江苏十三大市各模考填空题压轴题的解答

1、2011年填空题压轴题常见题型复习指导1题1(苏锡常镇四市一模)设mN,若函数f(x)=2x_m5X_m十10存在整数零点，贝Um的取值集合为.m的取值集合为(0,3,14,30.注将“m£N”改为“mN*”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程2x_mJ10_x_m+10=0有整数解,贝Um所有可能的值是.题2（淮安市一模）已知数列（an,（bn满足a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数i,j,k,l，当i+j=k+l12011时都有ai+bj=ak+bi,则Z（ai+bi）的值是.2013.2011ia变式1已知数列(an

2、,(bn满足a=1,a2=2,b=2，且对任意的正整数i,j,k,l，当i+j=k+1时都有abj=ak-bi,1n贝U-£（ai+bj的值是.3.ni4变式2已知数列(an,(bn满足a1=1,a2=2,b=2,且对任意的正整数i,j,k,l,当i+j=k+1时都有aib=akbi,nA记Cn=V(a+b)(a2+炬)&3十炫)(an+bn)，则数列(cn的通项公式是.3乂22.题3(常州市一模)若对任意的xD,均有f(x)vf(x)<f2(x)成立，贝U称函数f(x)为函数f(x)到函数f2(x)在区间D上的"折中函数”.已知函数f(x)=(k-1)x-1

3、,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且f(x)是g(x)Jh(x)区间1,2e上的"折中函数”，贝U实数k的取值范围为.k=2为所求.题4傣州市一模)已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且/A=。，若C0SBAB+枣CAC=2mAO,则sinCsinB图象上；P,Q关于原点对称，则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,2乂2+4x+1x0m=.（用。表示）m=sin0.yx=-1y1o.图2y2rP)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)2则f(x)的“友好点对”有个.2个.X，xA°,e题6(镇江市一模)直线l与函数y=sin

4、x(xw0,兀)的图象相切于点A,且l/OP,O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于点B,过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则BAMq.号闩日一1.题7(扬州市一模)若函数f(x)=x3-ax2(a>0)在区间(20,5上是单调递增函数，则使方程3PBOC兀x图3f(x)=1000有整数解的实数a的个数是.有4个不同的值.题8(苏州市一模)在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=x+1上的一个动点，过P作切线与两个坐标轴交于A,B两点，则AOB的面积的最小值是.值为巫.42342011题9(盐城市一模)已知函数f(x)=1+x+七+,23420112342011xxxxg(

5、x)=1x+一一+一,设F(x)=f(x+3)，g(x-3),且函数F(x)的苓点均在区间2342011a,b(a<b,a,b壬Z)内，贝Ub-a的最小值为.9.题10(南通市一模)已知等腰三角形腰上的中线长为73,则该三角形的面积的最大值是2.变式1在等腰三角形ABC中，AB=AC,D在线段AC上，AD=kAC(k为常数，且0<k<1),BD=l为定长，则ABC的面积的最大值为_1_(SABC)max=-(Sabd)maxkl2公2(1k)变式2在正三棱锥P-ABC中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，PE=kPD(k为常数,且0<k<1),AE=l为定长，则

6、该棱锥的体积的最大值为.2l33(1-k)(k2)2注本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB=2,AC=V2BC的ABC的面积的最大值为.2012届填空题压轴题常见题型复习指导2PEAB图6CD题11(无锡市一模)已知函数f(x)=|x2-2|,若f(a)>f(b),且0va<b,则满足条件的点(a,b)所围成区域的面积为.2题12(高三百校大联考一模)若函数f(x)=|sinx|(x>0)的图象与过原点的直线有且只有三个交/人2、点，交点中横坐标的最大值为a,则(E)sin匝=a2.yy=kxA.-y=sinx题13(苏北四市二模)已知函数O&quo

