高中数学《指数函数指数函数及其性质》人教A版必修教案

1、2.1.2指数函数及其性质1教案一、三维目标1 .知识与技能掌握指数函数的概念、图象和性质.能借助计算机或计算器画指数函数的图象.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质2 .过程与方法学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法,如具体到一般,数形结合的方法等.通过探讨指数函数的底数a>0,且awl的理由,明确数学概念的严谨性和科学性.3 .情感态度与价值观通过实例引入指数函数,激发学生学习指数函数的兴趣,逐步培养学生的应用意识.教学过程中,通过现代信息技术的合理应用,让学生体会更多熟悉世界的有效手段.二、教学重点指数函数的概念和性质.三、教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指

2、数函数的性质四、教具准备多媒体课件、投影仪、大屏幕、自制ppt课彳.五、教学过程1 .总体设计：引入-讲授新课-课堂练习-课时小结-课后作业2 .具体安排：以问题为载体,带着学生探求新知一以生活实例,引入新课5分钟多媒体显示如下材料材料1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么？生思考,师组织学生交流各自的想法,捕捉学生交流中与以下结论有关的信息结论：材料1中y和x的关系为y=2x.材料2:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期.根据此规律,人

3、们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢？生思考工1士生：P=57302t一一.、,1师：你能发现上面两关系式y=2x,P=-5730有什么相同的地方吗？2生讨论,师及时总结得到如下结论t1我们发现：在关系式y=2x和P=5730中,每给一个自变量都有唯一的一个函数2值和它对应,因此关系式y=2x和P=1而都是函数关系式,且函数y=2x和函数P=2t（1） 5730在形式上是相同的,解析式的右边都是指数式,且自变量都在指数位置上.2师：你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？生交流,师总结得出如下结论1生：用字母a来代替2与15730.2t

4、结论：函数y=2x和函数P=15730都是函数y=ax的具体形式.函数y=ax是一类重要2的函数模型,并且有广泛的用途,它可以解决好多生活中的实际问题,这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型一一指数函数.引入新课,书写课题二讲解新课20分钟1 .指数函数的概念师结合引入,给出指数函数的定义一般地,函数y=axa>0,aw1叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.合作探究：1定义域为什么是实数集？生思考,师适时点拨,给出如下解释结论：在a>0的前提下,x可以取任意的实数,所以函数的定义域是R.合作探究：2在函数解析式y=ax中为什么要规定a>0,aw1?生思考,师适时

5、点拨,给出如下解释,并明确指数函数的定义域是实数R结论：这是由于ia=0时,当x>0,ax恒等于0;当x<0,ax无意义.1（ii） av0时,例如a=-,x=-,那么ax=-4无意义.444（iii） a=1时,ax恒等于1,无研究价值.所以规定a>0,且aw1.合作探究：3判断以下函数是否是指数函数：y=23x;y=3x1；y=x3;y=21一3x；y=4x;y=兀x；y=4x；y=xx;y=2a1xa>,且aw1.生：只有为指数函数.方法引导：指数函数的形式就是y=ax,ax的系数是1,其他的位置不能有其他的系数,但要注意化简以后的形式.有些函数貌似指数函数,实际

6、上却不是,例如y=ax+ka>0,且aw1,kCZ；有些函数看起来不像指数函数,实际上却是指数函数,例如y=axa>0,且a1,这是由于它的解析式可以等价化归为y=ax=a-1x,其中a1>0,且a1w1.如y=23x是指数函数,由于可以化简为y=8x要注意哥底数的范围和自变量x所在的部位,即指数函数的自变量在指数位置上2 .指数函数的图象和性质师：指数函数y=ax,其中底数a是常数,指数x是自变量,哥y是函数.底数a有无穷多个取值,不可能逐一研究,研究方法是什么呢？生思考师：要抓住典型的指数函数,分析典型,进而推广到一般的指数函数中去.那么选谁作典型呢？先来研究a>1

