高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》

1、衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633高三数学复习微专题之平面向虽基本定理系数“等和线”的应用衡东一中朱业明一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高.近年，高考、模考中有关“等和线定理”(以下简称等和线)背景的试题层出不穷.学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高.在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题.二、等和线定理平面内一组基地，及任一向量1舄，HdR),若点C在直线AB上或在平行丁AB的直线上，则=k(定值)，反之也成立,我们

2、把直线AB以及直线AB平行的直线称为“等和线”.(1)当等和线恰为直线AB时，k=1;(2)当等和线在。点和直线AB之间时，k在(0,1);(3)当直线AB在。点和等和线之间时，k在(1,E)；(4)当等和线过O点时，k=0;(5)若两等和线关丁。点对称，则定值k互为相反数;(6)定值k的变化与等和线到。点的距离成正比；.xy简证，如图1若.WO，那么孕 oAllyOB。一O+从而有-十工=1,即x+y=7.另一方面， 过C点作直线l/AB,在l上任作-点C,连接OCcAB=D,同理可得，以OA，为基底时，OC对应的系数和依然为.三、定理运用(一)基底起点相同例1:(2017年全国山卷理科第1

3、2题)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若=十，则|舄+凡的最大值(A.3B.22C.、5D.2【分析】如图2,由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633AFABBEEF3AB与圆相切时，H最大，此时刀=3，故选 A.ABABAB练习 1:(2006 年湖南卷OM/AB， 点P在由射线的延长线围成的阴影区域内运动,且=|xOA|yOB(1)则x的取值范围是【分析】x0;(2)由平面向量基底等和线定理可知，0 x+y1,结合x=-2，可得练习2:(衡水中学2018届高三二次模拟)如图4,边长为2

4、的正六边形ABCDEF中， 动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含短点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量H=|mHJn|(m,|n|R),则|JJJ的取值范围是()A.1,2】B.奴6】C.1.2,5D.1.3,51图4图5【分析】如图|5,设%!%,由等和线结论，m|相=_=2=2.此为m+n1ABAB15 题)如图 3 所示，OM、射线段OB及AB(不含边界)(2)当x=-时，y的取值范围是2(1),根据题意，很显然衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633的最小值；同理，设HTmHnB，由等和线结论，mdn=旦=5.此为m+n2AB的最大值.综上可知m+n在2,5】.衡阳市数

5、学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633（二）基底起点不同例2:（2013年江苏高考第10题）设D,E分别是AABC的边AB,BC上的点,且有AD=&AB,BE=3BC,若=汕+此.（九1，此企R）,则九1+此的值为【分析】过点A作.=.，设AF,BC的延长线交于点H，易知AF=FH,即AF=FH,即DF为BC的1中位线，因此，2=2.练习 3:如图乙在平行四边形 ABCD 中，M,N 为 CD 的三等分点，S为 AM 与 BN 的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 ASMN 内一点（含边界），若.=x|M.=x|M+ +y，则x+y的取值范围是【分析】如图|8|所示

6、，作=H,，过|l|作直线|MN|的平行线，由等和线定理（三）基底一方可变例3:在正方形ABCD中，如图9,E为AB中点，P以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设=|x|Jy|，则|x|+1的最小值图9衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：73i847633【分析】由题意，作，设=?，直线|AC|与直线|PK|相交与点|D|,则有J+JJ,从而Jy当点Pmax=2，此时，（x+y）min=2,练习4:在平面直角坐标系xoy中，已知点P在曲线r：y=1-jxN0）上，曲线与x轴相交丁点B，与y轴相交丁点C,点D（2,1）和E（1,0）满足=?十（小R）则|人+日的最小值为.作CHA，

7、令 DI=|XOD|,有=|x） AHxP,由等和线定理，x九十xH=1,所以九十P=x，如图11,再由等和线定理，得（九+P）min=】2.（四）基底合理调节例题4:（2013年高考安徽理科卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A,B满足|OA=|.卜OAOB=2PE的区域面积是（）A.22B.23C.42【分析】由 IA=11pBAOIJzIA=11pBAOIJzl l可知， OAOA， B B了3.如图12所示， 当槌0,HNo时,若九+卜=1,则点P位于线段AB上； 当冷0,卜壬0时，若H=1,则点P位于线段AB上；当九主0,卜20时，若一兀+卜=1,则点P位于线段AB上；当九0

8、,k0时，若一H=1,则点P位于线段AB上；又因为*十七1,由等和线定理可知，点P位于矩形ABAB内（含边界）.其面积S=4SAOB=刑3.,由等和线定理，丸B重合时，如图10,则点集R所表示D.4、3衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633练习5:如图13所示，A,B,C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交丁圆O外的点D,若=mOA+nOB，贝Um+n的取值范围是，如图|i4|所示，则|AB|/|AI|BI|,过|O 作直线|I/|AB|,则直线 l,AiBi为以 OA， 为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别为0,-1,由题意CO的延长线与线段BA

9、的延长线交丁圆O外的点D,所以点C在直线l与直线AiBi之间，所以m+n在（-1,0）.31练习6:如图i5,在扇形OAB中，NAOB=一3,C为弧AB上的一个动点，若=|xOAIyO斗则IX|3|y的取值范围是，令OB=(、II.3重新调整基底，|OB|.显然，当IC在IA点时，经过|kJi|的等和线，|d在IB点时经过k=3的等和线，这两个分别是最近跟最远的等和线，所以系数和x3yl-i,31.（五）“基底+”高度融合例5:已知三角形AABC中，BC=6,=W+=W+设|f|(x|yHAD|AD|，xy2xyAC=2AB,点D满足f(x,y)芝f(x,y)包成立，00【分析】衡阳市数学学会

10、衡阳市高中教师数学交流QQ群：73i847633则ftx0,y0）的最大值为【分析】衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633本题为“基底+阿氏圆”交汇命题.思路1:如图16所示，以BC为x轴，中垂线为y轴建立直角坐标系，易知点B的轨迹方程是(x5f+y2=16.取AC中点F,延长AB至UE,且AB=BE.于是，f(x,y)芝f(x0,y0)AK|,且有0K*2BG,|因为EF恒过 MCE 重心 H,所以|AK|=2|BG|M2|BH|=4,即f(x,y临=4.思路2:如图17所示，同上分析，D亡EF.当AD1EF时，f(x,y)=取得最小值，此时f(x0,y0月AD.易知MBC三AAEF，则|AD|=AH耳r=4.四、解题总结1、确定等值线为1的直线；2、平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和