高三一轮复习数列专题

1、数列专题复习第一节等差数列1知识梳理】师说76页考点一等差数列的定义和通项公式公式1：an=a1+n-1d公式2:an=am+n-md变形：1.在等差数列an中,a=2+a3=13,那么a4+a5+a6等于A.40B.42C.43D.452. 在等差数列4中,a=1,a2+a5=4,an=33,贝国为A.48B.49C.50D.513. 2021重庆在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,那么a7=A.5B.8C.10D.144. 2021辽宁设等差数列an的公差为d.假设数列2a1an为递减数列,那么A.d>0B.d<0C.Rd>0D.ad<05. 设数列的通项

2、公式为an=2n7,那么a1+a2|+a15=.6,假设数列Xn酒足XnXn_1=d,nN,n>2,其中d为常数,X1+X2+X20=80,贝UX5+X16=.7. 数列an中,假设为=1,2an书=2a0+3n>1,那么该数列的通项a0二.8. 2021年重庆假设2、a、b、c、9成等差数列J,那么c-a=.9. 2021年上海在等差数列Ln中,假设a+a2+a3+a4=30,贝tja?+a3=.10. 2021年大纲等差数列Q中,a7=4,%=2a9,那么该数列的通项an=.11. 2021陕西中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2021,那么该数列的首项为.12.假

3、设lg2,lg(2x1),lg(2x+3)成等差数列,那么x等于考点二等差数列的性质一一,一一._*.性质1：假设an为等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q=n),贝Uam+an=ap+aqo1 .(2021辽宁)在等差数列an中,34+38=16,那么a2+ai0=()A.12B.16C.20D.242 .等差数列an的公差为d(dw0),且a3+a6+a1o+a3=32,假设am=8,那么m为A.12B.8C,6D,43 .在等差数列an中,a3,a15是方程x26x1=0的两个根,贝Ua?+a8+a9+a0+an4 .在等差数列an中,&+a11=6,贝Ua8=.5 .在等

4、差数列an中,a6=6,那么S1=.6 .在等差数列an中,假设a2a4+a2a6+a4a8+a6a8=100,贝Ua5=.7 .an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,贝a2.等于.性质2：假设an是公差为d等差数列,那么ak,ak+m,ak+2m,k,mCN*组成公差为的等差数列.即等差数列中,下标成等差数列的项任仍然成等差数列.1 .在等差数列an中,假设a3=6,a6=9,那么4？=.2 .在等差数列an中,假设an=2n3,那么a1+23+a5Hl+a9=.3 .在等差数列4中,假设a2=6,a5=9,求数列a3nJ的前n项和Tn.n(n-1)d公式2:Sn

5、=na1+-2考点三等差数列的前n项和公式公式1：SnJ"1七2变形：1 .2021高考新课标an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,假设S3=4Sd,那么&0=()A.172B.19C.10D.121一一2 .2021局考安徽数列小中,8=1,an=an；n22,贝擞列4的前9项和等于3 .数列的通项a.=/n+2,那么其前n项和&=.4 .等差数列共有10项,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,那么其公差是A.5B.4C.3D.25 .公差不为零的等差数列an的前n项和为&.假设a,是a3与a7的等比中项,S8=32,那么Si.等于A.18B.2

6、4C.60D.906 .设Sn是等差数列4的前n项和,a2=3,%=11,那么S7等于A.13B.35C.49D.637 .设&等差数列,的前n项和.假设a1+a3+a5=3,那么S=A.5B.7C.9D.118 .等差数列小的前n项和为0,amam1am=0,S2m二38,那么m=9 .在等差数列Ln中,an<0,a3+a8+2a3a8-35A.4B.2C.3D,4,那么S10等于.考点四等差数列的前n项和的性质性质1:设Sn是公差为d等差数列an的前n项和,那么数列Sm,5m-Sm,S3m-S2mll构成公差为的等差数列.1.设等差数列an的前n项和为Sn,假设S3=9,a=

7、36那么a7+a8+ag=A.18B.27C.36D.45S41S2 .等差数列an的前n项和为且S8=3,那么S16=1 11J.A.8B3C9D.10S4S63 .Sn为等差数列an的前n项和,假设S1=1,S2=4,那么S4的值为4,等差数列an的前n项和为Sn,且Sic>=10,甑=30,那么&0=.性质2:设Sn是等差数列an的前n项和,那么Sn=pn2+qn,(p,q是常数).1 .设数歹I%的前n项和Sn=2n2n,那么a8的值为.2 .设数列4的前n项和0=2n2-n,那么%的通项公式为.3,数列an的前n项和Sn=n2+2n+1,那么an的通项公式为()A.an

