全等三角形单元复习练习(Word版含答案)

1、全等三角形单元复习练习（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.在R0ABC中，NABC=90°,AB=3,BC=4,点E,F分别在边AB,AC上，将ZkAEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上.则线段CP长的取值范围是.【答案】1<CP<5【解析】【分析】根据点E、F在边AB、AC上，可知当点E与点B重合时，CP有最小值，当点F与点C重合时CP有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，A此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,如图，当点F与点C重合时，CP的值最大,A此时

2、CP=AC,RUABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,根据勾股定理可得AC=5,所以CP的最大值为5,所以线段CP长的取值范围是1<CP<5,故答案为1<CP<5.【点睛本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC±,点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.2. 如图，在四边形ABCD中，BC=CD,对角线平分匕4OC，连接AC,ZACB=2ADBC,若AB=4,BD=10,则SABC=.【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD/BC,然后根据平行线的性质和已知条

3、件可推出CA=CD9可得CB=CA=CD9过点C作CEA.BD于点E,CF±AB于点F,如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE的长和ZBCF=ZCDE,然后即可根据AAS证明BCFMDE,可得CF=DE,再根据三角形的面积公式计算即得结果.【详解】解：BC=CD,:.ZCBD=ZCDB.V 平分ZADC,ZADBNCD8,:.zcbd=zadb9:.ad/bc9:.zcad=zacb,/ZACB=2ZDBC,ZADC=2ZBDC,/cbd=zcdb,ZACB=ZAOC，.ACAD=ZADC,:.CA=CD.:.CB=CA=CD9过点C作CE±BD于点E,CFLAB于点

4、F,如图，则DE=：BD=5,2zbcf=Lzacb,2V ZBDC=-ZADC.ZACB=ZADC,nBCFdCDE,2在4BCF和ZkCDE中，；ZBCF=ZCDE，ZBfC=ZCED=90%CB二CD,:.BCFWCDE(AAS),:CF=DE=5,S=AB-CF=x4x5=10.wc22故答案为：10.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.3. 我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三

5、角形(1) 如图，在AABC中，匕4=25。,匕ABC=105。，过8作一直线交AC于£),若BD把M8C分割成两个等腰三角形，则的度数是.(2) 已知在AA8C中，AB=AC,过顶点和顶点对边上一点的直线，把AA8C分割成两个等腰三角形，则匕4的最小度数为.。(180Y【答案】130|j【解析】【分析】(1) 由题意得：DA=DB,结合ZA=25°,即可得到答案：(2) 根据题意，分4种情况讨论，当BD=AD,CD=AD,当AD=BD,AC=CD,AB=AC,当AD=BD=BC,当AD=BD,CD=BC,分别求出£4的度数，即可得到答案.【详解】(1) 由题意得

6、：当DA=BA,BD=BA时，不符合题意，当DA=DB时，贝IZABD=ZA=25°,.ZBDA=180°-25°x2=130°.故答案为：130。：(2) 如图1,.AB=AC,当BD=AD,CD=AD,.ZB=ZC=ZBAD=ZCAD,VZBAC+ZB+ZC=180°,A4ZB=180°,ZBAC=90°. 如图2,VAB=ACt当AD=BD,AC=CD,AZB=ZC=ZBAD.ZCAD=ZCDA.:ZCDA=ZB+ZBAD=2ZB,AZBAC=3ZB,VZBAC+ZB+ZC=180°,A5ZB=180

7、6;,AZB=36°,:.ZBAC=108°. 如图3,VAB=AC,当AD=BD=BC,AZABC=ZC.ZBAC=ZABD,ZBDC=ZC,.:ZBDC=ZA+ZABD=2ZBAC,ZABC=ZC=2ZBAC,ZBAC+ZABC+ZC=180°.A5ZBAC=180°,ZBAC=36°. 如图4,.AB=AC,当AD=BD,CD=BC,AZABC=ZC>ZBAC=ZABD,ZCDB=ZCBD,.:ZBDC=ZBAC+ZABD=2ZBAC,:.ZABC=ZC=3ZBACtZBAC+ZABC+ZC=180°,A7ZBAC=180