7、t;%2V*x图8f(x)目x+1|+|x+2|+|+|x+2011|+|x_1|+|x_2|+招+|x2011|(xR),且f(a23a+2)=f(a-1)，则满足条件的所有整数a的和是.6.x:.ax11题14(南与市一模)已知函数f(x)=(aR),右对于任怠的xN*,f(x)>3怛成立，贝Ua的取值x1范围是.>-.3变式已知函数f(x)=x+a11(xN*)，且f(x)min=3,贝U实数a的取值集合是.-8.x13f(x)=cosx,g(x)=sinx,记题15(盐城市二模)已知函2nSn=2?f(kf)g(k一n1)；T),Tm=S1+S2+Sm.若Tm<11，

8、则m的最大值为k42n2'k4,题16(苏锡常镇四市二模)已知m,n£R,且m+2n=2,则m2m+n22n+的最小值为.4.题17(南通市二模)在平面直角坐标系xOy中，设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数入j使得OC=%OA+M，贝U+(齿3)2的取值范围是.(2,危)题18(苏北四市三模)如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第兰兰y次典理13行第10个数为.故第13行第10个数为14k211+9x212=216.题19(南京市三

9、模)如图12,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB,CD于点M,N,则当刘取最小值时，CN=.BN5-12.题20(南通市三模)定义在1,危)上的函数f(x)满足：f(2x)=cf(x)(c为正常数)；当2Vx<4时，f(x)=1-|x-3|.若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，贝Uc=.c=2或c=1.变式定义在1,危)上的函数f(x)满足：f(2x)=cf(x)(c为正常数)；当2Vx<4时，f(x)=1-|x-3|.若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，贝U常数c=.c=4或J2.题22(扬州市三模)

10、设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k,使对任意xD，都有x+k£D,且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是图132011a<6题23(徐州市三模)若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，贝U实数a的取值范围为(-00,-2U2,危).33题24(南通市最后一卷)函数f(x)="；M4的最大值与最小值的乘积是16题25(淮安市四模)已知函数f(x)=|x-1|+|2

11、x-1|+|3x-1|+|100x-1|,则当x=时，f(x)取得最小值.712012届填空题压轴题常见题型复习指导题1(苏锡常镇四市一模)设mN,若函数f(x)=2xmj10xm十10存在整数零点，贝Um的取值集合为解当xZ,且x<10时，m10xZ.若m=0，则x=-5为函数f(x)的整数零点.若m乒0,则令f(x)=0，得m=x+0£n.10_x1注意到-5<x<10,且v''10_xCN,得x1,6,9,10，此时m3,竺，14,30.3故m的取值集合为0,3,14,30.注将“m£N”改为“mN*”，即得2011年全国高中数学联赛

12、江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程2x_m410_x_m十10=0有整数解,贝Um所有可能的值是.题2(淮安市一模)已知数列an,bn满足a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数i,j,k,l，当i+j=k+l2011时都有ai+bj=ak+bl，贝U£(a,+b,)的值是.2011i4从而数列bn是以2为首项，1为公差的等差数列.为公差的等差数列.2为公差的等差数列.解依题设，有bn+1-bn=a2-a1=1,同理可得，an是以1为首项，1所以，数列an+bn是以3为首项，所以，_2011(,+由工(2。1仆3+竺冬史有)=2。13.2011i12011

13、2变式1已知数列an,bn满足a1=1,a2=2,b=2,且对任意的正整数i,j,k,l,当i+j=k+1时都有abj=ak-bi,则£(a)的值是.ni41/,.、一略解依题设，有abj=aj-bi,于是ai+bi=a+bj,所以an+bn=3，£(a,+b)=3.ni日变式2已知数列an,bn满足a1=1,a2=2,b=2,且对任意的正整数i,j,k,l,当i+j=k+1时都有aibj=akbi,记=J(a+b)(&十b2)(a3十房)III(&+bn),则数列cn的通项公式是.略解由a2bn=abn+1，得J=隹=2,故bn=2n.同理，an=2n，通

