沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形知识例题讲解与练习

1、第15章 轴对称图形与等腰三角形【知识剖析】一、轴对称图形与轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个 图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.2、轴对称：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图 形成轴对称.这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点.3、轴对称性质与判定：(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段(2)如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这 条直线对称.4、轴对称和轴对称图形的区别与联系关系轴对标图形M制对象不同两个图形一个图形感更

2、不忖画个图形的特殊住置关系一个具有特殊形状的图潞对停点N不时时你点分别在两个国加上对称点在同一个图形上对称轴位 置不同厮个图褥J4轴时称,其时 济轴可造在两个圉形的 外那，也可能拜过两个阳 域的内部或它们的公共 边(或公共点)轴时称图垠幽 对栋轴一定筹 过这个图形的 内部时稼轴激 量不同只力条对称轴未必只疗杂联系(“定义中都有条直纹，林要沿着这条直线折叠(2)把成轴对林的陶个图照弄成一个整体.它就是一 个轴对称困把一个轴对称因岩沿刘林岫分成礴个 图形，这两个图形关于这条了查戈成釉对称例1、把一张长方形纸片按如图、图的方式从右向左连续对折两次后得到图，再在图 中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重

3、新展开后得到的图形是(3A . 1 ： ：| ： ： ： C, ： D. 汹例2、如图，把一个长方形纸片沿 EF折叠后，点D C分别落在D/、C的位置.若/ EFB=65 , 则/ AED等于().A 、 70 B 、 65 C 、 50 D 、 25例3、如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC氏片，点D、E分别在边AB AC上，将 ABC沿着DE折叠压平，A与A/重合，若/ A=75 ,则/ 1 + Z 2=().A 、 150 B 、 210 C 、 105 D 、 75例4、已知点M (a+1, 2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 例5、若点P关于x轴的对称点为 P

4、i (2a+b, -a+1),关于y轴的对称点为 P2 (4-b , b+2), 贝U a+b的值为.例6、如图，在平面直角坐标系xoy中.(1)请写出 AB*顶点的坐标，并求 ABC的面积；(2)在图中作出 ABC关于x轴的对称图形 ABQ;(3)已知点A与点A2 (-3, 2)关于直线l成轴对称，请画出直线 l及 ABC关于直线l对 称的图形4 A2B2C2,并直接写出直线l的函数解析式；(4)若点P (m, n)是/ ABC中AB边上一点，请表示其在 A2BC2中对应点的坐标.、线段的垂直平分线1、定义：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线2、性质定理：线段垂

5、直平分线上的点到线段两端距离相等.直线l垂直平分AR点P在l上PA=PB143、逆定理：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上PA=PB点P在AB的垂直平分线上4、三角形三边垂直平分线的性质 ：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三 个顶点的距离相等.例7、如图，在 ABC中，/ BAC=100 , DF、EG分别为 AB和 AC的垂直平分线，求/ DAE 的度数.例8、如图，AB=CD线段AC的垂直平分线与线段 BD的垂直平分线相交于点 E,垂足分别为N M.求证：/ ABE=/ CDE.例9、如图，在四边形 ABCM, AD/ BC对角线AC的中点为Q过点O作AC的垂线分

6、别与AD BC相交于点E、F,连接AF.求证：AE=AF.例10、如图，已知在 ABC中，/ ACB=90 , 线段BD的垂直平分线上，BD的垂直平分线交 段AF的垂直平分线上.D是BC延长线上一点， E是AB上一点，且在BD于点G, DE交AC于点F.求证：点E在线1、2、T AE=AC、等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形性质：(1)等腰三角形 两个底角相等.简称“等边对等角推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角等于 60。.(2)等腰三角形顶角的平分线 垂直平分底边.(等腰三角形的 顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一)3、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么

7、这两个角所对的边相等.简称“等角对等边”.四、等边三角形ZB=ZC1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形2、性质：等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于60。3、判定：(1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形(2)推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形(3)推论2:有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形五、直角三角形30 ,那么它所对的直含30。角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 角边等于斜边的一半.在Rt 豌口中/ZA=30fl例11、如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC / A=20 ,线段AB的垂直平分线交 AB于点D, 交AC于点E,连接BE

8、则/ CBE等于（）.A 、 80B 、 70 C 、 60D 、 50例 12、如图，已知梯形 ABED勺周长是 20cm, /ABC=60 , CD/ AB, AC/ DE,且 AB=AC=AD=DE. 计算 DCE勺周长.例13、如图，在 ABC中，点E在AB上，点 D在BC上,BD=BE / BADhBCE AD与CE相 交于点F,试判断 AFC的形状，并说明理由.例 14、如图，在 ABC中，AB=AC BC=6 AD! BC于点 D,贝U BD=例15、如图，已知 ABC为等边三角形，点 D、E分别在 BC AC边上，且 AE=CD AD与BE 相交于点F.(1)求证： ABE A

9、CAtD(2)求/ BFD的度数.例 16、如图，/ AOEW BOE=15 , EF/ OB ECOB 若 EC=1,贝U EF=A,例17、如图， ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由 A向C运动(与C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由 B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE AB于E,连接 PQ交AB于D.(1)当/ BQD=30时，求 AP的长.(2)在运动过程中线段 ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由.六、角的平分线1、性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。匚平分/加回点?在戊：上pm