8、°,180oAZBAC=()°1QA综上所述，NA的最小度数为：（号）。.图1AD图2DB图35图4【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键.4.如图，P为NAOB内一定点，M,N分别是射线OA,OB上一点，当PMN周长最小时，ZOPM=50%贝IJZAOB=【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA,OB的对称点Pi,P2.连接OPi,OP2.则当M,N是P1P2与OA,OB的交点时，APMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：ZOPiM=NOPM=50。，OPOP2=OP，根据等腰三

9、角形的性质即可求解.【详解】如图：作P关于OAfOB的对称点Pi,P2.连接OPi,0P2.则当MfN是PR与OA、0B的交点时，APIVIN的周长最短，连接PO、P2。，PPi关于OA对称，AZPiOP=2ZMOPrOP1=OP,PiM二PM,ZOP1M=ZOPM=50°同理，ZP2OP=2ZNOP,OP二OP2,AZPiOP2=ZPiOP+ZP2OP=2(ZMOP+ZNOP)=2ZAOB,OPi=OP2=OP,.P1OP2是等腰三角形.ZOP2N=ZOPiM=50°,AZPiOP2=180o-2x50°=80<,f/.NAOB=40°,故答案为

10、：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得左?】。?是等腰三角形是解题的关键.5.如图，在ABC中，AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,若ZBAC=126°,则匕EAD=°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB的中垂线可得匕。4£),再根据AC的中垂线可得ZE4C,再结合ZBAC=126°即可计算出匕EAD.【详解】根据AB的中垂线可得ZBAD=XB根据AC的中垂线可得ZE4C=ZCZB+ZC=180°-126°=54°又.ZBAD+ZDAE+ZEAC=ZBAC=126

11、6;ZB+ZC+ZDAE=126°ZDAE=72°【点睛】本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,匕4=60。，点EJAD边上一点，连接BD.CE,CE与BD交于点、F,且CE/AB.若AB=8,CE=6,则8C的长为.【答案】2J7【解析】【分析】由AB=AD,BC=DC知点A,C都在BD的垂直平分线上，因此，可连接AC交于点。，易证是等边三角形，£©尸是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,0C的长度，应用勾股定理可求解.【详解】解：如图，连接AC

12、交于点。VAB=AD,BC=DC,ZA=60°,AAC垂直平分BD，8切是等边三角形AZBAO=ZDAO=30°,AB=AD=BD=8,BO=OD=4CE/AB.ZBAO=ZACE=30°,ZCED=ABAD=60°ZDAO=ZACE=3(TAE=CE=6:.DE=AD-AE=2ZCED=ZADB=60°.EDP是等边三角形:DE=EF=DF=2：.CF=CEEF=4,OF=ODDF=2OC=>CF2-OF2=2占BC=yjBO2+0C2=27【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间

13、等量关系的转换是解题的关键.7. 如图，已知每个小方格的边长为L月、8两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C,使ABC是等腰三角形，这样的格点C有个。AB【答案】8【解析】【分析】分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）：此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.【详解】解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）：以B点为圆心，AB为半径作圆，在OB±的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点.故使AABC是等腰三角形的格点C有8个.,4A/t1.,11,ii.1i11【点睛】本题考查了等腰三角形

14、的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题.8. 已知如图，每个小正方形的边长都是1，4，总，4.都在格点上，都是斜边在工轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三角形.若A/q的三个顶点坐标为4(2,0),&(1,-1),人(0,0)测依图中规律，则的坐【答案】(-8,0)【解析】【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A】9所在的三角形，并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=i对称，第偶数个三角形关于直线x=2对称，求出oa】9,写出坐标即可.【详解】解：设到第n个三角形顶点的个数为y则y=2n+l,当2n+l