14、项公式为3乂2万.bna1题3(常州市一模)若对任意的xD，均有f1(x)<f(x)<f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函数f2(x)在区间D上的"折中函数”.已知函数f(x)=(k-1)x-1,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且f(x)是g(x)到h(x)在区间1,2e上的“折中函数”，贝U实数k的取值范围为.解依题意,有0<(k-1)x-1<(x+1)lnx在x1,2e上恒成立.当xC1,2e时，函数f(x)=(k-1)x-1的图象为一条线段，于是4，："?解得k>2.f(2e)_0,另一方面，k-1v(x*1)l

15、nx+1在x1,2e上恒成立.x人(x1)lnx1lnx1x-lnx令m(x)=lnx+十一，贝Um(x)=21因1<x<2e,故(x-lnx)=1一一>0,于是函数x-lnx为增函数.所以xlnx>1-ln1>0,m(x)>0,m(x)为1,2e上的增函数.所以k-1<m(x)min=m(1)=1,k<2.综上，k=2为所求.题4(泰州市一模)已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且ZA=0,若COSBAB+COSC7C=2mAO,sinCsinB则m=.(用。表示)解法1如图1,作OE/AC交AB于E,作OF/AB交AC于F.由正弦定理，得AEA

16、OAOsinAOEsinAEOsinA又ZAOE=/OAF=兰_NADC=-NB,22AOcosBAOcosBAB所以AE=，所以AE=，.sinAsinAAB一闩理"T1AOcosCAC问理，AF=.sinAAC因竺=妲=2ao,故上式可化为sinCsinBcosBAB.cosCaC=7O2sinAsinC2sinAsinB即co竺sinC-cosCAB+AC=2sinAAO,sinB所以m=sin0.解法2将等式cosBAB+cosCAC=2mAO两边同乘以2AO,得sinCsinBcosB2cosC2ABACsinCsinB2=4mAO,22cosBABcosCACm=-sin

17、C4AOsinB4AO由正弦定理，得cosB2cosCm=sinCsinCsinB2LsinB=cosBsinC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA=sin0.cosC.一AB+AC=2mAO两边平万，得sinCsinB22八八cosB2cosC八2cosBcosC八2_22AB+2AC+2ABACcosA=4mAO.sinCsinBsinCsinB解法3将已知等式cosB由正弦定理，得m2=cos2Bcos2C2cosBcosCcosA222=cosBsinA(cosBcosAcosC)222=cosBsinA(cosBcosA-cos(AB)222=cosBsinA(sinBsi

18、nA)=sin2A=sin2.注意到m>0，故m=sin0.注1.本题虽难度较大，但得分率却较高.其主要原因是考生利用了特值法，令2ABC为正三角形，即得m=区，于是猜测m=sin0.2.题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，从不同侧+面表示AO;解法2与解法3,是或将向量等式两边同乘某个向量，或将等式两边同时平方，进而达到去除向量的目的.题5(南京市一模)若直角坐标平面内两点P,Q满足条件：P,Q都在函数f(x)的图象上；P,Q因AE+AF=AO,故AOcosB，星+AOcosC.AJAOsinAABsinAAC关于原点对称，则称点对(P,Q)是函

19、数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友2乂2+4x+1x0好点对”).已知函数f(x)=2则f(x)的“友好点对”有个.x，xA°,e垂足为c，则bBL=解设x<0,则问题化归为关于x的方程(2x2+4x+1)+-%=0,即e_ex=x22x(xc。)有几个负数解问题.记yi=ex,y2=_(x+1)2+1,当x=12211时，-,所以函数y的图象与y2的图象有两个交点(如图2),且横坐标均为负e2数，故所求“友好点对”共有2个.题6(镇江市一模)直线l与函数y=sinx(xE0,兀)的图象相切于点A,且l/OP,O为坐标原点，P为图象的极值点