8、=2n1B.an=2n+1Zn=14n=1C.an2n-1n>2D-an-,2n+1n>24,设数列QJ的通项公式为an=2n+5,假设数列bn的前n项和Sn=向,那么数列bn的通项公式为.性质3:设Sn是等差数列an的前n项和,那么数列Sn是等差数列.nSn1 .等差数列an的通项公式是an=12n,其前n项和为Sn,那么数列n的前11项和为A.-45B.-50C,-55D.-662 .等差数列an的前n项和为且5=10,8=55,那么S*:3 .等差数列an的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为(1)假设Sk=420,求a和k的值.一S.(2)设bn=,求b3+b7+匕1+|

9、+b4n的值.namSzm性质4：假设an与bn均为等差数列,且前n项和分别为3与Tn,那么bm=d-T2mSn3n1a81 .等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且E=2n+3,求后的化An7n+452 .两个等差数列an和bn的前n项和分别为A和Bn,且Bn=n+3,那么an使得,为整数的正整数n的个数是A.2B.3C,4D,5考点五等差数列的最值问题1,数列an的通项公式为an=3n2-28n,那么数列各项中最小项是第项2 .在等差数列an中,Sn为前n项和,假设首项ai=i3,且6=61,问此数列前项的和最大.a7.一一3 .2021天津模考数列尔为等差数列,假设<-1

10、,且它们的前n项和Sna6有最大值,那么使Sn>0的n的最大值为.4 .等差数列的通项为an=2n-19,前n项和记为Sn,求以下问题：(1)求前n的和&(2)当n是什么值时,Sn有最小值,最小值是多少？5,假设等差数列n)的公差d<0,且&+&1=0,那么数列Gn的前n项和&取得最大值时的项数门是()A.5B.6C,5或6D,6或76,等差数列加)的前n和为Sn,a2=4,S0=110,那么S代的最小值为/an1517A.7B.8C.万D.万方法提炼在等差数列an中,有关Sn的最值问题：am?0,(1)aI>0,d<0时,满足:am+1

11、sC0的项数m使得Sn取得最大值为Sm.am00,(2)当a1<0,d>0时,满足：am+1；>0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(3)关于最值问题,除上面介绍的方法外,还可利用等差数列与函数的关系来解决,nn1d2d一一,、一等差数列的刖n项和Sn=na+2d=2n+2卜,Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0,利用二次函数的图象或配方法解决最值问题.考点六等差数列的判定与证实【典例】(2021大纲全国)数列QJ满足a=1®=2,an七=2an+-an+2.设bn=an-an,证实I是等差数列；(2)求匕3的通项公式.练习：an1,在数列an中,ai=1,an

12、+l=2an+2n.设bn=2_1,证实：数歹Ibn是等差数歹I.2.正项数列aj的前n项和为Sn,且Sn=1(an+1)2(nwN*).4(1)求a1、a2;(2)求证：数列QJ是等差数列；(3)令bn=%-19,问数列bn的前多少项的和最小？最小值是多少？方法提炼等差数列的判定方法(1)定义法：对于n22的任意自然数,验证anan1为同一常数；*(2)等差中项法：验证2an1=an+an2(n至3,nCN)都成立；(3)通项公式法：验证an=pn+q；(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选

13、择题中简单判断.第二节等比数列1知识梳理】师说78页考点一等比数列的定义和通项公式公式1:an=a1qnJ1公式2:an=amqnm变形：1 .在等比数列an中,a2=8,a5=64,那么公比q为()A.2B.3C.4D.82 .-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9B.b=3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=3,ac=-93 .记等比数列an的公比为q,那么“q>1是“an+i>annCN*的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4 .在等比数列an中,假设a4=8,q=2,那么a7的值为.A.-64B.64C,-4

14、8D.485 .等比数列an的公比为正数,且a3a9=2a52,a2=1,那么a=A.1B.C.2D.22216 .在等比数列an中,&=-,q=2,那么24与28的等比中项是8A.4B.4C.-D.-447 .设a1=2,数列1+2%是公比为2的等比数列,贝Ua6等于A.31.5B.160C.79.5D.159.58 .2021高考广东假设三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2<6,c=5-2启,WJb=.考点二等比数列的性质性质1:假设an为等比数列,且m+n=p+qm,n,p,q=n,那么ama=ap气.1 .在等比数列an中,假设a5=4,那么a2aB等于.A.4B

15、.8C.16D.322a92 .在等比数列an中,假设a3a5a7a9a11=32,那么a11的值为A.4B.2C.-2D.-43 .各项不为0的等差数列an满足2a2a2+2a12=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,那么b3b11等于A.16B.8C,4D,24 .在各项均正的等比数列an中,lga348a3=6,那么Qw的值为A.100B,1000C.10D,1000015 .等比数列an满足a=-,a3a5=4一1,那么a2=4'''A.2B.1C.-D.-28336.在递减的等比数列an中,假设a3a6=8,a2+a7=万,那么an=.性质2：右an是等比数

