin-22a22coskh2coskhcoskh21coskh2.2khsin一2当a1时原差分格式是稳定的。所以迎风格式（1.4)理,迎风格式的收敛性条件为迎风格式1nuj1的截断误差和稳定性:un1unn1nujujaunun1两边除于，得12u2!t23!t3是条件稳定。根据Lax等价定(1.5)n1nujuj1_2_u2!t213u23!nuj1nuj12u2!3!h3丁h（两边乘于a）hnu

6、j1ahnuj所以截断误差为迎风格式2!3!3uh23hx0h4n1ujnujnuj1nuj1_2u2!t2a3u3h2!x3x,t=12!2ut72!2uh2hxnujnuj1的稳定性：将方程改变便于计算的形式:n1ujnujnuj1nujn1ujnujunun所以12a2a2a12anujeikjhvneikjheikjheikjhe,k,kcoskhcoskhcoskh1差分格式时（讨论差分格式2a22a224a4a1.5)eikjheikjheikjhikhecoskh222a2anikjve_ikjhikhe?eikhcoskhcoskh2coskh2coskh2coskh22a22

7、coskh2a21coskh2a1nikjhvevneikjhsinkhaisinkh222asinkhcos2khcos2kh)a22coskh1coskhcoskh21coskh1coskh4a-(a1)sin是稳定的2kh222asinkha22sin2khcoskh的截断误差和稳定性解因为截断误所以T(x,t)所以差分格式的截断误差为n1nUjUjnnujuj1a!-hnUjnUjn1UjnUja一nUjunnUjnUj1uhxaua一x即差分格式是一阶精度的。讨论它的稳定性：12U2j-F2!t212U2!h22!2!3!3!t313U3!t3h32u一2x3!0h43u-3xh20

8、h32ut23!3u-3x2!2u一2x3!3uhx203h3nUjnUj、士学位论文兀BACHELORSTHESIS先把差分格式n1nujujnujhnuj1-J-±0改写为nujnujnujnuj1.7nujnikjhve并将其代入1.7时有eikjheikjhnikvenikjhve1eikjhvneikjhikheikh,kikhaaeikhacoskhisinkhacoskhaisinkhcoskhisinkh,k2coskh22sinkh4a2sin2sin2khkh4a22kh2sin22.4khsin2khcos一24a22khsin一22khcos一214asin2

9、kh22.4kh4asin222.4asin2kh12sin2独24asin2kh4a22.4khsin4a22一khsin一24a2.4khsin一2由于a<0所以kh八取sin=02差分格式是绝对不稳定的。4a4a4a.2khsin一2.2khsin一2(1,knauj8a24a21.2Lax-Friedrichs格式讨论逼近对流方程（1.1）的一个中心差分格式nUj1a的截断误差和稳定性Lax-Friedrichs格式的截断误差:2.4khsin一22一.2khsin一22kh、22s1n)sin4a2.2khsin一22kh2sin-2kh2nUj1nUj12h(1.8)1n1u

10、jnuj2!x2因为n1ujn1nujujuax12!n1uj2ut2nuj13!nujnuj13!t3h314u4!nujnujnuj2hnujnujnuj1a1Ju2!t2nj12h3u3尸12u2!t213!nujnujnuj12!h23!t3h3o(h4)uhx23!h3h4（两边乘于2hnuj12h13!h2ut3u3x2!13!3ut33u3xh20h3nuuatxj所以T(x , t)12!2 u t213!3u-3xa 3u3!h20h2 .差分格式（1.8）的截断误差为讨论（1.8）稳定性先把差分格式（1.8）改写为nuj 1nuj 1一a 2hnujn uj1)（其中ikj

11、hnuj并将其代入1.8则有eikjhvneikjhnikjveikjikhikhevn1vnG,kaikhikh1-ee21 -coskhisinkhcoskhisinkhvn22 a2isinkh31asinkh2G,k1a22sin2kh（sinkh0）所以G,k1差分格式（1.8）是绝对不稳定的。'1.3Lax-Wendroff格式前面讨论的应风格是和Lax-Friedrichs格式是一阶精度白差分格式。1960年Lax-Friedrichs构造出一个二阶精度的二层格式，这个差分格式在实际计算中得到了充分的重视。这个格式的构造与前面格式的推导有不同，采用Taylor级数展开之外

12、，还用到微分方程本身。设Xi ,tn处做Taylor展开ux,t是微分方程（1.1）的光滑解，将uXi，tn1在点Uxj,tn1Uxj,tn利用微分方程（1.1）有22ua2x把这两式代入前式有uxj,tn1uxj,tna再采用中心差商逼近上式中的导数项，有12huxjJuxj1,tn0h2因此得到1h7uxj1,tn2uxj,tnuxj,tn0h2uxj,tnxj,tnuxj1,tn1,tn0h22uxj2h2j1,tn2uxj,tnuxj1,tn2h2略去高阶项，可以得到如下的差分格式n1nujujnujnuj22a2h2nuj2unnuj1(1.14)的截断误差和稳定性截断误差：nujn

