绝对值大全(零点分段法、化简、最值)

1、绝对值大全(零点分段法、化简、最值)、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不 等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题 关键。1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x|= |x(x -0),有|x|<cu |-c<x<c(c>0).-x(x : 0)"(c _0)x :二-c或x c(c 0) |x|>cu «x=0(c=0)xe R(c <0)2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x|<c或|

2、x|>c(c>0)来解，如|ax+b |>c(c>0)可为ax + b >c或 ax+b<c； |ax+b|<c可化为一c< ax+b < c,再由此求出原不等式的解集。对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论a wx|由仁a<x<b或-b<x a”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有 单项”绝对值的不等式，利用|x|2 = x2可在两边脱去绝对值符号来解，这 样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变 量与参变量的取

3、值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等 式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必 须注意这一点。4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数x1, x2,，xn分别使含有|x x11, |x x21,，|x xn|的代数式中相应绝对值为零，称 X, x2,，xn为相应绝对值的零点，零点 X, x2,，xn将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上 的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论 的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解

4、集的并集。零点分段法是解含绝对 值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为 数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用 于|xa|+|xb|m或|xa|+| x b |< m（m为正常数）类型不等式。对|ax +b | +|cx +d |>m（或< m）,当 |a | y|时一般不用。二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝

5、对值符号的 数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值 符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝 对值符号的方法大致有三种类型。（一）、根据题设条件例1：设工化简乙-口一卜一4的结果是（）。（A）2一1（B）2+1（C）-2+x（D）-2-x思路分析：由工-1可知1-2<-3<。可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待 合并整理后再用同样方法化去.解：2-|2-卜2卜2-12-（2-讣2-卜卜2-（-机2+兀，应选（B）.归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去

6、 掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路.（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 卜卜卜+ 4+卜一"+1一H的值 等于（）.（A） 7（B） 2a-2h（C） lc-d （D） dL_ _ _ i L>b a 0c思路分析由数轴上容易看出b<a<04+b <Q,c-a <0,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍.解：原式 L； 二 I，；二.；-二，应选(C).归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄 清：1 .零点的左边都是负数，右边都是正数.2 .右边点表示的数总大于左边点表示的数.3

7、 .离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了.(三)、采用零点分段讨论法例 3：化简 2|x-2|-|j+4|思路分析 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采 用零点分段讨论法，本例的难点在于工-2, i+4的正负不能确定，由于 x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况一一讨论.解：令1一2二。得零点：x=2 ；令1+4二。得零点：x二Y,把数轴上的数分为三个 部分(如图)11»-402当工22时,x-2>0Ix+4> 0，原式= 2Q-2)-("4) = i-8当 4,工<2时

8、，彳一2<0,1+4之。,原式-二-1 - -二当 工<-4时，<0,1+4 <0,.原式= -2(>-2)+a+4) = r+8.-8+x(x> 2)2|x-2|-|a+4| = -3x(-4<z <2)一1+淞<-4)归纳点评：虽然2,工+4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正 是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：1 .求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点(不一定是两个).2 .分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定.3 .在各

9、区段内分别考察问题.4 .将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案.误区点拨千万不要想当然地把 x、2y等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免 得出错误的结果.三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们 忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞 错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：（一）、要理解数 a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数 a的绝对值是这样定义的，在数轴上，表示数 a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表

10、示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。（二）、要弄清楚怎样去求数 a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为 -a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。（三）、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。1、对于形如I a I的一类问题只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号当a>0时，I a I = a（性质1：正数的绝对值是它本身）；当

11、a=0时，I a | = 0（性质2： 0的绝对值是0）；当a<0时；I a | = "a （性质3:负数的绝对值是它的相反数 ）。2、对于形如I a+b |的一类问题首先要把a+b看作是一个整体，再判断 a+b的3种情况，根据绝对值的 3个性质，便能快 速去掉绝对值符号进行化简。当a+b>0时，I a+b I = （a+b） =a +b （性质1：正数的绝对值是它本身 ）；当a+b=0时，I a+b I = （a+b） =0（性质2： 0的绝对值是 0）;当a+b<0时，I a+b I =a+b尸-a-b （性质3：负数的绝对值是它的相反数）。3、对于形如I a-

12、b |的一类问题同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的 3个性质，去掉绝对值符号进行化简。但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可(不论正负)。因为|大 -小I = I小-大I 二大-小，所以当a>b时，a-b | = a a-b) = a-b, I b-a I = (a-b) = a-b 。口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。4、对于数轴型的一类问题，a在b的右边(不根据3的口诀来化简，更快捷有效。如I a-b I的一类问题，只要判断出 论正负)，便可得到 I a-b | = (

13、a-b) =a-b, I b-a I = (a-b) =a-b 。5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负 号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！0比较，大于0直接去绝6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与对值号，小于0的整体前面加负号。四、去绝对值化简专题练习(1)设<-1化简乙-乙一二-2|的结果是(B )。(A) 2一1 (B) 2 + (C) - 2+工(D) - 2一工(2)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 卜卜卜+ 4+卜一