16、列,那么ak,ak+m,ak+2m,(k,mCN)组成公比为的等比数列.即等比数列中,下标成等差数列的项任仍然成等比数列.1 .在等比数列an中,假设a2=2,a6=8,那么a.=()A.16B.32C.64D.42 .在等比数列an中,假设a-=1a=27,贝a3+a6+a9Hl+a?i=.3 .在等比数列小中,假设an=2n,那么数列侬.,是等比数列吗？如果是公比和首项分别是多少？考点三等比数列的前n项和公式公式1:Sn=可一q)(q¥1)公式2:Sn=三二四(q#1)1-q1-q特别地,当q=1时,Sn=na1变形：S61. 设Sn为等比数列an的前n项和,且4a3%=0,那么

17、花=()A.5B,-3C.3D,52. (2021新课标H)等比数列an的前n项和为Sn,S3=m+10a1,a5=9,那么a1=()A.3B.-3C9D.-93. 等比数列an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,假设a=1,那么S4=()A.7B.8C.15D.164. (2021重庆高考)首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4=.5. (2021高考新课标)数列%中a1=2,an+=2an£为Q的前n项和,假设5 =126,贝Un=.6 .设等比数列an的公比q=1,前n项和为0,那么包=.2包7 .(2021北京)假设等比数列an满足a2+a4=20,a3+

18、a5=40,贝U公比q=,前n项和&=.8 .假设等比数列为的公比为q,其前n项和为&=qn+k,那么卜=.9 .设数列1,(1+2),(1+2+22+-+2n),的前n项和为Sn,那么Sn=考点四等比数列的前n项和的性质性质：设Sn是公比为q等比数列an的前n项和,那么数列Sm,5m-Sm,S3m-S2mH构成公比为的等比数列.S6S91 .(2021辽宁高考)设等比数列an的前n项和为与,假设S3=3,那么忌=A.2B.3C3D.32 .设等比数列an的前n项和为Sn,假设S4=1$8=17,那么§2=3 .等比数列an的前n项和为10,前2n项和为30,那么前3

19、n项和为考点五等比数列的判定与证实【典例】设数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+=4an+2.(1)设bn=an+12an,证实数列bn是等比数列；(2)证实数列审出等差数列.练习：an+an+1.、一,.一.一一一*1 .数列an"两足a1=1,a2=2,an+2=2,nCN.(1)令bn=an+1an,证实：bn是等比数列;(2)求an的通项公式.2 .在数列也中,a1=2,an由=4an3n+1,nwNI(1)证实数列On-n是等比数列；(2)求数列aj的前n项和Sn；13 .数列a满足：a1二2,an=4an-1+1(n?2)(1)求a+a?+a3；.1(2)令6=an

20、+-,求证：数列bn是等比数列;3'(3)求数列bn的前n项和Tn.方法提炼1 .等比数列的判定方法：an+1an(1)定乂法：假设an=q(q为非零常数,neN)或an-1=q(q为非零常数且n>2,nN),那么an是等比数列.(2)中项公式法：假设数列an中,2门*0且22+1=2门22何),那么数列an是等比数列.(3)通项公式法：假设数列通项公式可写成an=cqn1(c,q均是不为0的常数,nN),那么an是等比数列.(4)前n项和公式法：假设数列an的前n项和Sn=kqnk(k为常数且k0,qw0,1),那么an是等比数列.2 .几点考前须知：(1)前两种方法是判定等比

21、数列的常用方法,常用于证实,而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2)假设要判定一个数列不是等比数列,那么只需判定存在连续三项不成等比即可.第三节等差数列与等比数列的相互转化考点一、等比数列转化为等差数列(1)Gn)是正项等比数列Ulogcaj(c>0,c*1)是等差数列；(2)右J既是等差数列又是等比数列之归0)是各项不为零的常数列.【典例】在等比数列aj中,&=1,q=10,(1)假设数列bn=lgan,求数列4的通项公式；一一,1.一(2)求数列4的前n项和TnbM1练习：在等比数列QJ中,a2=3,a5=81.(1)求an(2)设bn=log3an,求数列>的