20、，l与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线,解如图3,P(主，1)为极值点，kOP=2.2冗2设点A(x0,sinx°),则过点A的切线l的斜率为cosx0=.312于是，直线l的方程为y-sinx0=(-x0)-71令y=0,得x°-x=：sinx°,从而BC=x°-x=二sinx°.2222TT一一一_2.二一2二一4二BABC=BABCcosABC=BC=(sin均)=(12)=1-24二4f(x)=1000有题7(扬州市一模)若函数f(x)=x3-ax2(a>0)在区间(卖，七9上是单调递增函数，则使方程3整数解的实数a的个数是22

21、a2a解土由f(x)=3x2ax=3x(x)=0，碍x=0或x=33于是，f(x)的单调增区间为(-°c,0)和(契,).所以0竺必0，即0<a<10.33因f(x)的极大值为f(0)=0,故f(x)=1000的整数解只能在(竺E)上取得.3，令g(x)=x1000，贝Ug(x)=1令x3-ax2=1000，贝Ua=x1000x+2000>0,故g(x)在(类,*)为增函数.x35因g(10)=0，g(15)=10+*AI0，故万程f(x)=1000的整数解集为11,12,13,14.9从而对应的实数a亦有4个不同的值.题8(苏州市一模)在平面直角坐标系xOy中，点

22、P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点，过P作切线与两个坐标轴交于A,B两点，则AOB的面积的最小值是.解设P(a,-a3+i),0<a<1，则切线方程为y=-3a2x+2a3+1.332于是，两交点分别为(0,2a3+i)，(寺1，0)，S逸ob=S(a)=(2a6a7)令S(a)=竺上型=0,得a匹，且可判断此时S取最小值，值为瓯.3a242342011xxxx题9(盐城市一模)已知函数f(x)=1+x+一+23420112g(x)-x220112011F(x)=f(x+3)，g(x3),且函数F(x)的零点均在区间a,b(a<b,a,bwZ)内，贝Uba的最小值为

23、解f(x)=1一x2x一殳4x-当x>0时，f(x)0；当-1<x<0时,20111x20092,x-1,xx=1x2011,x-1.f'(x)0；当x<-1时，f(x)A0,故函数f(x)为R上的增函数,于是函数f(x)在R上最多只有一个零点.111111因f(0)=1>0,f(-1)=(11)+(一+)+(一+)+(+)<0,故f(0)f(-1)<0，因而f(x)在R234520102011上唯一零点在区间(-1,0)上，于是f(x+3)的唯一零点在区间(-4,-3)上.同理可得，函数g(x)为R上的减函数，于是函数f(x)在R上最多只有一

24、个零点.11111又gP-1)侦)(4-5)(诙12011)>0，5、212412201012c附=(1一2)2侦一亍2竺一5).2(顽-亦)<°，于是g(1)g(2)<0，因而g(x)在R上唯一零点在区间(1,2)上，于是g(x-3)的唯一零点在区间(4,5)上.所以，F(x)的两零点落在区间-4,5上，b-a的最小值为9.注不少考生想对复杂的函数表达式进行求和变形化简，结果当然是徒劳而返，得分率非常低.导数法是解决高次函数或复杂函数的强有力的工具.题10(南通市一模)已知等腰三角形腰上的中线长为73,贝U该三角形的面积的最大值是解(本题解法很多，仅给出平几解法)

25、如图4,ABC中，E,F分别为底BC与腰AC的中点，BF与AE23一GABC的重心，于是BG=CG=BF=，且AE=3GE.3所以，Sabc=3S西gc=3；GBGCsinBGC壬；乂(写)2=2,TT当且仅当/BGC=：，即BG±GC时，AABC的面积取最大值2.图4交于点G,则变式1在等腰三角形ABC中，AB=AC,D在线段AC上，AD=kAC(k为常数，且0<k<1),BD=l为定长，则ABC的面积的最大值为略解如图5,以B为原点，BD为x轴建立直角坐标系xBy.设A(x,y),y>0.因AD=kAC=kAB,故AD2=k2AB2,于是(x-l)2+y2=k2

