六年下册奥数试题-质数与合数全国通用(含答案)

1、第3讲质数与合数知识网络1. 质数与合数(1) 一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数(也叫做素数)。(2) 一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。例如：4、6、8、10、12、14,都是合数。在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数。2. 质因数与分解质因数(1) 如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。(2) 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例

2、如，把42分解质因数，即是42=2X3X7。其中2、3、7叫做42的质因数。又如，50=2X5X5,2、5都叫做50的质因数。重点难点要注意以下几条：(1) 1既不是质数，也不是合数。(2) 关于质数1) 质数有无限多个。2) 最小的质数是2。3) 在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。4) 每个质数只有两个约数：1和它本身。(3) 关于合数1) 合数有无限多个。2) 最小的合数是4。3) 每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。例如，8的约数除1和8外，还有2、4,所以8是合数。学法指导(1) 对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例1方法的优越性。判别269,用2至268中所

3、有的数试除，要除267个数；用2至268中的质数试除，要除41个数；而用本题的方法，只要除6个数。(2) 将质数按照从小到大的顺序逐一去除一个数，来判断这个数是质数还是合数的方法，有弊病。如果一个数是质数，在我们试除的过程式中就永远找不到另一个质数是它的约数。那么，试除的数有什么范围呢？能不能使试除的数少一点呢？请同学们学习例1。(3) 用例1的方法判断一个数是质数还是合数，有着它的优越性，它可以明确试除的质数范围，使试除的数的量进一步减少。例1判断269、437两个数是合数还是质数。思路剖析对于一个不太大的数N,要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数再写出k以内的所有

4、质数。如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能器N,那么N是合数。解答因为勇9。17以内的质数有2、3、5、7、11、13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9,所以269不能被2、5整除；2+6+9=17,所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269,所以269是质数。因为437<21七441。21以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。容易判断437不能被2、3、5、7、11整除，用13、17、19试除437,得到437+19=23,所以437是合数。例2判断数1111112111111是质数还是合数？思路剖析按照例1的

5、方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。解答根据整数的意义，这个13位数可以写成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111X(1000000+1)=1111111X1000001由上式可知111111和1000001都能整除1111112111111所以1111112111111是合数。例3数a是质数，且a+10、a+14也都是质数，数a是多少？思路剖析任何自然数除以3的余数只有3种情况：余1、余2、余0(即能被3整除)。因为10除以3余

6、1,14除以3余2。所以a不能是被3除余1的数，否则a+14能被3整除，就不是质数了。a也不能是被3除余2的数，否则a+10能被3整除，也不是质数。因此a只能是能被3整除的数，a本身又是质数，因此a只能是3。解答由上述分析可知数a只能是3。点津本题分析中有这样一条规律：如果两个数除以3的余数相加的和能被3整除，那么这两个数的和也能被3整除。例4三个质数的和是80,这三个质数的积最大是多少？思路剖析由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。另两个质数的和是78,要使乘积尽可能大，那么这两个质数的差值应尽可能小。显然，和是78的两个质数中，以4

7、1与37的差最小，即这两个数的积最大。解答三个质数的积是2X37X41=3034例5找出1100这100个自然数中所有的质数。思路剖析要找出1100这100个自然数中所有的质数，可以依次把这100个自然数的每一个数的约数求出来，找出其中只有两个约数的数。不过这种方法显得笨拙，可以用淘汰法，也就是首先把比2大的所有2的倍数全部划去，然后在余下的数当中划去所有比3大且是3的倍数的自然数，接下来再把余下的数当中比5大且是5的倍数的自然数全部划去，如此进行下去，即可得到100以内的所有质数。解答100以内的所有质数为：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、5

8、9、61、67、71、73、79、83、89、97。点津想一想，在上面筛去100以内的合数的过程中，为什么最后筛去的是大于7的倍数，而不再筛去大于11的倍数，筛去大于13的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中，由于100=10X10,所以100以内所有合数只有大于10的因数，必然就有一个小于10的因数。也就是说，100以内的任何一个合数一定能被10以内的质数整除，而10以内的质数只有2、3、5、7这4个，所以最后筛去大于7的倍数就可以了。例6判断391、123456789是质数还是合数。思路剖析在自然数中，除了1以外的数，若不是质数，则必是合数，二者必居其一。要判断一个数是质数还是合

9、数，根据合数的定义，只要找到一个既不是1又不是这个数的本身的约数即可。一般方法只要把2、3、5、7、这些质数按由小到大的次序，逐一去除所要判断的那个数；如果有某个质数恰好是它的约数，则所给的自然数为合数；如果这样的质数不存在，则所给的自然数为质数。解答将质数2、3、5、7、11、这些质数逐一去除391，发现391能被17整除，所以391是合数。将质数2、3、5、7、11、这些质数逐一去除123456789,发现123456789是3的倍数，所以123456789是合数。另外，根据能被3整除的数的特征，也可以证明123456789是3的倍数，故123456789是合数。例7判断439、943这两