22、前n项和Sn0考点二、等差数列转化为等比数列(1) 加是等差数列之Qan(c>0,c=1)是等比数列；(2)假设数列an是等差数列,且an=logcbn(c>0,c#1),那么数歹ibn是等比数列.【典例】函数y=f(x)的图象经过坐标原点,且f(x)=x2x+b,数列an的前n项和Sn=f(n)(nCN).(1)求数列an的通项公式；(2)假设数列bn满足an+2=10g3bn,求数歹Ibn的前n项和Tn；练习：等差数列aj中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列为的通项公式；(2)设bn=2an+n,求b十4十b3十'+bw的值.第四节数列求和数列求和的常用方法1

23、.公式法直接用等差、等比数列的求和公式.2 .倒序相加法如果一个数列an,与首末两端等“距离的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如数列白前n项和公式即是用此法推导的.3 .错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如数列白前n项和公式就是用此法推导的.4 .裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其一、一、,、,一1和.这种方法适用于求通项为的数列的前n项和,其中an假设为等差数列,那么anan111,11、=丁(-).anan1danan1常见拆

24、项：5 .分组转化法把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解.6,并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,那么称之为并项求和.形如an=(1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.考点一、公式法【典例】等差数列an满足a4=6,a6=10.(1)求数列an的通项公式；(2)设等比数列bn各项均为正数,其前n项和Tn,假设a3=b2+2,丁3=7,求Tn.练习：1 .在各项均为正数的等比数列an中,a3a5=4,那么数列log2an的前7项和等于A.7B.8C.27D.282 .等比数列an的首项为1,假设4a1,2a2,

25、a3成等差数列,那么数列的前5项和为313316A.16B.2C.16D.333 .等差数列an的通项公式为an=2n+1,其前n项和为Sn,那么数列盘的前10n项和是()A.120B.100C.75D.704 .数列?a?的前n项和记为Sn,4=1a+=20+1(nN1)(1)求Qn)的通项公式；(2)求Sn5. (2021高考四川)设数列a(n=1,2,3)的前n项和Sn满足S=2ana3,且a,8+1,a3成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列1的前n项和为Tn,求Tn.an方法提炼1 .数列求和应从通项入手,假设无通项,那么先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数

26、列或可求数列的前n项和的数列求和.2 .常见类型及方法(1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)an=aqn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解；考点二、分组转化法【典例】函数f(x)=2x3x1,点(n,an)在f(x)的图象上,an的前n项和为Sn.(1)求使an<0的n的最大值；(2)求Sn.练习：1 .假设数列圾的通项式为an=2n+3n,求数列圾的前n项Sn.2 .有穷数列1,1+2,1+2+4,1+2+4+十2n所有项的和为3 .数列an的前n项是3+21,6+41,9+81,12+161,贝媵攵歹Jan的通项公式an_,其前n项和Sn_.4 .(202

27、1高考福建)等差数列Qn中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列On的通项公式；(2)设bn=2an+n,求bi+b2+b3+bw的值.方法提炼an=bniCn,数列bn,Cn是等比数列或等差数列,采用分组求和法求an的前n项和.考点三、裂项相消法求和【典例】等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a|=9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=log3ai+log3a2+-+log3an,求数列bn帕前n项和.练习：1 1111.1 ><4+4S<7+7X10+(3n2j(3n+1)等于(,n3n11A-3n+1B.3n+1C.1n+1D-33n+

28、112.数列aj的通项式为an=,求数列aj的前n项&n%n-113 .等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,&=15,那么数列藐二的前100项和为()1009999101A.101B.101C100D.1004 .正数数列an的前n项和为且对任意的正整数n满足4Sn=(an+1)2(1)求数列an的通项公式；1(2)设bn=anan+1,求数列bn的前n项和Bn.5 .(2021高考安徽)数列4是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列4的通项公式；设Sn为数列aj的前n项和,6=通土,求数列电的前n项和Tn.S£.16 .数列an的前n项和为

29、Sn,点(n,Sn)(nN+)在函数f(x)=3x22x的图象上.(1)求数列an的通项公式；3(2)设bn=anan+1,求数列bn的前n项和Tn.考点四、并项法求和【典例】求Sn=1002992+982972+2212的值.练习：1 .数列(1)n(2n1)的前2012项和S2012=().A.-2012B.2012C.-2011D.20112,数列an的通项公式为an=(-1)n1(4n-3),那么它的前100项之和S100等于A.200B.-200C,400D,-4003 .假设数列的通项式为an=(-1)n<3n-2),求耳舟.4 .假设数列<an的通项式为an=(-1)n-<2n+1),求金.考点五、错位相减法求和【典例】数列an的前n项和为Sn,且$=2n2+n,nCN*,数列bn满足an=*410g2bn+3,nCN.(1)求an,bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.练习：1 .数歹！Jan的前n项和为&且an=n2n,那么Sn=.2 .设数列(aj满足a1+3a2+3+3"=n,aN*.3(1)求数列an的通项；