14、M +的值等于(C )。(A)(B) 2a-2h (C)2c-ci (D)d1!b u 0已知 x>2 ,化简的结果是x-8(4)已知工<-4, 化简 平门工+ 的结果是 未+8 。(5)已知-44工<2,化简""2卜卜+4|的结果杲-3x(6)已知a、b、c、d满足acOcedcd且1+1=B+帅-,那么a+b+c+d= 0 (提示：可借助数轴完成) 若一“，则有(A )。(A)4>0 (B)a<0 (o a <-1 (D)-1<修<。(8)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子M+w+b+M+L化简结果为12口+，

15、3_勿,卜一可,“训(A)2a+3i)-e (B)3b-c (C)b+c (D)c-b (9)有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子,中负数的个数是(B) _III1ra 0b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3r -1-4 -I- 2 X 2(10)化简，十q十J'l ，二-3x (x<-4) (2)-x+8(- 4WxW2) (3)3x(x>2)(11)设x是实数，=' l + '+l下列四个结论中正确的是(D )。(A) y没有最小值(B)有有限多个x使y取到最小值(C)只有一个x使y取得最小值(D)有无穷多个x使y取得最小值

16、五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础.绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程(组卜解不等(组卜函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：a(a >0)1 .绝对值的代数意义：a =<0(a = 0)a(a <0)2.绝对值的几何意义从数轴上看,a表示数a的点到原点的距离(长度，非负)；a -b表示数a、数b的两点间的距离.3.绝对值基本性质,一一a a 一 2 o o非负性：a 之 0； ab = a，b；_= (b=0)； a =a=a.b b培优讲解(

17、一)、绝对值的非负性问题【例 1若 x +3 +|y +1 + z + 5 = 0 ,则 x y z =。总结：若干非负数之和为 0, 。(二)、绝对值中的整体思想【例2】已知a =5, b =4,且ab =ba ,那么a+b=.变式 1.若|m1|=m1,则 m 1;若|m1|>m 1,则 m 1;(三)、绝对值相关化简问题(零点分段法)【例3】阅读下列材料并解决有关问题：x x 0我们知道x| =<0(x =0 ),现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化-x (x <0 )简代数式x+1 +x2时，可令*+1=0和* 2=0,分别求得x = 1,x = 2

18、 (称1,2分x = -1和x = 2可将全体有理数分别为乂+1与乂-2的零点值)。在有理数范围内，零点值成不重复且不遗漏的如下 3种情况：(1)当 x<1 时，原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1;(2)当1 Ex<2 时，原式=x+1(x 2)=3;(3)当 x 之 2时，原式= x+1+x2=2x1。1-2x 1 x T综上讨论，原式二*3(-1 Mx <2)x -1(x >2 )通过以上阅读，请你解决以下问题：(1) 分别求出x+2和x4的零点值；(2)化简代数式 x + 2 + x 4变式1.化简2x -1 ;(2) x -1 + x 3 ;变式2.已知

19、x -3 + x + 2的最小值是a, x3 x + 2的最大值为b ,求a + b的值。（四）、a -b表示数轴上表示数 a、数b的两点间的距离.【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2, 3与5, -2与-6, -4与 3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .（2）若数轴上的点 A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离 可以表示为:（3）结合数轴求得 x-2 +|x+3的最小值为一取得最小值时x的取值范围为 .（4）满足x +1 + x +4 >3的x的取值范围为.（5） 若x-1 +|x2 +x

20、 3 +|+x-2008的值为常数，试求 x的取值范围.（五）、绝对值的最值问题【例5】（1）当x取何值时，x-3有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x取何值时，5-x+2有最大值？这个最大值是多少？ （3）求x-4+|x-5的最小值。（4）求x -7 +|x -8 + x -9 的最小值。【例6】.已知x| <1, y <1,设M =|x + y+|y+ + 2y x4,求M的最大值与最小值.课后练习：|*_1_421、若1a+b+11 与（a-b+D 互为相反数，求 3a+2b-1BWo2 .若a*b*1与（"b+1）2互为相反数，则 ”b的大小关系是（）.A a

21、>b b a =b c a <b D. a »3 .已知数轴上的三点 A、B、C分别表示有理数a, 1, 一 l,那么a+1表示（）.A. A、B两点的距离B. A、C两点的距离C. A、B两点到原点的距离之和D. A、C两点到原点的距离之和4 .利用数轴分析 X2 +X+3 ,可以看出，这个式子表示的是 X到2的距离与X到-3的距离 之和，它表示两条线段相加：当x>时，发现，这两条线段的和随 x的增大而越来越大；当x<_时，发现，这两条线段的和随 x的减小而越来越大；当 工X 士 时，发 现，无论X在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值 ,且比、情况下的值都 小。因此，总结， x -2 * x +3有最小值,即等于 到 的距离5 .利用数轴分析X ,7 一 X -1 ,这个式子表示的是 X到-7的距离与X到1的距离之差它表示 两条线段相减：当 X-时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ；当X- 时，发现，无论 xw何值，这个差值是一个定值 ；当<X< _时，随着X增大，这个差值