数值分析：5-1 插值问题的提出

1、5.1 插值问题的提出插值问题的提出第五章第五章 函数近似计算的插值法函数近似计算的插值法( )iiyf xxf1. 在工程实际问题中,某些变量之间的函数关系是存在的, 但通常不能用式子表示,只能由实验或观测得到 在一系列离散点上的函数值. 2( )f x. 有的函数虽然有表达式,但比较复杂, 计算函数很 不经济且不利于在计算机上进行计算.( ,)( ).iixfyf x希望通过这些数据计算函数在其他指定点处的近似值或获取其他信息,( )( ).P xf x这两种情况下 都希望用简单的函数来逼近原函数插值问题的提出插值问题的提出插值插值：已知a, b上的函数y= f (x)在n+1个互异点处的

2、函数值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0 x求简单函数P (x)，使得( )0,1,( ),*iiP xfin计算 f (x)可通过计算P (x)来近似代替。如下图所示。yxx0 x1f0f1x2f2xifixi+1fi+1xn-1fn-1xnfnP (x)f(x)一、插值问题一、插值问题的数学提法的数学提法这就是插值问题, (*)式为插值条件,( )( )P xf x称函数为函数的 插值函数则称之为插值多项式为多项式函数如果,)(xP称为插值节点点, 2 , 1 , 0,nixi称为插值区间区间,ba个等分点上若给定如函数5,0,sinxy 其插值函数的图象如图00.511.522.

3、533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy( )( )f xP x对于被插函数和插值函数ix在节点处的函数值必然相等( )( )P xf x但在节点外的值可能就会偏离( )( )P xf x因此近似代替必然存在着误差

4、整体误差的大小反映了插值函数的好坏.为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式或有理函数.本章讨论的就是(代数代数)多项式插值多项式插值.1. 满足插值条件的多项式 P(x)是否存在且唯一？2. 若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x);即插值多项式的常用构造方法有哪些？3. 用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误差的估计；对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：4. 当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于 f(x)。二、插值多项式的存在唯一性二、插值多项式的存在唯一性( ) , yf xa b设函数在区间上的代数

5、插值多项式为nnnxaxaxaaxP2210)(且满足()0,1,2, ,niiP xfin.ia其中是n+1个待定的系数012( ),nnP xa a aa即多项式的系数满足线性方程组20102000nnaa xa xa xf201 12111nnaa xa xa xf2012nnnnnnaa xa xa xf-(1)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式nnnnnnxxxxxxxxxV212110200111101)(ninijijxxjixx 0定理定理1. 由Cramer法则,线性方程组(1)有唯一解nnnxaxaxaaxP2210)()0,1,2,niiP xfin-(3)-(2),(jixxji若插值节点则满足插值条件的次数 n 的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(1)推出的插值多项式存在且唯一,但通过解但通过解线性方程组线性方程