平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习

1、1. 平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积一、向量的概念向量：既有大小有方向的量叫做向量.只有大小没有方向的量称为数量几何表示：向量可以用有向线段表示.uuuruuuruuur长度：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模),记做|AB|.r向量也可用字母a,b,cL(印刷用黑体a,手写用a)或用表示向量的有向线段的起点uuuruuru和终点表示.例如，AB,CD.零向量：长度为0的向量.记做0.单位向量：长度为1的向量.平行向量：方向相同或相反的向量.记作a/b.规定：零向量与任一向量平行.2. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记做a=b.注意：向量

2、相等与有向线段的起点无关共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量.二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算)向量加法的三角形法则uuuruuuruuru已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作ABa,BCb,则向量AC叫做a和b的和，记做a+b,即uuuruuura+bABBC求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种方法称为向量加法的三角形法则.1. 向量加法的平行四边形法则以同一个点。为起点的两个已知向量a、b为邻边作YOACB，则以。为起点的对角线uuuruuuuuuuuurOC是a与b的和，即a+bOAOBOC.此法叫做向量加

3、法的平行四边形法则.2. 规定：对零向量与任一向量a,a+0=0+a=a小结论对任意向量a、b,有|a+b|a|+|b|;当a、b同向时，|a+b|=|a|+|b|；3. 当a、b反向是，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)向量加法交换律：a+b=b+a；向量加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量.4. 向量减法的几何意义：a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.5. 向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a,它的长度与方向规定如下：(1)|a|

4、a|；(2)当0时，8.数乘的运算律：a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相同(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.9.向量共线充要条件:向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯个实数,使ba.1. 二、平面向量的基本定理及坐标表示平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一个实数1、2,使得a旧2%把不共线的向量e、2叫做这一平面内所有向量的基底.2. uuruuu向量的夹角已知两个非零向量a和b,作OAa,OBb,贝UAOB(0180o)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是90o，称a与b垂直，记作

5、ab.当0o时，a与b同向；当180°时，a与b反向.3. 正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面基本定理可知，有且只有一对实数x、y,使得axiyj这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a(x,y).其中x,y分别叫做a在x轴上，在y轴上的坐标.4. 在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示平面向量的坐标运算(1)若a(xi,yi),b(x2,y2)，则ab(xi

6、x2,yi对;(2)若a(x,y),RMa(x,y)；unn(3)若A(xi,yi),B(x2,y2),则AB(x2xi,y2yi).5. 平面向量共线的坐标表示设a(为，乂)小(,y2)(b0),则向量ab(b0)共线的充要条件为x由*0.7-设PW,乂），？2以2必）.（1）若P是RP2的中点，贝UP（*,#）;uuuuuir（2）若PPPP2,贝uP（2,2）.1. 前三部分总结向量相等（长度和方向）.2. 加法的三角形法则（首尾相连）、四边形法则（起点相同）及其几何意义.注意与平面几何相结合小结论：（1）G为ABC的重心（中线的交点）iiuruurHurGA+GB+GC0X1X2X3y

7、1y2y3G为ABC的外心uuuGAGBGC3. 共线（平行）向量.agyi),b(X2,y2)(b0)a/ba=bx1y2X2%0；A,B,C三点共线uuuuuuAB/AC4.平面向量基本定理1©12®2(®1,©2不共线)四、平面向量的数量积:1、向量的夹角概念:对于两个非零向量ra,b,uiu如果以。为起点，作OAuirrra,OBb,那么射线OA,OB的夹r叫做向量a与向量b的夹角，其中02、向量的数量积概念及其运算:rr（1）定义：如果两个非零向量a,b的夹角为，那么我们把|a|b|cos叫做向量a与向量burir的数量积，记做adbirir即

8、：adpir|irabcosrr（2）投影：b在a上的投影是一个数量rbcos,它可以为正，可以为负，也可以为（3）坐标计算公式：若向量rrrra(为，乂)，b(X2,y2),则axyg3、向量的夹角公式：r4、向量的模长：ar5、平面向量的平行与垂直I可题：（1）若ar(Xi,yi)，b(X2,y2)rr,a/b,则x1y2x2y10rrrrrr(2)若a(x1,y1)，b(x2,y2)，ab，则aj0X1X2yy20例:、平面向量的数量积的应用:1、向量数量积定义的应用rK例1（1）已知ar（2）已知arrrrrrr1,b2,向量a,b的夹角为甘，求(a2b)2ab)rrrrrrr(2,1

9、),b(3,4),求：(ab)g(a3b)；若ag:rr1,bgp9,r求c的坐标2、向量的夹角问题K例2（1）已知向量a、b都是非零向量，且向量a3b与向量7a5b垂直，向量a4b与向量7a2b垂直，求向量a与b的夹角。（2）若向量a=x,2x,b=3x,2，且a,b的夹角为钝角，求x的取值范围基础练习：一、选择题1. 下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()1 A.e1=(0,0),e2=(1,-2);B.e1=(-1,2),e2=(5,7);3、C.e1=(3,5),e2=(6,10);D.e1=(2,-3),e2=(,)4UUULUTUHT已知向量a、b,且AB=a

10、+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()3.如果ei、e2是平面a内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有() 浴1+(£2(入於R)可以表示平面a内的所有向量；k,使?2ei+皿e2=k(万ei+pie2)； 对于平面a中的任一向量a,使a=?e+归2的入有无数多对;若向量为ei+印&与?2ei+皿e2共线，则有且只有一个实数若实数入使岛+乌=0，则=厅0.A.B.5.若向量a=(i,i),b=(i,-i),c=(-2,4)，则c=A.-a+3bB.3a-b6.平面直角坐标系中，O为坐标原点，iuurumuun,OC=aOA+3OB，其中，

11、既R且计声A.3x+2y-II=0B.(x-I)2+(y-2)2=5C.D.仅()C.a-3bD.-3a+b已知两点A(3,I),B(-I,3),若点C(x,y)满足，则x,y所满足的关系式为()C.2x-y=0D.x+2y-5=0二、填空题作用于原点的两力Fi=(i,i),F2=(2,3)，为使得它们平衡，需加力F3=uuruiir若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB=2AC,则x=,y=；已知A(2,3),B(I,4)且；AB=(sin%cos%既(-,-),则计皆I0.已知a=(i,2),b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为11、若ab0,则a与b的夹

12、角的取值范围是。12、|a|i0,|b|36,abI80,a与b的夹角是。13、已知a(m,2),b(3,5),若a与b的夹角为钝角，实数m的取值范围为14、已知|a|i,|b|<2,(ab)a,则a与b的夹角是三、解答题15、已知向量b与向量a=(5,-i2)的方向相反，且|b|=26，求burnuuuI6.如果向量AB=i-2j,BC=i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线。uuu1unruur1nnr已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),AEAC,BFBC,33uuruuu求证：EF/ABR),试求入为何值时，点P在第*llltuuuuur已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若APABAC(三象限内？19、已知a(2,1),b(m,m1),若a与b的夹角为锐角，求实数m的取值范围。rrrrrrrrrr20、已知a、b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b