15、=19时,n=9,.A”是第9个三角形的最后一个顶点，.等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6.第9个等腰直角三角形的斜边长为2X9=18,由图可知，第奇数个三角形在x轴下方，关于直线x二1对称，AOA13=9-1=8,.的坐标为(8,0)故答案是(-8,0)【点睛】本题考查点的坐标变化规律，根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A19所在的三角形是解题关键9.如图，在AABC中，AB=BC=8,AO=BO,点M是射线CO上的一个动点，ZAOC=60。，则当ABM为直角三角形时，AM的长为.【答案】4。或4后或4【解析】【分析】分三种情况讨论：当M在AB下方且ZAMB=90°时，当M在

16、AB上方且ZAMB=90°时，当ZABM=90。时，分别根据含30。直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可.【详解】如图1,当ZAMB=90°时,.O是期的中点，AB=8,OM=08=4,又ZAOC=ZBOM=60°f.80M是等边三角形，:.BM=B0=,:.RtABM枷二Jab】-bm'=4;如图2,当ZAMB=90°时,.O是A8的中点，AB=8,：.0M=0A=n,又ZAOC=60°,.AOM是等边三角形，:.AM=A0=4；如图3,当ZABM=90°时，9：ZBOM=ZAOC=60&

17、lt;>f:.ZBMO=30°rAMO=28O=2x4=8,商BOM中，BM二MO匚OB?,:,RtABM中，NM=Jab，+BM，=综上所述，当M8M为直角三角形时，AM的长为4JT或4J7或4.故答案为4JJ或47或410.如图，中，AB=AC=12厘米，8C=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段8C上以"厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时点Q在线段朗上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当ABPD与ZiCQP全等时，v的值为【答案】2.25或3【解析】【分析】分两种情况讨论：若BPDACPQ,根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米,BP=

18、CP=1bC=Ix9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；若229V/6BPD竺CQP,贝iJCP=BD=6厘米，BP=CQ,得出，解得：v=3.vt=3t【详解】解：ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，BD=6厘米，若左BPDACPQ,则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=|bC=|X9=4.5（厘米），.点Q的运动速度为3厘米/秒，点Q的运动时间为：64-3=2（s）,Av=4.52=2.25（厘米/秒）:若左BPD竺CQP,则需CP=BD=6厘米，BP=CQ,。一W=6则有c，vt=3t解得：v=3.v的值为：2.25或3厘米/秒故答案为：2.25或3.【点睛

19、】本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质.注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11.如图所示，0P平分匕PA1OA,PBLOB,垂足分别为4、B.下列结论中不一定成立的是（）.APBA.PA=PBc.0A=OBB.P0平分NAPBD.A8垂直平分0P【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB,再利用“HL”证明AAOP和ABOP全等，可得出ZAPO=ABPO,OA=OB,即可得出答案.【详解】解：.0P平分匕PAVOA,PBLOBPA=PB,选项A正确：在AOP和ABOP中，PO=POpa=pb&

20、#39;：.AOP=BOP:.ZAPO=ZBPO,OA=OB,选项B,C正确：由等腰三角形三线合一的性质，0P垂直平分AB,AB不一定垂直平分0P,选项D错误.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键.12.已知ZMQV=40°,P'为ZMON内一定点，上有一点A，ON上有一点B，当A.40°B.50°C.100°D.140°【答案】c【解析】【分析】设点P关于OM、QV对称点分别为点、,当点A、在上时，唯周长为PA+AB+BP=PP，,此时周长最小.根据轴对称的性质，可求出匕4

21、所的度数.【详解】分别作点P关于QM、ON的对称点P，、产,连接OP'、OP”、PP交OM、QN于点A、B,连接24、PB,此时周长的最小值等于叩.由轴对称性质可得，OP=OP”=OP,zp,oa=zpoa9ob=ob,/./TOPf=2ZMON=2x40°=80°,.*OP，P”=ZOP'P'=（180。一80°）+2=50。，又.DR?=Z"'g=50°,ZAPO=ZAPO=.:./APB=ZAPO+ABPO=100°.故选：C.【点睛】此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路

