特殊平行四边形：证明题

1、特殊平行四边形之证明题题型一：菱形的证明1、如图，在三角形 ABC中，AB>AC, D、E分别是 AB、AC上的点， ADE沿 线段DE翻折，使点 A落在边BC上，记为 A'.若四边形 ADAE是菱形，则下列说法正 确的是()A. DE是 ABC的中位线 B. AA'是BC边上的中线C. AA'是BC边上的高D.AA'是 ABC的角平分线A2.已知：如图，在|_ABCD中，AE是BC边上的高，将 AABE沿BC方向平移，使点 E 与点C重合，得ZXGFC .(1)求证：BE = DG ;(2)若/B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时，四边形

2、 ABFG是菱形？证明你的结论.3、将平行四边形纸片 ABCD按如图方式折叠，使点 C与A重合，点D落到D'处，折痕 为EF.(1)求证： ABEA AD F;(2)连接CF,判断四边形 AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.EC4 .如图， ABC中，AC的垂直平分线 MN交AB于点D,交AC于点 O, CE/ AB交MN于 E,连结 AE、CD.(1)求证：AD = CE;(2)填空：四边形 ADCE的形状是 .5 .两个完全相同的矩形纸片 ABCD、BFDE如图7放置，AB=BF，求证：四边形BNDM 为菱形.6 .如图，在AB/, AB=AC D是BC的中点，连结AD在AD的

3、延长线上取一 点E,连结BE, CE(1)求证： ABEA ACE(2)当AE与AD满足什么数量关系时，四边形 ABEC是菱形？并说明理由.图107 .如图，将矩形 ABCD沿对角线AC剪开，再把 4ACD沿CA方向平移得到 A'CD'.(1)证明A'AD'wzXCCB ;(2)若/ACB=30°,试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形 ABCD'是菱(第19题)8 .在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=5, AC = 6 .点D作DE / AC 交BC的延长线于点E .(1)求4BDE的周长；(2)点P为线段BC

4、上的点，连接 PO并延长交AD于点Q .求证：BP = DQ .9.如图，在4ABC 和4DCB 中，AB = DC, AC = DB,AC与DB交于点M.(1)求证： ABCA DCB ;(2)过点C作CN / BD,过点B作BN / AC, CN与BN交于点N，试判断线段BN 与 CN的数量关系，并证明你的结论.10 .如图，在 ABC中，/ A、/ B的平分线交于点 D, DEE/ AC交BC于点E, DF/ BC交AC 于点F.(1)点 D是 4ABC 心；(2)求证：四边形DECF%/菱形.11、如图，已知：在四边形 ABFC中，NACB=90 BC的垂直平分线 EF交BC于点D,交

5、AB于点E,且CF=AE(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形；(2)当NA的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？青回答并证明你的结论.(特别提醒：表示角最女?用数字)12、如图，矩形 ABCD中，。是AC与BD的交点，过。点的直线EF与AB, CD的延长 线分别交于E, F .(1)求证：BOEzXDOF;(2)当EF与AC满足什么关系时，以A, E, C, F为顶点的四边形是菱形？证明你的结 论.13、如图，四边形 ABCD 中，AB/CD, AC 平分/BAD, CE / AD 交 AB 于 E .(1)求证：四边形 AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断 AB

6、C的形状，并说明理由.14、如图8,在口 ABCD中，E, F分别为边 AB, CD的中点，连接 DE, BF, BD .(1)求证：AADEACBF .(2)若AD _L BD ,则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论.15、如图，四边形 ABC比菱形，DH AB交BA的延长线于 E, DF，BC,交BC的延长线于 F。 请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想题型二：正方形的证明题1、四边形 ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、CG.(1)求证：AE=CG;(2)观察图形，猜想 AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.2、如图8-1 ,已知P为正方形 ABCD的

7、对角线 AC上一点(不与A、C重合)，PEXBC于点E, PF ± CD 于点 F.(1)求证：BP=DP;(2)如图8-2,若四边形 PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有 BP=DP?若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形 ABCD的两个顶点，分别与四边形 PECF的两个顶点连结，使得到的 两条线段在四边形 PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结 论.图8-1图8-23、把正方形 ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H (如图).试问线段 HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再

8、证明你的猜想.(第5题)4、如图12, B、C E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形 CEFG都是正方形连接BG DE.(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.(2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.5 .如图，四边形 ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DELAG于点E, BFLAG于 点F.(1)求证：DE BF = EF .(2)当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由.(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间

9、的数量关系(不需要证明).6 .如图，ABCD是正方形.G是BC上的一点，DELAG于 E, BFLAG于F.(1)求证：ABFzXDAE;(2)求证：DE =EF +FB.ADG7、已知：如图，在正方形 ABC邛，G是CD上一点，延长 BC到E,使CCG连接BG并 延长交DE于F.(1)求证： BC8 DCE(2)将 DC透点D顺时针旋转90°得到 DAE，判断四边形E' BGD什么特殊四边形？ 并说明理由.8.如图，11、& 13、14是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h,正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积