7、的情况生：函数y=2x的图象.师：作图的根本方法是什么？生：列表、描点、连线.合作探究：1我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究.下面我们通过用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数y2x的图象生：x3.002.502.001.501.000.000.501.001.502.00y2场1412124借助多媒体手段画出图象Y1喈X1±.1JJX叩¥-1师：研究函数要考虑哪些性质？生：定义域、值域、单调性、奇偶性等.师：通过图象和解析式分析函数y=2x的性质应该如何呢？生：图象左右延伸,说明定义域为R;图象都分布在x轴的上方,说明值域为R

8、+;图象上升,说明是增函数；不关于y轴对称也不关于原点对称,说明它既不是奇函数也不是偶函数.师：再研究0vav1的情况,类似地,从中选择一个具体函数进行研究,可选什么函数？生：我们选择函数y=-x的图象作典型.2合作探究：2用计算机完成以下表格并绘出函数y1'的图象.生:x2.502.001.501.000.001.001.502.002.50/1xy721412124作出函数y=1x的图象.2合作探究：3思考底数a的变化对图象的影响.师：指数函数yaxa>0且aw1,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系？-10多媒体显示如下材料结论1:从图上看y3x,y(1)x,y310-1

9、0ax(a>1)与y1x的函数图ax0vav1两函数图象的特征.10结论2:在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x轴.合作探究：4根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性生讨论并总结,共同给出如下结论我们发现：一般地,指数函数y=ax在底数a>1及0Va<1这两种情况下的图象和性质如下表所不:a>10<a<1图象1I"ILl(o,171s6ox性质(1)定义域为(00,+00)；值域为(0,+00)性质(2)过点(0,1),即x=0时,y=a0=1(3)假设x>0,那么ax>1；假设x<0,那么0<

10、ax<1(3)假设x>0,那么0<ax<1；假设x<0,那么ax>1(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数3 .例题讲解(10分钟)【例1】求以下函数的定义域:(1)y=82;(2)y=：1(1)x.2(多媒体显示,师组织学生讨论完成)师：我们已经有过求函数定义域的一些实战经验,你觉得求函数定义域时哪些方面应该引起你的高度注意？(生交流自己的想法,师归纳,得出如下结论)(1)分式的分母不能为0;(2)偶次根号的被开方数大于或等于0;(3)0的0次哥没有意义.师：这些注意点在我们所要解决的问题中有没有出现？是否还有其他新的要求或限制条件？(生讨论交流,并板演

11、解答过程,师组织学生进行评析,标准学生解题)解：(1)2x1W0,xw1,原函数的定义域是x|xCR,xw1；22(2).1(-)x>0,(1)x<1=(1).；函数y=(1)x在定义域上单调递减,2222,x>0.,原函数的定义域是10,+8).(三)稳固练习(5分钟)课堂练习：(1)函数f(x)(工)'的定义域和值域分别是多少？2当x1,1时,函数f(x)3x2的值域是多少？一_5解：(1)xR,y0(2),1)3(四)课堂小结(3分钟)师：通过本节课的学习,你觉得你都学到了哪些知识？请同学们互相交流一下自己的收获,同时也让你们的同桌享受一下你所收获的喜悦(生交流,师简单板书,多媒体显示如下内容)1、理解指数函数yax(a0),注意a1与0a1两种情况.2、指数函数的图象和性质,结合函数的图象说出函数的性质,这是一种重要的数学研究思想和研究方法一一数形结合思想(方法)3、掌握研究初等函数的根本方法和步骤有：(1)先给出函数的定义(2)作出函数的图象(3)从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面来研究函数的性质.(五)布置作业(2分钟)1、(复习)课本P68练习1、22、(预习)利用指数函数的单调性,结合指数图象还可以得出哪些结论？答案：(1)在a,b上,f(x)=ax(a>0且aw1)值域是f(a),f9)或f(