特殊的平行四边形(9)

1、特殊平行四边形一、学生知识状况分析 在八年级教材中，学生已经对菱形、正方形的性质及其判别方法，通过一些直观的 方法进行了大量的探索，所以学生对所要学习的结论已经有所了解。其次经历了证明（一）、证明（二）的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树 立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。再次在以前的数学学习中，学生 已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交 流的能力。二、教学任务分析 因为这节课所涉及的很多命题，学生已有所了解，对于这些命题，教科书利用提问 的方式让学生联想回忆， 然后利用已有的定理证明它们， 让学生从中体会证明的必要性，

2、 理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。因此，本节课 注重新旧知识的结合及学生推理能力的提高，而不要追求证明题的数量和证明的技巧。 对证明方法和证明过程的体验，成为本节课的重点。此外，这部分题目多数有多种思路，注意引导学生选用不同的知识点、从不同的角 度思考问题；注意让学生对解题思路和办法进行辨析，从而能对众多解法作优化选择； 注意渗透归纳、 类比、 转化等数学思想方法， 而不是给学生一个固有的模式往题目中套。三、教学准备1、课前布置学生动手制作一个菱形和一个正方形。2、课前需要对学生进行分组，前后桌4 人一组，每组包括能力不同的学生，设组长 1 名，中心发言人 1

3、名。组长主要负责引领和鼓舞同学学习积极性。四、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知（分为 两部分）；第三环节：归纳应用（分为两部分） ；第四环节：感悟与收获；第五环节：布 置作业。（一）设置问题情境，引入新课 我们曾在前面探讨过另一种特殊的平行四边形 - 菱形，大家还记得它吗？ 我们来共同回忆一下。1、菱形的定义2、菱形的性质3、菱形的判别方法师：菱形的这些性质和判别方法我们是怎样得到的？那么你能用几何推理过程来证明它们吗？这节课我们就来证明菱形的性质和判别方法。设计意图：（1）以问题串的形式引入新课，让学生明确本节课所要解决的问题。（2）让学生回忆菱

4、形性质和判定的探索过程及其得出的结论，目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。实际效果：因为前面对平行四边形及矩形的学习，学生回答问题比较有针对性，能 概括地从“边、角、对角线”等几个方面回答，较有条理。当然也有个别学生语言表述 不到位，需老师同学适时点拨、补充、鼓励。（二）探究新知I师：同学们自己推证菱形性质，行吗？说明：小组内交流，中心发言人回答，及时让学生补充不同的思路，关注每一个学 生的参与情况。学生A:平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分而菱形是特殊的 平行四边形，所以菱形也具有平行四边形具有的一切性质。学

5、生B:菱形是一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等可以获 得菱形的四条边都相等。学生C:因为菱形的两条对角线将菱形分割成了四个全等的三角形，所以我们可以 得到菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。师：谁能说出B、C两个同学所说的菱形性质的已知，求证呢？学生D:已知：如图，四边形 ABCD是菱形，AB=BC求证：AB=BC=CD=AD证明：四边形 ABCD是菱形 AD=BC AB=CD又 AB=BC AB=BC=CD=AD学生E:已知：如图，菱形 ABCD勺对角线相交于 0点求证：AC丄BD AC平分/ BAD和/ BCD BD平分/ ABC和/ ADC证明：四边形 A

6、BCD是菱形 AB=AD OB=OD AC丄 BD, AC平分/ BAD(等腰三角形的三线合一)同理得：AC平分/ BCDBD 平分/ ABC 和/ ADC设计意图：首先引导学生类比平行四边形的性质感知菱形性质的特殊性，符合学生 的认知规律。其次整个过程重新回顾了命题证明需经历的步骤，为进一步发展学生的推 理论证能力奠定了基础。再次整个过程采用合作学习的策略，鼓励学生多层面、多角度 地思考菱形性质的论证过程，目的在于加深学生对性质本身的理解和掌握，同时也丰富 了交流的内容，激发了交流的气氛，使新旧知识融会贯通，达到同学间的沟通、互补、 共同提高的目的。实际效果：课堂学习气氛浓厚，大多数同学会象

