定积分的性质

1、§4定积分的性质教学目的：熟练掌握定积分性质及积分中值定理。重点难点：重点为定积分性质及第一中值定理，难点为推广的积分第一中值定理。教学方法：讲练结合。一、定积分的基本性质性质i若f在a,b】上可积，为常数，则在a,b】上也可积，且(1)bbakfxdx=kafxdx证当k=0时结论显然成立当k=0时，由于f（xg,由f在Ja,b】上可积时，故任给®>0，存在&0,当时|T|<6时,n从而Zkf(RXi-kJ<&i=1即kf在a,b上可积，且bbakfXdx=kJ=kafXdx性质2若f,g都在a,b上可积，则f+g在a,b】上也可积，且f

2、(x)±g(x)dx=bbfxdxgxdx,aa证明与性质1类同.性质l与性质2是定积分的线性性质，合起来即为I*fxLgxdx=：afxdx-，Igxdx,性质3若f,g都在a,b】上可积；则在Rb】上也可积.证由f,g都在a,b】上可积，从而都有界，设A=supxa,b且A0,BA0（否则f,g中至少有一个恒为零值函数，于是f，g亦为零值函数，结论显然成立）.任给&0,由f,g可积，必分别存在分割、，使得f.；-g,.''i'Xi,'.，i二咎:：:t2Bt2A令T=T'+T"（表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割）

3、.对于a,b1上所属的每一个，有ifg=supfXgX-fXgxx,x二RsupLgXt：|fX一fXfXi;|gX一gx】x,x-B-if-A、.可知w<g.获-B、，if.'：XiA、，ig：XiTTT展、"Xi.A'TT":BA=；.2B2A这就证得fg在a,b】上可积.bbb注意，在一般情形下fXgXdx=fXdxgxdx.a'a'a性质4在a,b】上可积的充要条件是：任给c在（a,b），在a,c】与L,b】上都可积.此时又bcb有等式fxdx=fxdx，Ifxdx.aa-证充分性由于在a,c与C,b】上都可积，故任给8A0，分

4、别存在对虹c与b,b】的分割与，使得<2t'2现令T=T十T",它是对la,b】的一个分割，且有由此证得在a,bi上可积.必要性已知在a,b】上可积，故任给s>0，存在对！a,b】的某分割，使得£叫XiCET在上再增加一个分点，得到一个新的分割.又有'jjXj_、-x-；T分割在a,c】和c,b】上的部分，分别是对a,c】和c,b】的分割，记为和，则有WV''i"U：AxXE何*<&这就证得f在a,b】与b,c】上都可积.在证得上面结果的基础上最后来证明等式（3）.为此对la,b】作分割T,恒使点c为其中的

5、一个分点，这时t在a,c】与c,b】上的部分各自构成对a,c】与E,b】的分割，分别记为与T.由于、fiWfi"x，-、fif,因此当|T|t0（同时有|T|T0,|TT0）时，对上式取极限，就得到（3）式成立.口性质4及公式（3）称为关于积分区间的可加性.当f（x）芝0时，（3）式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性.b按定积分的定义，记号ff（xdx只有当a<b时才a有意义，而当a=b或aab时本来是没有意义的.但为了运用上的方便，对它作如下规定：b规定2当aab时，令afxdx=一bfxdx规定l当a=b时，令（f（xdx=0;.有了这个规定之后，等式（3）对于a,b,c的

6、任何大小顺序都能成立.例如，当a<b<c时,只要在a,c1上可积，则有cbbccbfxdxfxdx=fxdxfxdx-fxdx=fxdxac.abba性质5设为a,b】上的可积函数.若f（x）芝0,xa,b】，则jbf（xdx0a推论（积分不等式性）若与为a,b】上的两个可积函数，且f（x）、g（x）,xa,bi,则有性质6若在a,b】上可积，则(5)bbb.fxdx三.gxdxaaf在G,b】上也可积，且七履虫苴ff(x)dx.'aa证由于在a,b】上可积，故任给&>0，存在某分割，使得£cofAXj<&.由绝对值不等式|fx一fx一

7、fx一fxL可得厂三-if,于是有、.Jf上x.*、f*：；.TT从而证得在a,b】上可积.再由不等式-f(x*f(x)qf(x),应用性质5(推论)，即证得不等式(6)成立.注意这个性质的逆命题一般不成立，例如、,x为有理数，f(x)=J-1,x为无理数在0,1】上不可积(类似于狄利克雷函数)；但f(x三1,它在b,1】上可积.1例1求Lf(xdx,其中“、2x-1,-隹xY0,f(x)=二e,0壬x壬1.解对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即101/xdx=fxdx0fxdx01=2x-1dx，Iedx-10=x2_x01e：i-e顷000注1上述解法中取f(xdx=(2

8、x-1dx，其中被积函数在x=0处的值已由原.1来的f(0)=e"xm=1改为(2x1眼=T，由§3习题第3题知道这一改动并不影响在1-1,0】上的可积性和定积分的值.注2如果要求直接在【-1,1】上使用牛顿一莱布尼次公式来计算1Lf(xdx=F(1)-F(-1)这时F(x)应取怎样的函数？读者可对照§2习题第3题来回答.例2证明若在a,b】上连续，且f(x)20,rf(xdx=0,则f(x)三0,xla,b.证用反证法.倘若有某x0含a,b,使f(x0)>0,则由连续函数的局部保号性，存在的某领域(xo-&,x°十6)(当x°=

9、a或Xg=b时，则为右邻域或左邻域)，使在其中fxf(x)芝>0.由性质4和性质5推知bx0-、.fxdx=fxdxaa2fbfxdxfxdxx0.x0I)x。3fx0dx0=fx0、-0,这与假设ff(xdx=0相矛盾.所以f(x)三0,xwa,ba注从此例证明中看到，即使为一非负可积函数，只要它在某一点处连续，且f(x0)>0,b则必有f(xdx0.(至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参阅§6习题第7题.)二积分中值定理定理9.7(积分第一中值定理)若在a,b】上连续，则至少存在一点/Ia,b,使得bf(xdx=f($8-a.(7)a证由于在a,b

10、】上连续，因此存在最大值和最小值.由m_fx_M,xla,b使用积分不等式性质得到bmb-a_fxdx_Mb-a,am-1fxdx_M.baa再由连续函数的介值性，至少存在一点"a,。，使得1bf卜)=ff(xdx,()b-aa这就证得(7)式成立.积分第一中值定理几何意义为，若在ia,b】上非负连续，昨广朋则y=f(x麻a,b】上的曲边梯形面积等于以f(t)为高，可理解为f(x祚区间la,b上所有函数值的平均值.这是通常有限个数算术平均值的推广.你XfbIa1而积面形矩的底为b,ab-a_L4rJ图*II例3试求f(x)=sinx在b,兀】上的平均值.解所求平均值为心1邳1K2f(5)=sinxdx=-cosxb=0定理9.8(推广的积分第一中值定理)若与都在a,bR连续，且g(x)在la,b】上不变号,则至少存在一点a,b1,使得bbaf(xg(xdx=f(&)g(xdx(8)(当g(x)时，即为定理9.6.)证不妨设g(x),x在a,b】.这时有mgx土fxgx壬Mgx,xa,b|其中M,m分别为在la,b】上的最大、最小值.由定积分的不等式性质，得到bbbmgxdx£fxgxdx£Mgxdx.aaa