10、个数是合数还是质数。解答因为2尸=如亦439,翌=441439所以找到了大于439且接近439的平方数2好。21以内的质数有2、3、5、7、11、13、15、17、19。根据整除的特征，很容易判断出439不能被2、3、5、7、11整除；用13、17、19试除439，均不能整除。所以439是质数。因为3护=900<943,31961>943所以找到了大于943且接近943的平方数31'。31以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、共十个。很容易推断出2、3、5、7、11均不能整除943;再用13、17、19、23、29试除943,发现943能被23整除

11、。所以943是合数。例8m为一个质数，且m+16、m+20也均是质数，求m是多少？思路剖析我们知道，任何自然数被3除只有三种情况：即被3整除，被3除后余1和被3除后余2,故，我们作如下讨论：(1) m不能是被3除余1的数，因为若m被3除1,则m+20就能被3整除，就不是质数了。(2) m也不能是被3整除余2的数，因为若m被3整除余2,则m+16就能被3整除，则不是质数，所以m只可能是被3整除的数，且又要求为质数，因此m=3。解答设q为m被3除的商，若m=3q+1,则3整除(m+20)若m=3q+2，贝U3整除m+16所以m=3q,且m为质数，所以m取3。答：m为3。例9有人说：“任何7个连续自

12、然数中一定有质数”，请你举一个例子，说明这句话是错的。解答解法一：题目要求我们具体找出7个连续的合数。中间夹着7个连续合数的两个质数，其差一定大于7,所以只要找到差大于7的两个相邻质数即可。质数89与97相邻，它们的差97-89=8乙所以89与97之间的七个连续自然数90、91、92、93、94、95、96全是合数，没有质数。可见“任何7个连续自然数中一定有质数”这句话是错误的。解法二：任取7个连续的自然数，找出它们的一个公倍数，给它们各自加上这个公倍数，所得7个新数仍是连续的，并且原来的7个数分别是这7个数的约数，所以7个新数全是合数。任取7个连续的自然数，比如2、3、4、5、6、7、8,8

13、40是它们的一个公倍数，给2、3、4、5、6、7、8每一个都加上840得到842、843、844、845、846、847、848,这7个连续自然数分别有约数2、3、4、5、6、7、8,可见它们都是合数，没有一个是质数，因此“任何7个连续自然数中一定有质数”这句话是错误的。发散思维训练1. 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？2. 975X935X972X(),要使这个连乘积的最末4个数字都是0,在括号内最小应填什么数？3. 把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？4. 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且

14、只能用1次，那么这九个数字最多能组成几个质数。5. 有三张卡片，在它们上面各写着一个数字7、8、9,从中抽出一张、二张、三张,接任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请将其中的质数写出来。6. 两个质数的和是50,求这两个质数乘积的最大值是多少。5的倍数的乘积。7.2000年的哪几天，年数、月数和日数的乘积恰好等于三个连续的参考答案发散思维训练1. 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1至9中有4个质数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然数中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个数其

15、个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。2. 解：要使连乘积最末4个数字都是0,连乘积应是10000的倍数，即要连乘积的因数中含4个2,4个5,因为2X2X2X2X5X5X5X5=10000975=5X5X39,935=5X187,972=2X2X243;其中已有两个2和三个5,因此，只需要再乘上两个2和一个5,即2X2X5=20就可以了。故在括号内最小应填20。3. 解：首先假设可以拆成五个不同质数之和（分成六个或六个以上质数之和不可能）：33是奇数，因此五个质数中不能有2（否则和是偶数），取最小连续五

16、个奇质数3、5、7、11、13的和是39,超过33,所以分成五个是不可能的。假设33可以分成四个质数之和，33是奇数，因此四个数中一定有一个偶数2,即其余三个的和是31,显然可以找出其余三个分别是：3、5、23;3、11、17;7、11、13;5、7、19。在这些三个数的乘积中最大的是7X11X13=1001。假设33可分成三个质数和，只可能是3、13、17;3、11、19;3、7、23;5、l、17。乘积均小于2X7X11X13,33若分成为两个质数之和，只可能是2和31,乘积仅为62,故应将33写成四个数2、7、11、13的和时，它们的积最大。答：这几个质数分别是2、7、11、13。4.

17、解：每个数字都要用到且只能用1次，同时又要组成的质数最多。我们在组成质数时，尽可能地将合数4、6、8、9和最小自然数1组成两位数，同时数字8和9可以组成质数89,另外，一位质数不能是2、3、5、7四个，不然数字l、4、6、8、9无法组成两位质数，那么当一位质数为3个时，两位质数也为3个（例如：2、5、7、43、61、89或2、3、5、47、61、89）。答：这九个数字最多可组成6个质数。5. 解：数字卡片9倒过来变成6,而7+8+9=24,6+7+8=21,可知抽三张卡片时，无论按什么顺序排列的三位数都能被3整除，所以它们都不是质数。从中任取=张卡片，按不同的顺序排列的两位数中有97、67、79、89是质数；从中任意抽取一张卡片得到的一位数中只有7是质数。所以，所求的质数有7、97、79、89、67五个。6. 解：把50表示为两个质数的和，共有四种形式：50=47+3=43+7=37+13=31+19因为31X19=589>37X13=481>43X7=301>47X3=141所以所求的最大值是589。7. 解：因为20DQ=-必,它是有三个5的乘积的倍数，只需使另外三个数