高中数学必修4平面向量典型例题与提高题

1、【根本概念与公式】cos二b|a|b|14.平行与垂直：a/b=%X22yX1；a_b=ab=0=x1x2y1y2=0平面向量【任何时候写向量时都要带箭头】I1 .向量：既有大小又有方向的量.记作：aB或a.2 .向量的模：向量的大小或长度,记作：|彘|或|3|.43 .单位向量：长度为1的向量.假设e是单位向量,那么|e|=1.4 .零向量：长度为0的向量.记作：0.10方向是任意的,且与任意向量平行】5 .平行向量共线向量：方向相同或相反的向量.6 .相等向量：长度和方向都相同的向量.7 .相反向量：长度相等,方向相反的向量.AB=-BA.8 .三角形法那么：TTTTTTTTTT-AB+B

2、C=AC;AB+BC+CD+DE=AE；ABAC=CB指向被减数9 .平行四边形法那么：以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a-b.10共线te理：a=Kbua/b.当九：0时,a与b同向；当儿0时,a与b反向.11基底：任意不共线的两个向量称为一组基底.12.向重的模：右a=x,y,那么|a|=Jx?+y,WWW413数量积与夹角公式：ab=|a|b|cose；题型1.根本概念判断正误：1假设a与b共线,b与c共线,那么a与c共线.2假设ma=mb,那么a=b.IIII4411-3假设ma=na,那么m=n.4假设a与b不共线,那么a与b都不是零向量.5右ab=|a|b|,那

3、么a/b.6右|a+b|=|ab|,贝UaLb.4.AC为AB与AD的和向量,且ACUK那么露二5.点C在线段AB上,且AC=3AB那么五二_BC,彘=前.5题型3.向量的数乘运算2.a=(1,Y),b=(总8),那么3a-b=题型4根据图形由向量求未知向量2请用向量71定表示7D.1.在AABC中,D是BC的中点,2.在平行四边形ABCD中,AC=a,BD=b,求ABffiAD.题型5.向量的坐标运算八一r"6 .AB=(2,3),BC=(m,n),CD=(1,4),那么DA=TT.T7 .O是坐标原点,A(2,1),B(T,8),且AB+3BC=0,求OC的坐标.题型6.判断两个

4、向量能否作为一组基底TH,1 .0,62是平面内的一组基底,判断以下每组向量是否能构成一组基底：TTTTTTTTTTTTTTA.61*62和G02B.3e)262和46260C.6*3q和6230D.62和62G题型7.结合三角函数求向量坐标1.O是坐标原点,点A在第二象限,|OA|=2,/xOA=150、求OA的坐标.题型8.求数量积1.|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为60,求(1)ab,(2)a(a+b),“、身1"T/J二/W(3)(a一b)b,(4)(2ab)(a+3b).23.A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cosZBAC.题型10求向量的模1 .向量W

5、与E的夹角为e,定义为：与E的向量积,且！不是一个向量,它的长度|a><b|=|a|b|sin0,假设u=(2,0),uv=(1,一第),那么|uX(u+v)|=()A.4如B.依C.6D.1.|1|=3,|:|=4,且a与b的夹角为60,求(1)|a+b|,(2)|2a-3b|.3.|?|=1,|6|=2,|3a-2b|=3,求|31+6|.题型11求单位向量【与a平行的单位向量：e=±-a-j|a|,4,一_、一,一,、,、,1,11一1.与a=(12,5)平行的单位向量是2.与m=(1,)平行的单位向量是.2题型12.向量的平行与垂直1 .a=(1,2),b=(-3

6、,2),(1)k为何值时,向量kN+b与33b垂直？(2)k为何值时向量谓b与a-3b平行？2 .a是非零向量,ab=aC,且b#c,求证：a_L(bC).3 .假设向量a=(2cosa,1),b=(v2,tana),且3/b,那么sina=()A.返B.巡C.D.-Iy244题型13.三点共线问题3 .AB=：+2b,BC*=-5a+6b,CD=7a-2b,那么一定共线的三点是.4 .A(1,3),B(8,-1),假设点C(2a-1,a+2)在直线AB上,求a的值.5 .四个点的坐标O(0,0),A(3,4),B(1,2),C(1,1),是否存在常数t,使OAtB"%T成立？题型1

7、4.判断多边形的形状1.P为三角形ABC内部任一点(不包括边界),且满足(声-而)?(PB+PA-2PC)=0,那么4ABC的形状一定为()A.等边三角形B.直角三角形C.钝三角形D.等腰三角形2.在平面直角坐标系内,WA=(1,8),OB=(Y,1),OC=(1,3),求证：AABC是等腰直角三角形.题型15.平面向量的综合应用1 .a=(m,3),b=(2,T),(1)右a与b的夹角为钝角,求m的氾围;JL-m(2)假设a与b的夹角为锐角,求m的范围.2 .AABC三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0),(1)假设ABAC'=0,求c的值；(2)假设c=5,求

8、sinA的值.提升题1 .设向量0A=己,0B=b不共线,且|a+b|=1,|a-b|=3,那么4OAB的形状是A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形2 .点G是4ABC的重心,假设A=2L,靛?应=3,那么|前|的最小值为(3A.血B.6C.结33 .如图,各棱长都为2的四面体ABCD中,CE=ED,AF=2FD,那么向量BEcA.-工B.1C.-13324 .函数f(x)=sin(2欣+»的局部图象如下图,点B,C是该图象点C的直线与该图象交于D,E两点,那么(BD+BE)?BC的值为()A.2B.CC.11425.P为二角形ABC内部点(不包括边界),且满足(PBFA)?(

9、那么4ABC的形状,定为()A.等边三角形B.直角三角形C.钝三角形()D.钝角三角形)D.2?而=()D.12与x轴的交点,过D.2PB+PA-2PC)=0,D.等腰三角形6 .如下图,设P为ABC所在平面内的一点,并且AP=-AB+-AC,那么4ABP与4ABC的面55积之比等于(A.C.D.7 .在4ABC中,|AB|=3,|AC|=2,蕊=工标彦记那么直线AD通过4ABC的()二4A.垂心C.重心D.内心8 .在4ABC中,/BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点,那么AE=AF=()C.10TD.15S(向量数量积的运算坐标化)9.空间向量；,满足Ia|二|b|二1,且；,£的夹角为g,O为空间直角坐标系的原点,点A、B满足OA=Za+b,152二3一石,那么OAB的面积为()A. 一LB. 一：一D.11410 .向量a=(cos0,sin0)和b=(«sinB,cos9).(1)假设:/展求