10、oa,pn_LobPlkPN2、判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上fm_Lo& fn_Loe,点F在/gB的平分级上.3是的3的平分线3、三角形三条角平分线的性质 ：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的 距离相等.例 18、如图，在 ABC中，/C=90 ,BC=ACAD是/ BAC的平分线，DU AB于点 E.若 AB=10cmg 求 DBE的周长.例 19、如图，PML BD于点 M PNI AD于点 N, BD=AD PM=PN.求证：OB=OA.例20、如图，/ B=Z C=90 , M的BC的中点，DM平分/ ADC若连接 AM 则AM是否平

11、分/ BAD并说明理由.例21、如图，在 ABC中，请证明：(1)若 AD为/ BAC的平分线，则 SBD : SCD = AB ： AC(2)设D为BC上的一点，连接 AD,若Svbd ： SyCD = AB： AC ,则AD为/ BAC的平分线.例 22、如图，在 RtABC中，/ ACB=90 , AB=5, BC=3 AC=4,点 P 是/ BAC / ABC的平 分线的交点，试求点 P到AB边的距离.例23、如图，在 ABC中，点D在边BC上，D已AB于点E, DFL AC于点F,请你添加一个 条件，使AD EF,并进行证明.【综合练习】一、选择题1、在下列交通标志中，是轴对称图形的

12、有（）.A A A A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个2、在等腰三角形 ABC中，AC=2BC其周长为60,则BC的长为（）A.15B.12C.15或12 D. 以上都不正确3、如图，每组中的两个图形，成轴对称的是（）.A. (1) (2) (3) B. (1) (2) (4)C. (1) (3) (4)D. (2)(4)4、已知点P (-1-2a , 5)关于x轴的对称点和点 M ( 3, b)关于y轴的对称点相同，则A (a,b)关于x轴对称的点的坐标为().A. (1,-5) B. (1,5) C. (-1 , 5) D. (-1,-5)5、如图，在 ABC中，DE垂直平分

13、AC 垂足为 E,交AB于D, AB=11cm BC=7cm则 BCD 的周长为().A.16cmB.22cm C.18cm D.25cm（第5题）（第7题）（第9题）6、已知/ AOB=30，点P在/AOB的内部，点 Pi与点P关于OB对称，点 B与点P关于OA 对称，则 PiOP是（）.A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7、如图，口人口4EBC均是等边三角形，AE, BD分别与CD CE交于点 M N,有如下结论：AAC总 DCtBCM=CNAM=DN.其中正确的结论有（）个.A.3B.2C.1D.08、到 ABC的三个顶点距离相等的点是 ABC的（）.A.三条中线

14、的交点B三条角平分线的交点C.三条高的交点D三条边的垂直平分线的交点9、如图，AB=AC, BD=BQ 若/ A=40 ,则/ ABD等于（）.A.20B.30C.35D.4010、如图，折叠直角三角形纸片，使点C落在AB上的点E处.已知BC=12, / B=30 ,则DE的长是（）.A.6B.4C.3D.2（第10题）（第11题）（第12题）11、如图，BF, CF是 ABC的两个外角的平分线，交点为 F,若/ A=50 ,则/ BFC的度数 是（）.A.50 B.60C.40D.6512、如图，在 RtABC中，/ B=90 , ED是AC的垂直平分线，交 AC于点D,交BC于点E. 若/

15、 BAE=10 ,则/ C的度数为（）.A.30 B.40C.50D.60二、填空题13、如图，在 ABC中，/A=90 , /C=75 , AC=12cm ED直平分 BC,贝U BE等于 cm.（第13题）（第14题）（第15题）14、在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60方向的C处.他先沿正东方向走了 200m到达B地，再沿北偏东30。方向走，恰能到达目的地 C,那么，由此可知B、C两地相距m.15、如图，在 ABC中，AB=AC / BAC与/ ACB的平分线相交于点 D.若/ ADC=130 ,则/ BAC=.16、如图，在等腰 ABC中，AB=AC CH A

16、B,垂足为 E, AD是/ BAC的平分线.若AB=5cm CE=24 cm, BC=6cm 贝U AD=cm.520、如图，/ ABC=60 , AD垂直平分线段（第20题）（第16题）（第17题）17、如图，在RtABC中，CD是斜边 AB上的高，如果/ A=30 , BD=1cm那么/ BCD= BC=cm AD=cm.18、在 ABC中，AB=AC AB的垂直平分线与 AC所在的直线相交所得的锐角为50 ,则/ B等于.19、如图，在 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC AD=BD=2CD点D到AB的距离等于 5cm, 贝U BC=? / CAD=.BC于点D, / ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC则/ AEC的度数是三、解答题21、如图，在直线 AB一侧有C、D两点，在AB上找一点P,使PC+PD勺长最短，找出此点并说明理由22、如图，在 ABC中，/ BAC=90 , / C=30 , AD) BC于 D, / ABC的平分线分别交 AD, AC于点F, E.求证： AEF是等边三角形.23、如图，在 ABC中，AC=BC / ACB=90 , D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于 E,1口一,且AE = BD .求证：BD是/ ABC的平分线.224、如图， ABC是等边三角形， D是 ABC内一点，且 BD=