22、径问题，根据轴对称作图是解题的关键.13.如图，AAOB=a,点P是匕4OB内的一定点，点分别在04、彼上移动,当AF"的周长最小时，ZMPN的值为（）QMAA.90+aB.90+-aC.180-aD.180一2a2【答案】D【解析】【分析】过P点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P点作OB的对称点4,过P作OA的对称点4,连接£4,交点为M,N,则此时PMN的周长最小，且八4人/和八PMR为等腰三角形.此时ZPP>=180°-a；设ZNPM=x°,则180

23、6;-x°=2(ZP/-xo)所以x°=180°-2a【点睛】求出M.N在什么位子PMN周长最小是解此题的关键.14.如图，匕403=60'，OC平分匕4QB，如果射线Q4上的点E满足/XOCf是等腰三角形，那么ZOEC的度数不可能为()A.120°B.75°C.60°D.30°【答案】C【解析】【分析】分别以每个点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义确定NOEC是度数即可得到答案.【详解】£408=60°，0C平分匕4QB，ZAOC=30°,当0C=CE时，ZOEC=ZAOC=30

24、76;,当oe=ce时，Noec=180°-NOCENCOE=120。，当0C=0E时，Z0EC=-(180°-NCOE)=75。，2.Z0EC的度数不能是60°,故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的定义，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关健.15.在一个3x3的正方形网格中，A，是如图所示的两个格点，如果C也是格点，且ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数是()【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.【详解】解：根据题意，画出图形如图：共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画

25、出符合实际条件的图形是解答本题的关键.16.如图，在锐角ZVIBC中，AC=10.Sw=25,ZBAC的平分线交8C于点D,点M,N分别是AD和A8上的动点，贝IBM+MN的最小值是（）24A.4B.C.5D.65【答案】C【解析】试题解析：如图,AD是ZBAC的平分线，点B关于AD的对称点B，在AC上，过点B，作B#N±AB于N交AD于M.由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B/N=BM+MN,过点B作BE±AC于E,VAC=10rSaabc=25,IA-xlO>BE=25,2解得BE=5,AD是ZBAC的平分线，B，与B关于AD对称，AB二AB

26、',ABB，是等腰三角形，ABZN=BE=5,即BM+MN的最小值是5故选C17.如图，R摩BC中，ZACB=90tAC=3,8C=4,AB=59将边AC沿CE翻折，使点A落在ABh的点D处：再将边8C沿CP翻折，使点8落在CD的延长线上的点&处，两条折痕与斜边A8分别交于点£、F,则线段EF的长为（）【答案】B【解析】【分析】先利用折叠的性质证明出AECF是一个等腰直角三角形，因此EF=CE,然后再根据文中条件综合得出Smbc=：ACBC=!aBCE,求出CE进而得出答案即可.22【详解】根据折叠性质可知：CD=AC=3,BC=g'C=4,ZACE=ZDCE

27、,ZBCF=ZBrCF,CE_LAB,AZDCE+ZBrCF=ZACE+ZBCFtVZACB=90°,AZECF=45°,XVCE1AB,.ECF是等腰直角三角形，AEF=CE,又Saabc=-AC-BC=LABCE,22AACBC=ABCE,VAC=3.BC=4,AB=5t:,CE=t512AEF=.5所以答案为B选项.【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.18.如图，在ABC中，ZS=2ZC,AH±BC,AE平分至AC,M是8C中点,则下列结论正确的个数为（）（1）AB+BE=AC（2）AB+2BH=BC（3）AB=2HM（4）CH+EH=ACA.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】（1）延长AB取BD=BE,连接DE,由ZD=ZBED,ZABC=2ZC得到ZD=ZC,在ADE和八ACE中，利用AAS证明ADE竺ACE,可得AOAD=AB+BE：（2）在HC上截取HF=BH,连接AF,可知AABF为等腰三角形，再根据ZABC=ZAFB=2ZC,可得出afc为等腰三角形，所以fc+bh+hf=ab+2BH=bc：（3）所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH,再结合（2）中结论，可得AB=2HM（4）结合（1）（2）的结论，AC=A3+8E=BC2BH+BE=BCBH+BEBH=CH+E