26、(x2+y2).222所以，y2=(1一SX22lxT1-k22l2k2l2k2l2一(1k2)(X7)221_k1_k_k2于是,klymax=21-k0、一k12'(SA)maxW(1_k2)(G)、一12'(S'ABC)max(S，ABD)max.2k'2(1k)变式2在正三棱锥P-ABC中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，PE=kPD(k为常数，且0<k<1),AE=l为定长，则该棱锥的体积的最大值为k略解如图6,因PE=kPD,故EG=kOD.因AO=2OD，故O!=A£=2,于是OFFGGEkGOPGPE,GOd,因=k，故

27、=1-k,POPDPO从而2F=2F.G£=22.POGOPO2k所以,Vp_abc2kVfABC-2(1-k)一因受FEAO2GE"k皿2AE故AF=-k22lk2于是,所以,4l3(当且仅当FA,FB,FC两两垂直时,/2+kvVp_abc=Vf_abc、2(1-k)32l一一2，3(1-k)(k2)2于是所求的最大值为y中取"=”),323(1-k)(k2)2注本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB=2,AC=J2BC的ABC的面a,b不可能同在(J2,七c)上.区域.解依题意，画出示意图如图于是，勇(丝,2叽且A(a,28所示.-s

28、ina)为直线y=kx与y=kx.-q="、y=sinx函数y=积的最大值为.题11(无锡市一模)已知函数f(x)=|x2-2|,若f(a)>f(b),且0<a<b,则满足条件的点(a,b)所围成区域的面积为.解易知f(x)在0,J2上为减函数，在j2e)上为增函数，于是若0<a<b<龙，则2-a2>2-b2恒成立，它围成图7中的区域；若0<a<J2<b,贝U2-a2>b2-2，即a2+b2<4,它围成图7中的综上，点(a,b)所围成的区域恰好是圆a2+b2=4的-8故所求区域的面积为-.2题12(高三百校大联考

29、一模)若函数f(x)=|sinx|(x>0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点2、中横坐标的最大值为a,则(1闾'2=a-sinx(,2X)图象的切点.2在A点处的切线斜率为-cosa-sin-,，故a=tana.22所以(1松)sin2a.=(1+tanot)sin2ot_sin2a_?、*tan、：cosusin、:题13(苏北四市二模)已知函数f(x)日x+1|+|x+2|+|+|x+2011|+|x_1|+|x_2|+H|+|x_2011|(xWR),2且f(a3a+2)=f(a一1)，则满足条件的所有整数a的和是.解因f(-x)_f(x),故f(x)为偶函数.记

30、g(x)_|x+1|+|x+2|+|+|x+2011|,h(x)_|x_1|+|x_2|+|+|x_2011|.当x>0时，g(x+1)-g(x)_|x+2012|-|x+1|_2011,x_2011.2x2011,0£x:2011,h(x+1)-h(x)_|x|-|x-2011|_2011,2x,0£x：:2011,所以，f(x+1)-f(x)_4022,x_2011.所以，f(0)_f(1)<f(2)<f(3)<-.又当0Vx<1时，f(x)_(x1)(x2)HI(x2011)(1-x)(2-x)|(2011-x)_20112012,故|a

31、23a+2|=|a1|或一伟a32<1,且aN*，解得a_1,2,3,所以结果为6.-1<1-a<1,注本题也可以这样思考：从最简单的先开始.先研究函数f1(x)=|x+1|+|x-1|与函数f2(x)=|x+1|+x+2tx1十x|T勺图象与性质，它们都是“平底锅型”，进而猜测函数f(x)的图象与性质，并最终得以解决问题.题14(南京市二模)已知函数f(x)_x+ax*11(a£R),若对于任意的xN*,f(x)>3恒成立，贝Ua的x1取值范围是.解因xN*,故由f(x)>3恒成立，得a>-(x+')+3,故a>(x+8)+3临.x