10、是25。(1)连结EF,证明 ABE、 FBE、 EDF、 CDF的面积相等。(2)求h的值。9 .如图：已知在ZXABC中，DE ± AB, DF ± AC ,垂足分别为(1)求证：ABEDACFD ;(2)若/ A = 90° ,求证：四边形A B= A C, D为BC边的中点，过点D作 E, F.DFAE是正方形.题型五：矩形的证明题1 .如图，在 ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过 A点作BC的平行线交 CE 的延长线于点 F,且AF=BD,连结BF。(1)求证：BD = CD;(2)如果AB=AC,试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结

11、论。2 .如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AB / DE, AF / DC, E、F 两点在边 BC 上, 且四边形AEFD是平行四边形.(1) AD与BC有何等量关系？请说明理由；(2)当AB = DC时，求证：匚ABCD是矩形.3 .如图，四边形 ABCD是矩形， PBC和 QCD都是等边三角形，且点 P在矩形上方，点 Q在矩形内.求证：(1) / PBA=/PCQ=30° ; (2) PA=PQ.BC4 .如图， ABC中，AB=AC, AD、AE分别是/ BAC和/ BAC和外角的平分线， BEXAE.(1)求证：DALAE;(2)试判断AB与DE是否相等？并证

12、明你的结论.5、如图，在 ABC中，点 BACi上的一个动点，过点 O乍直线MN/ BC设M庾/ BCAJ角平 分线于点E,交/ BCA勺外角平分线于点F.(1)求证：EO=FQ(2)当点O1动到何处时，四边形 AECF1矩形？并证明你的结论.6、如图，在 4ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点 A作BC的平行线 交BE的延长线于F ,且AF = DC ,连接CF .(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB=AC，试猜测四边形 ADCF的形状，并证明你的结论.DC7、已知：如图，在矩形ABCD ,E、F分别是边 BG AB上的点，且EF=ED,EFL ED. 求证:AE平分/

13、BAD.8、如图，矩形 ABCM,点E是BC上一点，AE= AD, DF±AE于F,连结DE求证：DF= DC9、在矩形ABCN, AD= 2AB, E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点 E重合，将三角 板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与 AR BC分别相交于点 M N时，观察或 测量BMW CN的长度，你能得至IJ什么结论？并证明你的结论。F题型五：梯形的相关证明题10 .如图，在等腰梯形 ABCD中，/ C=60°, AD/ BC,且 AD=DC, E、F分别在 AD、DC的 延长线上，且 DE = CF, AF、BE交于点P.(1)求证：AF=BE;(

14、2)请你猜测/ BPF的度数，并证明你的结论.BF11 .如图(七)，在梯形 ABCD 中，AD / BC , AB = AD =DC , AC_L AB ,将 CB 延 长至点F ,使BF =CD .(1)求N ABC的度数；(2)求证：zCAF为等腰三角形.12 .)如图 9,梯形 ABCD 中，AD / BC , AB = DC , P 为梯形 ABCD外一点，PA、PD 分别交线段BC于点E、F ,且PA = PD .(1)图中除了 ABE04DCF外，请你再找出其余三对全等的三角形(不再添加辅助线).(2)求证：AABEADCF .P题型六：综合证明题1 .如图，在 RtAABC 中

15、，/ ACB=90° , Z B =60° , BC=2.点 0 是 AC 的中点，过点 0 的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE / AB 交直线l于点巳设直线l的旋转角为a .(1)当a =度时，四边形 EDBC是等腰梯形，此时 AD的长为;当& =度时，四边形 EDBC是直角梯形，此时 AD的长为 (2)当a =90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.2 .如图所示，在 RtABC中，/ABC =90 将RtABC绕点C顺时针方向旋转 60° 得到zDEC,点E在AC上，再将RtAAB

16、C沿着AB所在直线翻转180/11 zABF.连 接AD.(1)求证：四边形 AFCD是菱形；(2)连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问：四边形 ABCG是什么特殊平行四 边形？为什么？3 .如图， ABC中，点。是边AC上一个动点，过 O作直线MN / BC,设MN交 /BCA的平分线于点E ,交/BCA的外角平分线于点 F.(1)探究：线段 OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O在边AC上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是， 则说明理由；(3)当点O运动到何处，且 ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？MAONCD4、如图，在直角梯形纸片 ABCD中，AB / DC , /A =90，, CD > AD ,将纸片沿过点D的直线折叠，使点 A落在边CD上的点E处，折痕为DF .连接EF并展开纸片.(1)求证：四边形 ADEF是正方形；(2)取线段AF的中点G ,连接EG ,如果BG = CD ,试说明四边形 GBCE是等腰梯形.5、如图15,平行四边形 ABCD中，AB_LAC, AB = 1, BC=J5.对角线AC, BD相 交于点O,将直线A