7、B同学和C同学那样运用合情推理的方式论证，对于 D同学的问题，个别学生在回答已知时，只写了已知：如图，四边形 ABCD是菱形，未注明里面已隐含的一组相等的邻边，导致证明时，遇到了困难。另外对于E同学的问题，学生们回答的思路也是多角度的，有想到利用等腰三角形三线合一的，也有利用三角形全等的。在多种思路中老师引导同学做了优化选择，并且利用课件作了 展示，加深了印象。(三) 归纳应用I1、菱形的性质：(1)菱形具有平行四边形的一切性质(1 )菱形的四条边都相等。(2 )菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角师：接下来我们来看一个例题以熟悉巩固菱形的性质。2、利用性质解决问题例2如图，四边形

8、ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm. 通过以上已知条件你能获得哪些结论？若将菱形ABCD勺边长改为10cm.你又能获得那些结论？并说明你的理由。设计意图：设置开放性题目是培养学生的创造性思维的有效方式之一，冋时也有利于学生积极地参与数学活动。本环节将教材的例题加以改编，以开放题的形式呈现，让 学生从多角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极 性。两个问题的设置渗透了从一般到特殊的思维方法。实际效果：由于冋题开放性较大，不同层次的学生都能根据自己的发现，提出不同的问题。所以学生情绪高涨，讨论热烈，思维完全放开，有见地的结论不断涌现。课堂 上利用课

9、件展示了对角线 AC及菱形面积的求解过程，使学生进一步感受了数学几何语言 的严谨性。师：同学们再来看例题的图形，你还会发现什么?3、方法总结：学生F:菱形的每一条对角线可以把菱形分成两个全等的三角形，菱形的两条对角线可以把菱形分成四个全等的直角三角形，因此关于菱形问题往往可以转化为等腰三角 形或直角三角形的问题来解决。学生G：如果菱形的两条对角线长分别为a、b则菱形面积为ab设计意图：由于学生的智力差异，每道例题学完后，总有部分学生对例题所讲的思想方法、解题思路掌握得不牢靠，在例题教学后回顾和总结解题 思路则显得十分必要。在反思中，学生对例题进行再认识、再理解、再提高， 既培养了学生归纳、概括

10、的能力，又训练了学生思维的深刻性。4、试一试：(1)已知：菱形ABCD中, E、F分别是 CB CD上的点且 BE=DF 求证： ABEm ADF(2)连接AC你能确定AC与 EF的关系吗？(3)已知菱形的对角线长分别为6、8，则周长为20面积为24设计意图：华罗庚说过：学数学而不练，犹如入宝山而空返，该练习将新旧知识联 系起来，深化对菱形性质的理解，提高学生对问题的转换能力与探索能力。5、想一想：请同学们拿出课前准备的正方形，观察它与我们刚学习的菱形有什么 不同？正方形是怎样定义的？正方形具有哪些性质？你能证明他们吗？设计意图：学生经历了矩形、菱形性质的探索、论证过程，不难想到：从正方形的

11、定义出发探讨正方形所具有的性质，这既是对矩形、菱形性质本身及探索方法的巩固， 又把证明作为了探索活动的自然延续和必要发展，更有利于学生对证明的全面理解。实际效果：虽然学生对于正方形的书面定义有所淡忘，但大多数学生都知道正方形是特殊的矩形和菱形，应该具有矩形和菱形具有的一切性质。对于正方形性质的证明，课堂上学生们采用的是合情推理的方法，只要条理清楚，言之有据，老师均给予了肯定不妨试一试!和鼓励，另外在学生叙述的基础上，老师利用课件进行了总结，加深印象。 师：同学们归纳、论述的很好，但不知在具体的问题情景中大家是否会用，6、例3如图，四边形 ABCD是正方形，延长 BC至点E,使CE=AC 连结A

12、E,交CD于F,你能求出/ AFC的度数吗？解：正方形 ABCD/ BAD=90/ DAC= 1 / BAD=i X 90° =45/ D=90 AD/% / AD/ BC/ CE=AC/ CAE玄 E/ DAE玄 CAE=1 X 45° =22.5 °2/ AFC=/ DAE+Z D=22.5 ° +90° =112.5练一练：若 AC=4则正方形边长长丁2 ；正方形面积 8设计意图：既是对正方形的性质的落实，又进一步发展了学生的推理能力，根据学 生的回答，利用课件加以演示，引导学生使用规范性的几何语言清晰、有条理地表达自 己的思考过程，做到