32、x当x取最接近于2*的整数，即x_3时，-(x+)+3取最大值-|，于是a>-8.2变式已知函数f(x)_x+ax+11(x£N*),且f(x)min_3，则实数a的取值集合是.x1略解首先a>-8.另一方面，3xN*,使f(x)<3能成立，即3-(x+')*3max_.所以，a的取值集合是一；.题15(盐城市二模)已知函数f(x)_cosx,g(x)_sinx,记cn.(k1)兀、1瑚,(kn1)冗、Sn_2£f()g(),Tm_S1+S2+-+Smk12n2kw若Tm<11，则m的最大值为解")a<-(x+爻)+3能成立,

33、于x是a<2nJT_cos0coscos2n(2nT)二n-.二(n1)二n二+HI+cos，+cos+cos_1.2n2n2n2n；、)kA2n-n1-n(n-1),：=sinsinsinsinsinsin0=-1.2n2n2n2n2n11所以,Sn=2'-n,Tm=2m-1-m.令Tm<11，则正整数m的最大值为5.注本题的难点在于复杂的Sn的表达式.去掉求和符号习，展开表达式，化抽象为具体，进而识得庐山真面目.题16(苏锡常镇四市二模)已知m,nR,且m+2n=2,则m，2m+n，22n*的最小值为解法1设x=m,y=2n,贝U问题等价于：已知x+y=2,求x2+y，

34、2y的最小值.令S=x2x+y2y,T=x2y+y2x,则ST=(xy)(2x2y)>0,即SAT.另一方面，S+T=(x+y)(2、+2y)>2x2j2x2y=8，故SA4,当且仅当x=y=1时取等号.所以m，2m+n22n+的最小值为4.解法2考虑到对称性，不妨取m>1.令g(m)=m，2m+(2m)22-,m>1.贝Ug(m)=(2m22jm)+(m2m(2m)2)ln2>0.所以函数g(m)(mA1)为增函数，故gmin(m)=g(1)=4.注这道题虽然正面求解难度较大，但得分率却相当的高.究其原因大致为：当考生经过变元后，得问题为“已知x+y=2,求x2

35、x+y2y的最小值”，它具有某种对称性，凭直观猜测：让x=y=1,一举得到所求结果.x2+y2=1上相异三点,若存在正实数则三角形的三J.I>1,|土|：10为阴影部+(p3)2>2,题17(南通市二模)在平面直角坐标系xOy中，设A,B,C是圆入j使得OC=?BA+mOB，贝U+(成3)2的取值范围是.解法1如图9,作OA=怎,OB1=尽，连BiC,AiC,iOA!i=&iObI=,|OC|=1.一，一一一一一T,因三点A,B,C互异，且OC=OA+OB1,故O,C,B1构成一一个顶点，且|B1C|=OA|=舄，于是由三角形的边与边之间的关系有如图10的阴影部分表示不等式

36、组()所表示的区域，P(入,分内的动点，定点A(0,3),则*+33)2=AP2.点A(0,3)到直线P?=1的距离d=J2,AP>d=扼，故从而f+(p3)2的取值范围为(2,E).解法2，依题意，B,O,C三点不可能在同一条直线上.所以OCOB=i混|OB|cosBOC=cosBOC(-1,1).是丸2=1+p2_2OBOC.又由OC=7OA+WB，得？oa=OC-尽，记f(0=兄+(齿3)2=1+*2OBOC+(卜一3)2=2/6卜一2POBOC+10.于是，f(0>2P28H+10=2(H-2)2+2>2,且f(0<2P24卜+10=2(卜1)2+8,无最大值.

