自主招生数学试题

1、白主招生试题选讲(清华、北大、交大等)2009,11清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章自主招生试题特点：试题难度高丁高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70%2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。几个热点问题方程的根的问题：21. 已知函数

2、f(x)axbxc(a),且f(x)x没有实数根.那么f(f(x)x是否有实数根？并证明你的结论.(08交大)43一22. 设f(x)(1a)xx(3a2)x4a,试证明对任意实数a:(1) 方程f(x)0总有相同实根；(2) 存在x0,恒有f(x0)0.(07交大)3. (06交大)设k9,解方程x32kx2k2x9k2704. (05复旦)在实数范围内求方程：V10xV7x3的实数根.5. (05交大)x3ax2bxc0的三根分别为a,b,c,并且a,b,c是不全为零的有理数,求a,b,c的值.6.解方程：.求方程xJx2xL2x2(n重根)的解.(09交大)凸函数问题1.(2009复旦)

3、如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x,y都满足f(Kf(x)f(y)，2则称这个函数时下凸函数，下列函数(1)f(x)，、3(2)f(x)xf(x)log2x(x0)（4）f（x）中是下凸函数的有A（1）（2）x,x0,2x,x0,oB.(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（06复旦）x1,x2(0,)，且x乒x2,2卜列不等式中成立的是:3.1(1；21二2A.(1),(3)(09,清华)八一.、.xX2(tanx+tanx2)tan2x1x2sin2,(4)(sinx+sinx2)B.x0,y0,x1,;(2)(tanx+tanx2)tan2一、1.、(4)(sinx+sinx

4、2)2C.(2),(3)nN，证明:x1x2;2xix2sin2D2),(4)柯西不等式设a1,a2,a”及brb2,bn为任意实数，则22(aa222,2an)(b1b2b；）,当且仅当（规定ai0时，bi0）时等号成立。ab(aQa2b2a2b2anbn)2anbn22,1. （03交大）已知x,yR,x+2y=1,则一一的最小值是xy2. 已知2x+3y+4z=10,求x2+y2+z2的最小值。3. ?为ABC内一点，abc求证:一一一d1d2d3d2它到三边BGCA、AB的距离分别为（abc）2.（09南大）d，d2,d3,SAABC的面积,4.给定正整数n和正常数2n1和式aj的最大

5、值=n1人10a/A.(n1);22Sa,对于满足不等式.(07复旦)B十;5.（07复旦）当a和b取遍所有实数时,所能达到的最小值为A.1;B.2;C.3;2aan1c5a/C.(n2则函数f（a,b）D.4.a的所有等差数列a，a2,a3,1);(a53cosb)2(a2sinb)2基础题xe,1. 求f（x）的单调区间及极值.（2007年清华）2. 设正三角形Ti边长为a,Tn1是Tn的中点三角形,An为Tn除去Tn1后剩下三个三角形内切圆面积之和n求limA0,a,b,c是x,y,z的一个排列。求证：-3oxyz12. 求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。13.求所有满

6、足tanAtanBtanCtanAtanBtanC14.的非直角三角形（这里X表示不超过X的最大整数）（2009年南京大学自主招生试题）求由正整数组成的集合S,使S中的元素之和等于元素之积（06,清华）。15.0,n2,1S31Sn1M.（05复旦）y2上，试求AB的中点M到y轴的最短26.已知线段AB长度为3,两端均在抛物线x距离和此时M点的坐标.(07交大)27. 有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。(抛物线内部指焦点所在的一侧)(09清华)求证:a1；28. 数列an满足为12a21,aN1且aN11,其中N2,3,4,L、a1coskZa32a29. （03交大）求证：a3a

7、1为最简分式.30. （04复旦）若存在M，使任意tD（D为函数f（x）的定义域），都有f（x）M,111则称函数f（x）有界.I可函数f（x）sin在x（0,）上是否有界？xx2231. 对于集合MR,称M为开集，当且仅当PoM,r0,使得PR21PPorM.判断集合（x,y）4x2y50与（x,y）x0,y0是否为开集，并证明你的结论.（2007年清华）。32.已知六边形AC1BA1CB1中ACi=ABi,BCi=BAi,CAi=CBi,ZA+ZB+ZC=ZAi+zB1+ZCi求证：ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半(08,北大)较难题33.定义闭集合S,若a,bS,则abS,ab

8、S.（1）举一例，真包含于R的无限闭集合.（2）求证对任启、四个闭集合Si,S234.排球单循坏赛，南万球队比北方球队多9jR,存在cR,但cS2.南力球队总得分是北方球队的（03复旦）9倍。求证：冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）（08北大）35.已知f(x)满足：对实数a、b有f(ab)af(b)bf(a),且|f(x)1,求证f（x）恒为零.（05清华）(可用以下结论：若limg(x)0,f(x)M,M为一常数，那么lim(f(x)g(x)0)xx36已知对x,acosxbcos2x1恒成立，求a+b的最大值.（09北大）37. 某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及

9、以下为不及格,6道及以上为优秀，考场中每人做题数目不全同奇偶.问：不及格者与优秀者哪个多？（09北大）38. 已知aia?a3bAb3（08北大）a1a2a2a3a3a1bb2b2b3b3b1min(ai,a2,a3)min(bi,b2,b3)求证：max(a1,a2,a3)max(b1,b2,b3)39。证明：正整数列aia2,La2n1是常数列的充要条件是其满足性质p：对数列中任意2n项，存在一种方法将这2n项分为两类（每类n个数）,使得两类数之和相等.（09清华）32.（2M9清华）有200件物品,可以用10#个相同的箱子装下（每箱装2件）.现不小心将这200件物品弄如于凝用如下装法任取-件物品，装入第-个箱仁再取-件，若能装入第-箱嶙入第-机削装入第-耕再取-件，若能装入第一件所在辄嫩入，杏嫩入y-箱；以此类推，宜至所有物品都装札印至少需楠多少箱f才能确保装谜瑚件物品？40.,00清华）有2M