13、言之有理，落笔有据。对于正方形面积的求法可以借助于勾股定理， 也可以用对角线之积的一半来完成，对于想到后者的同学要肯定其思维的灵活性。实际效果：课堂上学生们探索了各种不同的解题思路，通过交流比较能作优化选择。（四）探究新知n内容：问题引入：请大家将课前准备的菱形拿出，以小组为单位用自己手中的工具：直尺、三角板或圆规迅速检查一下你们小组成员所做的四边形是不是菱形，你是怎样检查的？你为什么要这样做？用你的检查方法判断你们小组有几个人做得不标准？你还记得怎样判别一个平行四边形是菱形吗？那么满足什么条件的四边形是菱形？你能证明吗？设计意图：每一个学生都经历了制作菱形的过程，做前学生就必然要考虑怎样做，

14、 并且他会以自己做的标准检测同伴所做的图形，达到了同学间知识的交流与互补。另外 培养了学生良好的思维习惯，通过直觉感知的知识，还须得到理论的证明，形成辨证唯 物主义的思维方式。实际效果：因为所用工具及在测量过程中出现的误差，小组成员间有了争议。被测者想了各种方法去说服测量者，达到了让学生进一步体会证明的必要性的目的。另外经 历了平行四边形、矩形的学习，个别学生想到判定定理与性质定理是互为逆命题，由菱 形的性质定理想到菱形可能具有的判别方法。归纳要点n：菱形的判别方法：1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。3、四条边都相等的四边形是菱形。说明：利用课件

15、将学生能想到的判别方法作了总结，除定义外，其他的判别方法要 求学生：选择其中一个画图，写已知、求证，并思考证明过程，老师巡视指导，然后小 组间交流，中心发言人回答，通过引导学生反思本题是否还有其他解法，比较哪种解法 较为简捷，进一步拓宽学生的解题思路，培养思维的灵活性。DC学生H:已知：ABCD中，对角线 AC丄BD于0点。A证明:ABCD求证：ABCD是菱形 AO=CO又 AC 丄 BD AB=BC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）又 ABCD ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）学生I :已知： 在四边形 ABCD中,AB=BC=CD=AD a求证：四边形ABC

16、D是菱形证明： AB=CD BC=AD ABCD是平行四边形又 AB=BC四边形ABCD是菱形实际效果：个别学生在书写已知、求证时存在困难，有将条件、结论混淆的，有语 言叙述罗嗦、不严谨的。同样，在证明的论述过程中也有学生出现了语言罗M嗦、不严谨的情况。为此，老师不要急于求成，多找几个同学 补充，使学生参与到使用规范的数学语言表述论证的过程中， 培养学生清晰而有条理地表达自己的观点并理解他人思维的 能力。（五）应用n1、求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形2、已知两条对角线，怎样用尺规作一个菱形3、拓展延伸：已知厶 ABC中AB= AC M为底边BC上任意一点，过M点做AC AB的

17、平行线交 AC于P,交AB于点Q则M位于BC什么位置时，四边形 AQMI为菱形，并说明理由。设计意图： 旨在体现因材施教、 分层教学的原则， 让不同层次的学生都能得到提高，学生完成各自任务后，小组间先交流，讲解，后集体订正。练习1 是菱形判定方法探究的继续，对于练习 2，其做法需要作一些分析转换，在操作过程中让学生体验对角线互 相垂直平分的四边形是菱形。练习3 是分析法、综合法的综合运用，目的是：培养培养学生思维的广阔性和灵活性。4、想一想： 师：你手中的正方形是怎样制作的？除了利用定义我们可以判断正方形外，你还有 哪些方法？你能证明它们吗？说明： 小组内交流， 教师关注各小组中每个学生参与的

18、积极性及小组内的合作交流 情况，对于正方形的判别，大多数学生习惯于合情推理的论述方式，教师要重视学生语 言表述的条理性及严谨性。另外教师利用课件及时总结，让学生学以致用。（六）感悟与收获：师：通过本节课你学习到了哪些知识？对你有什么帮助？（师可以从以下几个方面进行提示：1整节课的感悟；2探索总结的规律；3某个 知识点的困惑；4你的新发现；5学到的数学思想方法。）设计意图： 学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳、概括能力和语言表达能 力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。（七）布置作业必做题：书P96第6、7题；选做题：F9o第3题，F94第2题。五、教学反思1、在教学中，着重采用了“回顾 -引导 -类比- 探索”的教学方法，配合小组合作， 教学中鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法；提倡证明方法的多样性，并 引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同