高中数学三角函数常见习题种类及解法

1、高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，乂要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。一、知识整合1.熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法一一化弦法，降籍法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题.

2、2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数y=Asin(x+8)的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.二、局考考点分析20XX年各地高考中本部分所占分值在1722分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式

3、逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。、方法技巧1.三角函数包等变形的基本策略。(1)常值代换:特别是用“T的代换,如1=cos20+sin20=tanx-cotx=tan45项的分拆与角的配2 2CCCCCCCCCCsinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx；酉己痰角:2(3)降次与升次。(4)化弦(切)法凑。如分拆项：-0(+Ea=(a+6)0,0=(4)弓I入辅助角。asin9+bcos9=/a2+b2sin(9+中)，这里辅助角中所在象

4、限由a、b的符号确定，平角的值由tanP=b b确定。a2.证明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。(1)发现差异：观察角、函数运算问的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例1.已知tan8=72，

5、求(1)coscos s s；(2)sin2esine.cos+2cos2 2 COST-sin的值.1(1)cose+sin=cos。_1+tan0_1+_32扬.cosusinsiH1-tann1-.2I -cos22sin-sincosn2cos2B(2)sin-sincos2cos=22sincosusin2口sin2=cos2cos=2-22_4-2一sin2一21一3.1cos说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)切互化，就会使解题过程简化。例2.求函数y=1+sinx+cosx+(sinx+cosx)2的值域。解:角车：设t=sinx十cosx=J2sin(

6、x+己)亡J2,J2J2,J2M M 原函数可化为4y=t2+t+1=(t+1)2+3，因为勇-也，插,所以24当1=阪时，ymax=3+V2,当t=-时，ymin=,24买I哭 M 功k主牛臾址呸所以，函数的值域为yw,3+构。4例3.已知函数f(x)=4sin2x+2sin2x-2,xR。(1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合;(2)证明：函数f(x)的图像关丁直线x=-己对称。8解：f(x)=4sin2x2sin2x-2=2sinx-2(1-2sin2x)=2sinx2-2cxs=2、22xsn(2)4所以f(x)的最小正周期T=兀，因为x亡R,所以，当2x-=2k

7、兀十二即x=k兀+登时，f(x)最大值为2很；428TT._、-(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关丁直线x=-甘对称，只要证明对任意xR,有f(一一一x)=f(-一+为成立，88因为f(_己_x)=272sin2(_-x)_=272sin(-2x)=22cos2x,8842f(-x)=2.2sin2(-x)-=2、2sin(-2x)-2、2cos2x,8842所以f(-x)=f(-+x)成立，从而函数f(x)的图像关丁直线x=-M对称。888例4.已知函数y=cos2x+七3 3sinx-cosx+1(xR),22(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2)该函数的图像可由y=si

8、nx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？23 3sinx-cosx+1=l(2cos2x1)+登(2sinxcosx)444+155=(cos2x-sin兰+sin2x-cos兰)+#42664解：(1)y=1 1cosx+2213.=-cos2x+一sin2x+=1sin(2x+一)+5264立身以立学为先，立学以读书为本所以y取最大值时，只需2x+；=；+2k兀，(kZ),即x=：+k兀，(kZ)。TT所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=言+k兀,kZ(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：(i)把函数y=sinx的图像向左平移：，得到函数y=sin(x+：)的图像；

9、(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的1 1倍(纵坐标不变)，得到函2数y=sin(2x+)的图像；61.、(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的-倍(横坐标不变)，得到函2数y=1sin(2x+兰)的图像；26(iv)把得到的图像向上平移5 5个单位长度，得到函数y=1sin(2x+兰)+的4264图像。综上得到y=1cos2x+*sinxcosx+1的图像。说明：本题是2000年全国高考试题，届中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关丁sinx,cosx的齐次式，降籍后最终化成y=Ja2+b2sin(3x)+k的形式，二是化成某一个三角函数

10、的二次三项式。本题(1)还可以解法如下：当cosx=0时，y=1;当cosx丰0时，12、3_13,_cosxsinxcosxtanxy=2厂工+1=222+1sinxcosx1tanx化简得：2(y1)tan2xJ3tanx+2y3=0-tanxR,二=38(y1)(2y3)A0,解之得：vyv44-ymaF7 7，此时对应自变量x的值集为x|x=k兀+兰,kZ46例5.已知函数f(xsincos+V3cos2.333(I)将f(x)写成Asin(x+8)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；(皿)如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值

11、域.1.2x32x1.2x.32x.32x3f(x)=sin(1cos)=-smcos=sin()一232323232332立身以立学为先，立学以读书为本JT二31.sin3.2x二、:sin()-1,2x二.3、,3.sin(一)_1，即f(x)的值域为5,1+电.2综上所述，x(0,3f(x)值域为(3,1奇.说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利丁培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例6.在LJABC中，a、(1)求sinB的值；b、c分别是角A、B、C的对边，且cosC3a-ccosBb若b=4T2，且a=c，

12、求LABC的面积解：(1)由正弦定理及竺C=M，有竺2=3sinA由cosBbcosBsinB即sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，所以sin(B+C)=3sinAcosB,乂因为A+B+C=兀，sin(B+C)=sinA，所以sinA=3sinAcosB，因为sinA。，所以cosB=l,乂0B兀，所以sinB=。1cos2B=之龙。33在UABC中，由余弦定理可得a2+c2-2ac=32,乂a=c,所以有4a2=32,即a2=24，所以UABC的面积为3S=【acsinB=a2sinB=8血。22一 T 一、(I)由sin(竺+邕=0即竺+兰=k;r(kwz)得x=七兀

13、kwz33332即对称中心的横坐标为七1兀,k亡z2(U)由已知b2=aca2c2-b2a2c2-ac2ac-ac1cosx=2ac2ac2ac2:2x二5:+33391.一-cosx:1,2Tb3)TX立身以立学为先，立学以读书为本(1)求函数k=f(t)的表达式;(2)若t1,3,求f(t)的最大值与最小值。解：(1)a=4,b=1,ab=0，乂xy=0,所以：,了=；+仕23)b!(k?十疽=kM2+仕2_3)；2十t_02_3)*：=0,1c31c3所以k=t一一t,即k=f(t)=t一一t;4444求cos(a8)的值;一一兀兀一一一(2)右0劣，一亏80，且sin8=解：(1)因为a=(cos%sin认b=(cos&sing),所以ab=(cosa-cos6,sina-sin队一一、，4-2.5o52.5乂因为|a-b|=，所以J(cosa-cos国+(sina-sin8)=,554543即2-2cos(0C-8)=一，cos(0C-国=;55一，求sina的值。立身以立学为先，立学以读书为本一348)=,所以sin(a-8)=,55sinp=，所以cosp=，所以sina=sln(a8)+印例9.平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x亡一二邕44(1)求向量OP和OQ的火角a的余弦用x表示