13、ujunun2h2un2unun1nujnujuhx2!h2h3nujnujuhx2!2u-2xh23!h3nujnuj2!h3h5nuj1nuj12un2!xh24!x2h40h6uxj,tn1uxj,tnh22u2x0h2u2hxj1,tnuxj1,tn0h22u2x1h7uxj1,tn2uxj,tnxj1,tn0h2uxj,tnxj,tnuxj1,tnuxj1,tn0h22u2h2xj1,tn2uxj,tnuxj1,tn02h2容易求出差分格式（1.14）的增长因子为从差分格式的构造可以看出称为Lax-Friedrichs格式（1.14）是二阶精度的差分格式其节点分布差分格式（1.14）

14、G22.2kh.,k12aSiniasinkh2G|,2/.22/22.4kh,k14a221asin2于是，如果满足条件a1那么有G,k1所以Lax-wendroff格式的稳定Tt条件为（1.15）式1.4 Courant-Friedrichs-Lewy条件先分析差分格式的解依赖区域，然后从差分格式解的依赖区域和对流方程初值问题解的依赖区域的关系推导出差分格式收敛的一个必要条件。这个条Courant-Friedrichs-Lewy条件或称C,F,L条件，也又称为Courant条件。为确定起见，令微分方程（1.1）中的常数a>0.差分格式采用Lax-wendroff格式作为例子进行分析为

15、了计算U；,要用到u；un1,u；I；而为计算这3个值，又要用到u；2,u；2,u；2。如此递推下去，为了计算u；,就要用到u0n,u0（；1）,，u0,u0（；1）,u0；见图（3.4）这说明计算u；仅依赖于微分方程（1.1）的初值（1.2）ux,0u。x在区间Xj；,Xj；1，上的网格点Xj；,Xj（；1），xj,xj（；1）,xj；上的值u。Xi,ij；,jj；1,j；称区域Xj；,Xj；上所有网格点为差分格式的解在点p（Xj,t；）的依赖区域差分格式的解收敛到微分方程初值问题的解的必要条件为DXjn,Xjn,即差分格式解的依赖区域端点构成的区间必须包含相应的偏微分方程初值问题的依赖区域

16、。简单地说，差分格式的依赖区域包含偏微分方程初值问题的依赖区域。这个条件成为Courant-Friedrichs-Lriedrichs-Lewy条件。1.5 利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式特征线概念在双曲型方程中有很重要作用。借助于双曲性方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出(1.1)式，(1.2)式的各种差分格式。为确定起见设在ttn时间层上网格点A,B,C和D上u的值已给定(已计算出的近似值或初值)。要计算出在ttn1时间层上的网格点p上的U值，见图(1.5).假定C,F,L条件成立。那么过p点特征线与BC交于点Q由微分方程解的性质知U(P)U(Q),但当Q不是网格点时，u

17、(Q)是未知的由于u(A),u(B),u(C)和u(D)为ttn时间层上网格点上值已给定，因此可用插值方法给出u(Q)的近似值利用b,C两点上的值进行线性插值就可以得到u(P)u(Q)(1a)u(C)au(B)由此可推导出差分格式n1nnnujUjaujuj1其中h'这就是迎风格式，如果改用B,D两点进行线性插值，则有u(p)u(Q)由此得到n11nuj2(1a)uj11 n(1a)uj12我们可以把此式改写为n1nnauj1uj1uj1一222(1 a )u(D) 7(1 a)u(B)图(1.5 )nnuj1uj1立即可以看出，这是Lax-Friedrichs格式.1.6蛙跳格式1卜

18、面考虑逼近对流方程1.1）的一个三层格式nnuj1uj1(1.18)a02h此格式的节点分布如图（1.6）。这个差分格式称为蛙条格式。容易看出这是一个二阶精度的格式。可以把（1.18）式写成便于计算的形成nUj1 nUjn na ujuj 1(1.18)其中在计算时，初值（）的离散处，还要用一个二层格式计算出 t.1那一层值uj ,由于（1.18）式比Lax-wendroff格式，Beam-warming格式要简单。卜面讨论蛙条格式（1.18）的稳定性:nuj1anuj12h(1.18)unnUjunununun2!3!04)等式两边除于2!3!2得:3!n1ujnujun2!2!unun.一

19、a等式两边乘上一2hnuj1a-2h3!unun12u2x3!3!3!3!3u3x3u3x3u3x0h5h2h3h30h40h40h4*士学位论文n1n1ujuj因为T(x,t)截断误差为:3!T(x,t)0(2h3!3!3!h2)nuj3u3x3!0h43u3x3!3!h23u-3x3!3u3xh2证毕.2hn1nnn、UjVja(UjiUjJn1nVUjJUu,vT,nuj用FoUrier方法eikjhnuj并将其代入上式就可得到增长矩阵eikjhi(k1)jheikjhei(k1)jhvn1eikjheikjhikheikh)ikhikh、ne)v所以增长矩阵为G,k2aisinkh110它的特征值为U1aisinkh1a22sin2khu2aisinkh1a22sin2kh如果、士学位论文BACHELORSTHESIS贝U有u1.21因此，当a1时，如当a1,那么,k那么1时,k2aisinkh2i,k2i2i2i2i4i,k由此得出从而知，当a1时,k)2n蛙跳格式不稳定.