37、123456735791113812162024-20283644-486480-图11故4（P3）2的取值范围为（2,危）.题18（苏北四市三模）如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为.解法1记第n行第m个数为an,m.为了得到a,们，则第1行必须写满22个数.观祭可得：a13>1+a13>10=2(a12>+a2>11)=2(an>1+an>12)=2(a，1+a,22)=23x2-所以,a3,1+a13>

38、10=23x212-12另一方面，a3,10=a3,1+9x2.联立解得a13炉？.解法2记第n行的第1个数为an.n12345an11=2X23=3x18=4X220=5X448=6X8于是，猜测an=(n+1)2.因第n行的数从左到右排列成公差为2n的等差数列，故第13行第10个数为11121614乂2+9乂2=2解法3记第n行的第1个数为an,数列an的前n项和为Sn,则azSh=2n.Sn所以，2n药之。2 又*=1,故牛=n,Sn=n2nA.所以，an=(n+1)，2亡.下同解法2.222题19（南京市三模）如图12,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O的直线MN分别交正方形

39、的边AB,CD于点M,N,则当迎取最小值时，CN=BN一、一1解法1设CN=x,1，则BM=DN=1-x.2作MP±DC交DC于点P,贝UPN=2x-1.22222所以，MN=1+(2x-1)=4x-4x+2,BN=x+1,22MN_4x-4x2_4x2BN2x21一4x214t4=4=4125(t-？21t-1当且仅当t=j，即七=乎，x=*时,1(其中t=x+2),解法2设ZCBN=0(90,),则BN=4蛆2取最小值,所以BN二,DN=1-tan0,MN=J1十(2tan1)2.cos-CN=-12所以，蚩=cos9J"(2tane1)2=J3-(cos2+2sin2

40、)=J3-去sin(2臼+中),.2.1其中cos中=、,sinW=.55当sin(26+3=1时，迎取最小值，此时tan26=tan(E_=_=2.BN2tan:解2tanf=2,得tane=曲一1为所求(另一解为负，舍去).1 tan2题20(南通市三模)定义在1,七c)上的函数f(x)满足：f(2x)=cf(x)(c为正常数)；当2Vx<4时，f(x)=1-|x-3|.若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，贝Uc=.解可求得，当2n<x<2n(nN*)时，f(x)=cn翌(1|d3|).2-记函数f(x)=/七1|*_3|)(2n直<x<2n,nN

41、*)图象上极大值的点为Pn(xn,yn).2-令-<=0，即xn=32n-时，yn=cn-，故Pn(32亿，*).2 _分别令n=1,2,3,得Pi(3,1),P2(3,1),P3(6,c).2c由kx=k"3(k表示直线的斜率)得，c=2或c=1.当c=2时，所有极大值的点均在直线y=1x上；3当c=1时，yn=1对nN*恒成立，此时极大值的点均在直线y=1上.变式定义在1,七约上的函数f(x)满足：f(2x)=cf(x)(c为正常数)；当2<x<4时，f(x)=1-|x-3|.若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，贝U常数c=.略解以原

42、点为顶点的抛物线方程可设为x2=py(p乒0)或y2=qx(q乒0).n_2n_22n_2、2n_29c.n_2_n'对nN*恒成立,右Pn(32,c)在抛物线x=py(p乒0)上，则(32)=pc，即一=空)对ncN*怛成立，从而c=4;若Pn(32n,cn)在抛物线y2=qx(q乒0)上,则(cn')2=3q2',即3q=(；从而c=.2.综上,c=4或s/2.f(x+k)>f(x)恒成立.题22(扬州市三模)设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意xD,都有x+kD,且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.

43、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)为R上的“2011型增函数”，贝U实数a的取值范围是k,不等式向左平移k解若a<0,则f(x)在x>0时为增函数，故对任意正实数若a>0,贝U函数y=f(x+k)的图象可由函数个单位而得(如图13).因k=2011,故仅当2011f(x+2011)>f(x)，所以此时0<a<-0.6,-一2011综上，实数a的取值范围是a<竺旦6432题23(徐州市三模)右关于x的方程x+ax+ax+ax+1=0有头数根，贝U头数a的取值氾围为解法1因x乒0,故将方程两边同除以